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14.1.4 整式的乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 第3课时 整式的除法 学习目标 1.理解掌握同底数幂的除法法则.(重点) 2.探索整式除法的三个运算法则,能够运用其进行计算.(难点) 导入新课 情境引入 问题 木星的质量约是1.9×1024吨,地球的质量约是5.98 ×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗? 木星的质量约为地球质量的 (1.90×1024)÷(5.98×1021)倍. 想一想:上面的式子该如何计算? 地球 木星 讲授新课 同底数幂的除法一 探究发现 1.计算: (1)25×23=? (2)x6·x4=? (3)2m×2n=? 28 x10 2m+n 2.填空: (1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10 (3)( )( )×2n=2m+n 2 5 x 4 2 m 本题直接利用同底数幂的乘 法法则计算 本题逆向利用同底数幂的乘 法法则计算 相当于求28 ÷23=? 相当于求x10÷x6=? 相当于求2m+n ÷2n=? 4. 试猜想:am ÷an=? (m,n都是正整数,且m>n) 3. 观察下面的等式,你能发现什么规律? (1)28 ÷23=25 (2)x10÷x6=x4 (3) 2m+n ÷2n=2m 同底数幂相除,底数不变, 指数相减 am ÷an=am-n =28-3 =x10-6 =2(m+n)-n 验证:因为am-n ·an=am-n+n=am,所以am ÷an=am-n. 一般地,我们有 am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数,且m>n) 即 同底数幂相除,底数不变,指数相减. 知识要点 同底数幂的除法 想一想:am÷am=? (a≠0) 答:am÷am=1,根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0. 规定 a0 =1(a ≠0) 这就是说,任何不等于0的数的0次幂都等于1. 典例精析 例1 计算: (1)x8 ÷x2 ; (2) (ab)5 ÷(ab)2. 解:(1)x8 ÷x2=x8-2=x6; (2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3. 方法总结:计算同底数幂的除法时,先判断底数是否相同或变形为 相同,若底数为多项式,可将其看作一个整体,再根据法则计算. 计算: (1)(-xy)13÷(-xy)8; (2)(x-2y)3÷(2y-x)2; (3)(a2+1)6÷(a2+1)4÷(a2+1)2. 针对训练 (3)原式=(a2+1)6-4-2=(a2+1)0=1. 解:(1)原式=(-xy)13-8=(-xy)5=-x5y5; (2)原式=(x-2y)3÷(x-2y)2=x-2y; 例2 已知am=12,an=2,a=3,求am-n-1的值. 方法总结:解此题的关键是逆用同底数幂的除法,对am-n-1进行变 形,再代入数值进行计算. 解:∵am=12,an=2,a=3, ∴am-n-1=am÷an÷a=12÷2÷3=2. 单项式除以单项式二 探究发现 (1)计算:4a2x3·3ab2= ; (2)计算:12a3b2x3 ÷ 3ab2= . 12a3b2x3 4a2x3 解法2:原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3. 理解:上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3;a的指数2=3-1,b的指数 0=2-2,而b0=1,x的指数3=3-0. 解法1: 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.由(1)可知括号 里应填4a2x3. 单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后,作为商的因式;对于 只在被除式里含有的字母,则连它的指数一起作为商的一个因式. 知识要点 单项式除以单项式的法则 理解 商式商式==系数系数 •• 同底的幂同底的幂 •• 被除式里单独有的幂被除式里单独有的幂 底数不变, 指数相减. 保留在商里 作为因式. 被除式的系数 除式的系数 典例精析 例3 计算: (1)28x4y2 ÷7x3y; (2)-5a5b3c ÷15a4b. =4xy; (2)原式=(-5÷15)a5-4b3-1c 解:(1)原式=(28 ÷7)x4-3y2-1 = ab2c. 针对训练 计算 (1)(2a2b2c)4z÷(-2ab2c2)2; (2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z. 解:(1)原式=16a8b8c4z÷4a2b4c4=4a6b4z; (2)原式=81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z=9x4y2z. 方法总结:掌握整式的除法的运算法则是解题的关键,注意在计算过程 中,有乘方的先算乘方,再算乘除. 下列计算错在哪里?怎样改正? (1)4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( ) (2)10a3 ÷5a2=5a ( ) (3)(-9x5) ÷(-3x) =-3x4 ( ) (4)12a3b ÷4a2=3a ( ) 2a6 2a 3x4 7ab × × × × 系数相除 同底数幂的除法,底数不变,指数相 减 只在一个被除式里含有的字母,要连同它的指数写在商里, 防止遗漏. 求商的系数,应注意符 号 练一练 多项式除以单项式三 问题1 一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m,求它的 面积. 面积为(a+b)m=ma+mb 问题2 若已知油画的面积为(ma+mb), 宽为m,如何求它的长? (ma+mb)÷m 问题3 如何计算(am+bm) ÷m? 计算(am+bm) ÷m就是相当于求( ) ·m=am+bm,因此不难 想到 括里应填a+b. 又知am ÷m+bm ÷m=a+b. 即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m 知识要点 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式,就是用多项式的 除以这个 ,再把所得的商 .单项式 每一项 相加 关键: 应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 典例精析 例4 计算(12a3-6a2+3a) ÷3a. 解: (12a3-6a2+3a) ÷3a =12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a =4a2+(-2a)+1 =4a2-2a+1. 方法总结:多项式除以单项式,实质是利用乘法的分配律,将多项式除 以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.计算过程中,要注 意符号问题. 计算:(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷2xy3; (2)(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2). 针对训练 (2)原式=72x3y4÷(-9xy2)+(-36x2y3)÷(-9xy2) +9xy2÷(-9xy2) =-8x2y2+4xy-1. 解:(1)原式=6x3y4z÷2xy3-4x2y3z÷2xy3+2xy3÷2xy3 =3x2yz-2xz+1; 例5 先化简,后求值:[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y,其 中x=2015,y=2014. 解:原式=[2x3y-2x2y2+x2y2-x3y]÷x2y, 原式=x-y=2015-2014=1. =x-y. 把x=2015,y=2014代入上式,得 当堂练习 2.下列算式中,不正确的是( ) A.(-12a5b)÷(-3ab)=4a4 B.9xmyn-1÷3xm-2yn-3=3x2y2 C.4a2b3÷2ab=2ab2 D.x(x-y)2÷(y-x)=x(x-y) 1.下列说法正确的是 ( ) A.(π-3.14)0没有意义 B.任何数的0次幂都等于1 C.(8×106)÷(2×109)=4×103 D.若(x+4)0=1,则x≠-4 D D 5. 已知一多项式与单项式-7x5y4 的积为21x5y7-28x6y5,则这个多 项式是 .-3y3+4xy 4.一个长方形的面积为a2+2a,若一边长为a,则另一边长为 _____________.a+2 3.已知28a3bm÷28anb2=b2,那么m,n的取值为(  ) A.m=4,n=3 B.m=4,n=1 C.m=1,n=3 D.m=2,n=3 A 6.计算: (1)6a3÷2a2; (2)24a2b3÷3ab; (3)-21a2b3c÷3ab; (4)(14m3-7m2+14m)÷7m. 解:(1) 6a3÷2a2 =(6÷2)(a3÷a2) =3a. (2) 24a2b3÷3ab =(24÷3)a2-1b3-1 =8ab2. (3)-21a2b3c÷3ab =(-21÷3)a2-1b3-1c = -7ab2c; (4)(14m3-7m2+14m)÷7m =14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m = 2m2-m+2. 7.先化简,再求值:(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy, 其中x=1,y=-3. 解:原式=x2-y2-2x2+4y2 原式=-12+3×(-3)2=-1+27=26. 当x=1,y=-3时, =-x2+3y2. 8.(1)若32•92x+1÷27x+1=81,求x的值; 解:(1)32•34x+2÷33x+3=81, 即 3x+1=34, 解得x=3; (3)已知2x-5y-4=0,求4x÷32y的值. (3)∵2x-5y-4=0,移项,得2x-5y=4. 4x÷32y=22x÷25y=22x-5y=24=16. (2) 已知5x=36,5y=2,求5x-2y的值; (2)52y=(5y)2=4, 5x-2y=5x÷52y=36÷4=9. 拓展提升 课堂小结 整 式 的 除 法 同底数幂的除 法 单 项 式 除 以 单 项 式 底数不变,指数相减 1.系数相除; 2.同底数的幂相除; 3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式 多 项 式 除 以 单 项 式 转化为单项式除以单项式的问题 查看更多

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