资料简介
14.1.4 整式的乘法
第十四章 整式的乘法与因式分解
第3课时 整式的除法
学习目标
1.理解掌握同底数幂的除法法则.（重点）
2.探索整式除法的三个运算法则，能够运用其进行计算.（难点）
导入新课
情境引入
问题 木星的质量约是1.9×1024吨,地球的质量约是5.98
×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
木星的质量约为地球质量的
(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子该如何计算?
地球 木星
讲授新课
同底数幂的除法一
探究发现
1.计算：
（1）25×23=？ （2）x6·x4=?
（3）2m×2n=？
28 x10
2m+n
2.填空：
（1）（ ）（ ）×23=28 （2）x6·（ ）（ ）=x10
（3）（ ）（ ）×2n=2m+n
2 5 x 4
2 m
本题直接利用同底数幂的乘
法法则计算
本题逆向利用同底数幂的乘
法法则计算
相当于求28 ÷23=？ 相当于求x10÷x6=？
相当于求2m+n ÷2n=？
4. 试猜想：am ÷an=? (m,n都是正整数,且m>n)
3. 观察下面的等式，你能发现什么规律？
（1）28 ÷23=25
（2）x10÷x6=x4
(3) 2m+n ÷2n=2m
同底数幂相除，底数不变，
指数相减
am ÷an=am-n
=28-3
=x10-6
=2(m+n)-n
验证：因为am-n ·an=am-n+n=am,所以am ÷an=am-n.
一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
知识要点
同底数幂的除法
想一想：am÷am=? (a≠0)
答：am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
规定 a0 =1(a ≠0)
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
典例精析
例1 计算：
（1）x8 ÷x2 ; (2) (ab)5 ÷(ab)2.
解：（1）x8 ÷x2=x8-2=x6;
(2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为
相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
针对训练
(3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am－n－1进行变
形，再代入数值进行计算．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
单项式除以单项式二
探究发现
（1）计算：4a2x3·3ab2= ;
（2）计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= .
12a3b2x3
4a2x3
解法2：原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3.
理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3-1，b的指数
0=2-2，而b0=1,x的指数3=3-0.
解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求（ ）·3ab2=12a3b2x3.由（1）可知括号
里应填4a2x3.
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于
只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
知识要点
单项式除以单项式的法则
理解
商式商式＝＝系数系数 •• 同底的幂同底的幂 •• 被除式里单独有的幂被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
被除式的系数
除式的系数
典例精析
例3 计算：
（1）28x4y2 ÷7x3y； （2）-5a5b3c ÷15a4b.
=4xy；
(2)原式=(-5÷15)a5-4b3-1c
解:(1)原式=（28 ÷7）x4-3y2-1
= ab2c.
针对训练
计算
(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程
中，有乘方的先算乘方，再算乘除．
下列计算错在哪里？怎样改正？
（1）4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( )
（2）10a3 ÷5a2=5a ( )
（3）(-9x5) ÷(-3x) =-3x4 ( )
（4）12a3b ÷4a2=3a ( )
2a6
2a
3x4
7ab
×
×
×
×
系数相除
同底数幂的除法，底数不变，指数相
减
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，
防止遗漏.
求商的系数，应注意符
号
练一练
多项式除以单项式三
问题1 一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m,求它的 面积.
面积为(a+b)m=ma+mb
问题2 若已知油画的面积为(ma+mb),
宽为m,如何求它的长？
(ma+mb)÷m
问题3 如何计算（am+bm) ÷m?
计算（am+bm) ÷m就是相当于求（ ） ·m=am+bm,因此不难
想到 括里应填a+b.
又知am ÷m+bm ÷m=a+b.
即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m
知识要点
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个
，再把所得的商 .单项式
每一项
相加
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
典例精析
例4 计算(12a3-6a2+3a) ÷3a.
解： (12a3-6a2+3a) ÷3a
=12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(-2a)+1
=4a2-2a+1.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除
以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注
意符号问题.
计算：(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；
(2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
针对训练
(2)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)
＋9xy2÷(－9xy2)
＝－8x2y2＋4xy－1.
解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3
=3x2yz－2xz＋1；
例5 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其
中x＝2015，y＝2014.
解：原式＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y，
原式＝x－y＝2015－2014＝1.
＝x－y.
把x＝2015，y＝2014代入上式，得
当堂练习
2.下列算式中，不正确的是( )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4
B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C.4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
1．下列说法正确的是 ( )
A．(π－3.14)0没有意义
B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103
D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4
D
D
5. 已知一多项式与单项式-7x5y4 的积为21x5y7-28x6y5，则这个多
项式是 .-3y3+4xy
4.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为
_____________.a+2
3.已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为（ ）
A．m=4，n=3 B．m=4，n=1
C．m=1，n=3 D．m=2，n=3
A
6.计算：
（1）6a3÷2a2； （2）24a2b3÷3ab；
（3）-21a2b3c÷3ab; （4）（14m3-7m2+14m）÷7m.
解：（1） 6a3÷2a2
＝（6÷2）（a3÷a2）
=3a.
（2） 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2-1b3-1
=8ab2.
（3）-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c;
（4）（14m3-7m2+14m）÷7m
=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m
= 2m2-m+2.
7.先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，
其中x＝1，y＝－3.
解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2
原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26.
当x＝1，y＝－3时，
＝－x2＋3y2.
8.(1)若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值;
解：(1)32•34x+2÷33x+3=81，
即 3x+1=34，
解得x=3；
(3)已知2x-5y-4=0，求4x÷32y的值．
(3)∵2x-5y-4=0，移项，得2x-5y=4．
4x÷32y=22x÷25y=22x-5y=24=16．
(2) 已知5x=36，5y=2，求5x-2y的值;
(2)52y=（5y）2=4，
5x-2y=5x÷52y=36÷4=9．
拓展提升
课堂小结
整 式 的 除 法
同底数幂的除
法
单 项 式 除 以 单
项 式
底数不变，指数相减
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式
多 项 式 除 以 单
项 式 转化为单项式除以单项式的问题
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