资料简介
13.3 等腰三角形
第十三章 轴对称
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
导入新课
情境引入
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角
，腰和底边的夹角叫做底角.
A
CB
腰腰
底边
顶
角
底角底角
讲授新课
等腰三角形的性质1一
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直
角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点
？
互动探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
A
C B D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
B CD
猜想与验证
已知：△ABC 中，AB=AC .
求证：∠B=∠C.
证法1：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB=AC（已知），
BD=DC（作图），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.
A
B CD
(
(
1 2
证法3：
证明：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
A
B CD
A
B C
D
x
⌒
2x⌒
2x ⌒
⌒
2x
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求
△ABC各角的度数.
典例精析
解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠BDC与
∠C、∠ABC呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示
出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °
∴x+2x+2x=180 °,
A
B C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x⌒
2x ⌒
⌒
2x
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得
到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可
考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求
∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
针对训练：
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大
小是( )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶
角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选
A.
A
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这
个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
等腰三角形的性质2二
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，
如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你
知道为什么吗?
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
重合的线段 重合的角
A
B D C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90°
性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
（通常说成等腰三角形的“三线合一”）.
A
B CD
(
(
1 2
填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空.
在△ABC中， AB=AC时，
（1）∵AD⊥BC,
∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1
2
2 BD CD
AD BC
BD
1
BCAD CD
画出任意一个等腰三角形的底
角平分线、这个底角所对的腰
上的中线和高，看看它们是否
重合？
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
典例精析
图②图①
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加
辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的
辅助线．
当堂练习
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则
∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____
__；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___
__.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的
直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
A
B C
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三
角形两种情况进行讨论.
A
B C
5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，
∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
A
B CD
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
∴ =60°.
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且
∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
7.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请
在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点
C的位置．
A
B
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不
会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
拓展提升：
课堂小结
等腰三角形的
性 质
等 边 对 等 角
三 线 合 一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线
才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平
分线不具有这一性质.
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