资料简介
4.3.3 余角和补角以及方位角
第四章 图形初步认识
4.3 角
学习目标
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、
补角的知识解决相关问题.(重点、难点)
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
(难点)
将一张长方形纸片，沿一个角
折叠后，折痕与长方形的边形成了4
个角.
1
2
3 4
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 (
简称为两个角互余 ).
1
2
3 4
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 (
简称为两个角互补 ).
提问答疑，理解定义
如果 ∠1 与∠2互余，那么∠1 的余角是∠2，同样∠2的余角是∠1 ；如
果∠1 与∠2互补，那么∠1 的补角是∠2， 同样∠2的补角是∠1 。
两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o 24o
66o 75o
46.2o
43.8o
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o 80o
100o
120o 150o 170o
60o
同角的余角相等；
∵∠1与∠ 2互余， ∠1与∠3互余，
知识提升
O
60°
30°
B
O C
A
D
2
1
3
∴∠ 2＝ 90 °－ ∠1， ∠3＝ 90 °－ ∠1
∴∠2＝∠3
30°
1
2
4
3
等角的余角相等。
理由:∵∠1与∠2互余
∴∠2=90o-∠1
∵∠3与∠4互余
∴∠4=90o-∠3
又∵∠1=∠3
∴∠2=∠4
解： ∠2与∠4相等
如图，∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，若∠1=∠3，
那么∠2与∠4相等吗？为什么？
如图，画出∠1的补角
1
同角的补角相等；
理由：∵∠1与∠ 2互补， ∠1与∠3互补，
解： ∠2与∠3相等.
思考
1
2
3
∴∠ 2＝ 180 ° － ∠1，
∠3＝ 180 ° － ∠1
∴∠2＝∠3
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么
∠2与∠4相等吗？为什么?
12 3 4
解：∠2与∠4相等。
这里，我们
用到了“等量
减等量，差相
等”。
因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补，
所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3，
又因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4。
等角的补角相等
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线
OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图
中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角. O A B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
O A B
C
D
E
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和
∠BOE也互为余角.
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是
_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
变式训练
∠COE、∠BOE
O A B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
你知道表示方向的一个成语吗?
“四面”—东、南、西、北
“八方”--东、南、西、北和东北、东南、西北、
西南
东西
北
南
O
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：
射线 OA
A
B
C
D
45°
E
GF
H
45°
八大方位
45° 45°
射线 OB
射线 OC
射线 OD
射线 OE
射线 OF
射线 OH
射线 OG
表示方位的角（方位角）在航行、测绘等工作中
经常用到。一般以正北、正南方向为基准，描述物体
运动的方向。如“北偏东30°”、“南偏西25°”。
方位角的一边是表示正北或正南的射
线，另一边是表示偏西或偏东的射线。
45°
如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向
为 .
(2) 射线 OB 表示的方向
为 ___ _ .
(3) 射线 OC 表示的方向
为 .
(4) 射线 OD 表示的方向
为 .
北
东西
南
C
A
B
D
北偏东 40°
北偏西 65°
南偏西 45°(西南)
南偏东 20°
40°65°
70°
O
20°
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向
上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客
轮B，货轮C和海岛D.
仿照表示灯塔方位的
方法画出表示客轮B，
货轮C和海岛D方向的
射线.
东
南
西
北
60°
● B
40°
10°
45°
C ●
● A
● D
O●
1.一个角是70°39′，求它的余角和补角。
练习
2、∠A的补角是它的3倍，∠A是多少度？
B
A
O
C
3、 如图两堵墙围一个角∠AOB，但人不能进入围墙，我们如
何去测这个角的大小呢？
4、如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°
答案：∠B=∠2
∠A=∠1
( 同角的余角相等 )
( 同角的余角相等 )
A
C
D
12
B
5、一条船在灯塔的北偏东30°方向，那
么灯塔在船的什么方向 （ ）
A．南偏西30° B．西偏南40°
C．南偏西60° D．北偏东30°
A
分析：相对方位，度数不变，方
向相反
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
互余 互补
两角间的数量
关系
对应图形
性质
方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称
为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或
向西旋转的角度表示方向定义
书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
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