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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征(一) 第二章 §2.2 用样本估计总体 1.会求样本的众数、中位数、平均数; 2.能从频率分布直方图中,估算众数、中位数、平均数; 3.能用样本数字特征估计总体的数字特征,作出合理解释和决策. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一 众数 问题导学     新知探究 点点落实 定义 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 特点 (1)众数是这组数据中出现次数最多的数;(2)众数可以有一个或多 个;(3) 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点 的横坐标. (4) 用众数代表一组数据,可靠性较差,不过,众数不受极端数 据的影响,并且求法简便.在一组数据中,如果个别数据有很大的变动, 而某一数据出现次数又较多时,选择众数表示这组数据的“集中趋势”就 比较适合. 定义 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或 最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 知识点二 中位数 特点 (1)排序后找中位数;(2)中位数只有一个;(3)中位数不一定是这组 数据中的数.(4)在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个 体大于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的 直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的值.(5)中位数是样本数据 所占频率的等分线,它不受少数几个极端值的影响,能更好地反映一组数 据的中等水平, 当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该 组数据的集中趋势比较合适. 知识点三 平均数 返回 特点 (1)一组数据有且仅有一个平均数.(2)平均数是频率分布直方图的“ 重心”,是直方图的平衡点,因此,每个小矩形的面积与小矩形底边中点 的横坐标的乘积之和为平均数.(3)由于平均数与每一个样本的数据有关, 所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数 都不具有的性质.也正因如此,与众数、中位数比较起来,平均数可以反 映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响 较大,使平均数在估计时可靠性降低. 答案 类型一 众数、中位数和平均数的计算 题型探究 重点难点 个个击破 解析答案反思与感悟 答案 A 反思与感悟 计算中位数要先对数据排序,计算平均数时,计算机有专门的函数,而 手工计算要讲究技巧. 反思与感悟 跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的 成绩如下表所示: 解析答案 成绩(单位:m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 解 在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数 是1.75; 上表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70 是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70; 答 17名运动员成绩的众数,中位数,平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m. 类型二 在频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数 例2 以教材2.2.1节调查的100位居民的月均用水量为例,样本数据的频 率分布表和频率分布直方图如图所示,试估算月均用水量的中位数. 解析答案反思与感悟 解 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积是相等的, 由此可以估计中位数的值.下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估 计值,此数据值为2.02 t. 反思与感悟 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中 众数和中位数容易计算,不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本 数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息,但受样本中每个数据 的影响,越极端的数据对平均数的影响也越大. 反思与感悟 跟踪训练2 一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,球的直径频率分布 直方图如图.试估计这个样本的众数,中位数和平均数. 解析答案 四个矩形的面积分别是0.02×5=0.1, 0.02×10=0.2, 0.02×25=0.5, 0.02×10= 0.2. 平均数=39.96×0.1+39.98×0.2+40×0.5+40.02×0.2=39.996. 类型三 众数、中位数、平均数的简单应用 例3 某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下表: 解析答案 职业 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; 若把所有数据从大到小排序,则得到:中位数是1 500元,众数是1 500元. (2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、 20 000元,那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么 ? 解析答案 中位数是1 500元,众数是1 500元. (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平? 解析答案反思与感悟 解 在这个问题中,中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平, 因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均 数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平. 如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值; 反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道 样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息, 帮助我们作出决策. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 某课外活动小组对该市空气含尘进行了调查,下面是一天每隔 两小时测得的数据:0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位:G/M 3) (1)求出这组数据的众数和中位数; 解 由题意知,众数是0.03,中位数为0.03. 解析答案 返回 (2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025G/M 3,问这一天城市 空气是否符合国标? 解 这一天数据平均数是0.03,∵0.03>0.025, ∴这一天该城市空气不符合国标. 1.数据1,2,3,3,4的众数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 达标检测      1 2 3 4 答案 2.若一组数据为2,2,3,4,4,5,5,6,7,8.则中位数为(  ) A.4 B.5 C.4.5 D.5.5 C 1 2 3 4 答案 3.下列说法错误的是(  ) A.在统计里,把所需考察对象的全体叫做总体 B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D.众数是一组数据中出现次数最多的数 1 2 3 4 解析答案 解析 平均数不大于最大值,不小于最小值. B 4.如果n个数x1,x2,x3,…,xn的平均数为1, 则2x1+1,2x2+1,2x3+1,… ,2xn+1的平均数为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 A 1 2 3 4 答案 规律与方法 1.一组数据中的众数可能不止一个,众数是一组数据中出现次数最多的数 据,而不是该数据出现的次数,如果两个数据出现的次数相同,并且比其 他数据出现的次数都多,那么这两个数据都是这组数据的众数. 2.一组数据的中位数是唯一的,求中位数时,必须先将这组数据按从小到 大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数为奇数,那么,最中间的一 个数据是这组数据的中位数,如果数据的个数为偶数,那么,最中间两个 数据的平均数是这组数据的中位数. 返回 3.利用直方图求数字特征:①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数 左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之和. 查看更多

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