资料简介
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字
特征(一)
第二章 §2.2 用样本估计总体
1.会求样本的众数、中位数、平均数；
2.能从频率分布直方图中，估算众数、中位数、平均数；
3.能用样本数字特征估计总体的数字特征，作出合理解释和决策.
问题导学 题型探究 达标检测
学习目标
知识点一 众数
问题导学 新知探究 点点落实
定义 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
特点 (1)众数是这组数据中出现次数最多的数；(2)众数可以有一个或多
个；(3) 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点
的横坐标. (4) 用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数
据的影响，并且求法简便.在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，
而某一数据出现次数又较多时，选择众数表示这组数据的“集中趋势”就
比较适合.
定义 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或
最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
知识点二 中位数
特点 (1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组
数据中的数.(4)在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个
体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的
直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值.(5)中位数是样本数据
所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，能更好地反映一组数
据的中等水平， 当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该
组数据的集中趋势比较合适.
知识点三 平均数
返回
特点 (1)一组数据有且仅有一个平均数.(2)平均数是频率分布直方图的“
重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点
的横坐标的乘积之和为平均数.(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，
所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数
都不具有的性质.也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反
映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响
较大，使平均数在估计时可靠性降低.
答案
类型一 众数、中位数和平均数的计算
题型探究 重点难点 个个击破
解析答案反思与感悟
答案 A
反思与感悟
计算中位数要先对数据排序，计算平均数时，计算机有专门的函数，而
手工计算要讲究技巧.
反思与感悟
跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的
成绩如下表所示：
解析答案
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数
是1.75；
上表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70
是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
答 17名运动员成绩的众数,中位数,平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.
类型二 在频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数
例2 以教材2.2.1节调查的100位居民的月均用水量为例，样本数据的频
率分布表和频率分布直方图如图所示，试估算月均用水量的中位数.
解析答案反思与感悟
解 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的，
由此可以估计中位数的值.下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估
计值，此数据值为2.02 t.
反思与感悟
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中
众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本
数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据
的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
反思与感悟
跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布
直方图如图.试估计这个样本的众数，中位数和平均数.
解析答案
四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1,
0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝
0.2.
平均数＝39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
类型三 众数、中位数、平均数的简单应用
例3 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
解析答案
职业 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1 500元，众数是1 500元.
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、
20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么
？
解析答案
中位数是1 500元，众数是1 500元.
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？
解析答案反思与感悟
解 在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，
因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均
数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平.
如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；
反之，说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中，如果同时知道
样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，
帮助我们作出决策.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某课外活动小组对该市空气含尘进行了调查，下面是一天每隔
两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位：G/M
3)
(1)求出这组数据的众数和中位数；
解 由题意知，众数是0.03，中位数为0.03.
解析答案 返回
(2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025G/M
3，问这一天城市
空气是否符合国标？
解 这一天数据平均数是0.03，∵0.03＞0.025，
∴这一天该城市空气不符合国标.
1.数据1,2,3,3,4的众数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
达标检测 1 2 3 4
答案
2.若一组数据为2,2,3,4,4,5,5,6,7,8.则中位数为( )
A.4 B.5 C.4.5 D.5.5
C
1 2 3 4
答案
3.下列说法错误的是( )
A.在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D.众数是一组数据中出现次数最多的数
1 2 3 4
解析答案
解析 平均数不大于最大值，不小于最小值.
B
4.如果n个数x1，x2，x3，…，xn的平均数为1, 则2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…
，2xn＋1的平均数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
A
1 2 3 4
答案
规律与方法
1.一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数
据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其
他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.
2.一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到
大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一
个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个
数据的平均数是这组数据的中位数.
返回
3.利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数
左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩
形底边中点的横坐标之和.
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