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1.1.1 正弦定理（二）.ppt

2021-05-24
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1.1.1 正弦定理一、正弦定理：二、可以用正弦定理解决的三角问题： ①知两角及一边，求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角回顾例2、在△ABC中，b= ，c=1，B=60o，解这个三角形. 正弦定理可解决的第二类问题：知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角练习：若ΔABC满足下列条件，求角B （1） b＝20，A＝60°，a＝ ; （2） b＝20，A＝60°，a＝ ; （3） b＝20，A＝60°，a＝15. 无解思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值角B有1解、2解、无解设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形可能出现以下情况： 1.若A是锐角（1）若a < bsinA，则此时无解；（2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角；（3）若bsinA< a b，则此时只有一解，即角B需取锐角；（2）若a≤b，则此时无解. a BA C b A B C a bAA的范围的范围 a,ba,b关系关系解的情况解的情况（按角（按角AA分类）分类）讨论已知两边和一边对角的三角形的解：讨论已知两边和一边对角的三角形的解： AA为钝角或直角为钝角或直角 AA为锐角为锐角 aa＞＞bb aa≤≤bb aa＜＜bbsinsinAA aa==bbsinsinAA bbsinsinAA＜＜aa＜＜bb 一解一解无解无解无解无解一解一解两解两解 aa≥≥bb 一解一解练习：求分别满足下列条件的三角形的解的个数（1）a=8，b=16，A=30o; （2）a=2，b=4，A=60o; （3）a=30，b=25，A=150o; （4）b=5，c=3，B=48o; （5）b=18，c=20，B=60o; 一解无解一解一解判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数的基本步骤：（1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐）（2）判断已知两边a、b的大小关系；（3）判断a与bsinA的大小关系. 二解例4、在正弦定理中，设证明k=2R（R为△ABC的外接圆的半径） A B CbO 证明：若△ABC为直角三角形如图，C=90o，c=2R 若△ABC不是直角三角形 D A B C bO 如图，作直径AD，连结CD，则AD=2R ∠ACD=90o，B=D正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径）（边换角）（角换边）解：由正弦定理，得故△ABC为等腰三角形或直角三角形.针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是 2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c= 等腰直角三角形变式训练答案：等腰三角形小结：一、正弦定理：二、可以用正弦定理解决的两类三角问题：（1）知两角及一边，求其它的边和角；（2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角（注意判断解的个数）其中，R是△ABC的外接圆的半径分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，且∠A≥∠B≥∠C，（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在上是增函数 ∴ 故由正弦定理可得a≥b≥c （2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角 ∴p-∠A< ，且p-∠A=∠B+∠C>∠B≥∠C ∴ 即 ∴由正弦定理可得a>b≥c 思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大的角所对的边就越大吗？三、小结：正弦定理，两种应用已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示） C CC C A B AAA BB b a bbb a a aa a=bsinA 一解 bsinA 查看更多

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