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3.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二) 第三章 § 3.2 导数的计算1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算 法则求函数的导数. 学习 目标栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学 习 知识点 导数运算法则 答案 法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′= ______________ 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差) [f(x)·g(x)]′= ____________________ 两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘上第二个函数,加上第一 个函数乘上第二个函数的导数 =___________________ (g(x)≠0) 两个函数的商的导数,等于分子的导 数乘上分母减去分子乘上分母的导数, 再除以分母的平方 f′(x)±g′(x) f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)思考 若f(x)=x2·sin x,则f′(x)=(x2)′·(sin x)′=2x·sin x是否正确? 答案 不正确.f′(x)=(x2)′·sin x+x2·(sin x)′ =2x·sin x+x2·cos x. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数: (1)y=(x2+1)(x-1); 解 ∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, ∴y′=(x3)′-(x2)′+x′=3x2-2x+1. (2)y=3x-lg x. 解 函数y=3x-lg x是函数f(x)=3x与函数g(x)=lg x的差. 反思与感悟反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题,求导过程要紧扣求导法则,联系 基本函数求导法则,对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的 恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.解析答案 跟踪训练1 求下列函数的导数: (1)y=x3-x2-x+3; 解 y′=(x3-x2-x+3)′ =(x3)′-(x2)′-x′+3′ =3x2-2x-1.解析答案 解 方法一 因为y=2x-2+3x-3, 所以y′=(2x-2+3x-3)′ =(2x-2)′+(3x-3)′ =-4x-3-9x-4解析答案解析答案解析答案 题型二 导数的应用 例2 求过点(1,-1)与曲线f(x)=x3-2x相切的直线方程. 又∵(1,-1)在切线上, 即x-y-2=0或5x+4y-1=0. 反思与感悟反思与感悟 (1,-1)虽然在曲线上,但是经过该点的切线不一定只有一条, 即该点有可能是切点,也可能是切线与曲线的交点,解题时注意 不要失解.解析答案思想方法 方程思想的应用 例3 设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常 数a,b∈R,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 解析答案 返回解后反思分析 列方程求出a,b, 并将x=1分别代入原函数及导函数求出f(1)及切线斜率. 解 因为f(x)=x3+ax2+bx+1, 令x=1,得f′(1)=3+2a+b, 又因为f′(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3. 令x=2,得f′(2)=12+4a+b. 所以f′(x)=3x2+2ax+b. 又因为f′(2)=-b, 又因为f′(1)=2a=-3, 即6x+2y-1=0. 解后反思本题是通过列方程求得参数的值,方程思想是求解数学综合题的 基本思想方法之一. 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 所以y′=x′-1′=1. A解析答案 1 2 3 4 5 C1 2 3 4 5 解析答案 ∴切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1. A解析答案 1 2 3 4 5 解析 设切点为(x0,y0), ln 2-1解析答案 1 2 3 4 5 5.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为____________. 解析 y′=ex+xex+2,k=y′|x=0=e0+0+2=3, 所以切线方程为y-1=3(x-0), 即3x-y+1=0. 3x-y+1=0课堂小结 返回 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用 运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构特征, 根据导数运算法则,联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法 则结构形式的要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求 导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题. 查看更多

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