资料简介
2.6 菱形
2.6.1 菱形的性质
A
B
C
DO
1.掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系.了解
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形.
2.理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有
关的证明和计算，会计算菱形的面积.
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；
AB=BC
四边形ABCD是菱形□ABCD
菱形的定义
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，
然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗
？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一
个菱形的纸片？
已知四边形ABCD是菱形
1.图中有哪些相等的线段？
2.图中有哪些相等的角？
3.图中有哪些等腰三角形？
4.图中有哪些直角三角形？
5.菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什
么？对称轴间有什么关系？
A
B
C
D
O
1 2
3
45
6
7
8
已知四边形ABCD是菱形
1.相等的线段：
AB=CD=AD=BC，
OA=OC ，OB=OD
A
B
C
D
O
1 2
3
45
6
7
8
∠DAB=∠BCD， ∠ABC =∠CDA ，
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°，
∠1=∠2=∠3=∠4 ，∠5=∠6=∠7=∠8
2.相等的角： A
B
C
D
O
1 2
3
45
6
7
8
3.等腰三角形有：
△ABC，△DBC，△ACD，△ABD
A
B
C
D
O
1 2
3
45
6
7
8
4.直角三角形有：
Rt△AOB， Rt△BOC，Rt△COD，Rt△DOA
A
B
C
D
O
1 2
3
45
6
7
8
5.菱形是轴对称图形，有两条对称轴，为两条对角线所在直
线，两条对称轴垂直.
A
B
C
D
O
菱形的性质：
（1）菱形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一
组对角；
（4）菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线都是它
的对称轴；
（5）菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
证明：因为四边形ABCD是菱形，
A
B C
D
O
在△ABD中，又因为BO=DO，
所以AB=AD（菱形的四条边都相等）
所以AC⊥BD，AC平分∠BAD，
命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线
平分一组对角.
同理：AC平分∠BCD；BD平分
∠ABC和∠ADC.
上述的命题也是一个定理.
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对
角线平分一组对角.
A
D
C
B
O
菱形的性质
【菱形的面积公式】
菱
形
A
B
C
DO
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算
菱形的面积吗?
=S△ABD+S△BCD= AC×BD S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
A
B
C
DO
【例题】
【解析】
【跟踪训练】
【解析】
答案：
【解析】
答案：
【证明】
1.（陕西·中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两
条对角线的平方和为（ ）
(A)16 (B)8 (C)4 (D)1
【解析】选A.设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱
形对角线互相垂直且平分，则
即a2+b2=16.
【解析】
【解析】
4.如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、
CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( )
（A）
（B）
（C）
（D）3
【解析】选B.连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC.
又因为∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形.因为E是BC的中
点，所以AE⊥BC.同理，AF⊥CD.易证得△ABE≌△ADF，所以
AE=AF.因为AB∥CD，∠B=60°,所以∠C=120°.又因为CE=CF,
所以∠CEF＝30°，所以∠AEF＝60°，所以△AEF是等边三角
形.由勾股定理得 所以△AEF的周长为
5.（嘉兴·中考）如图，已知菱
形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角
线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且
BE=BO，则∠AOE=____.
【解析】在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∠BAC= ∠BAD=40°，
得∠ABD=50°，由BE=BO，
得∠BOE=∠BEO=65°
所以∠AOE=25°
答案:25°
6.（珠海·中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，
PE⊥AB于点E，PE=4 cm，则点P到BC的距离是____cm.
【解析】菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点
到角两边的距离相等，故点P到BC的距离是4 cm.
答案：4
7.（常德·中考）如图，已知四边形ABCD是菱形，
DE⊥AB,DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF.
【证明】在△ADE和△CDF中，因为四边形ABCD是菱形，
所以∠A=∠C,AD=CD.又DE⊥AB,DF⊥BC,
所以∠AED=∠CFD=90°.
所以△ADE≌△CDF.
【解析】
9.（郴州·中考）一种千斤顶利用了四边形的不稳定
性.如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，
转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而
改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40 cm,
当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？
（ ≈1.414, ≈1.732，结果保留整数）
【解析】连结AC，与BD相交于点O，
因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO.
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形.
所以AC=AD=AB=40.
当∠ADC=120°时，
∠ADO=60°，∠OAD=30°,又AD=40,所以OD=20.
通过本课时的学习，需要我们
1.掌握菱形的定义、性质.
2.会利用菱形的对角线求菱形的面积.
3.会应用菱形的知识解决有关计算和证明的问题.
少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日
中之光；老而好学，如炳烛之明。
——刘向
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