资料简介
2.1 三角形
第2章 三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系
湘教版八年级数学上册教学课件
情境引入
学习目标
1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角
形分类.
2.掌握三角形的三边关系.（难点）
3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点）
导入新课
埃及金字塔
氨
气
分
子
结
构
示
意
图
飞机机翼
问题：
（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑
物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.
讲授新课
三角形的概念一
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线
段首尾顺次相接所组成的图形叫做三
角形.
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
A
B C
有三条线段，三个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.
三角形的概念一
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
定义：不在同一条直线上的三条线段
首尾相接所构成的图形叫作三角形.
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
A
B C
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角
形的角.
有三条线段，三个角
讲授新课
记法：三角形ABC用符号表示________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字
母分别表示为________.
△ABC
c，a，b
c b
a 顶点C
角 角
角
顶点A
顶点B
B C
A
在△ABC中，
AB边所对的角是：
∠A所对的边是：
∠C
BC
再说几个对边与对角的关系试试.
三角形的对边与对角：
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？
不符合 不符合 不符合
①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾顺次相接.
三角形应满足以下两个条件：
要点提醒
表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“
三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.
基本要素：
三角形的边：边AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、
∠ C.
特别规定：
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作
a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
5个，它们分别是△ABE,△ABC,
△BEC,△BCD,△ECD.
找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三
角形？
A
B C
D
E(2)以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE.
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
△ BCD、 △DEC.
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B
所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D
所对应的边为BC.
A
B C
D
E
三角形的分类二
问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角
的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形、 直角三角形、 钝角三角形.
腰
不等边三角形 等腰三角形 等边三角形
底边
顶角
底角
问题2：你能找出下列三角形各自的特点吗？
三边均
不相等
有两条
边相等
三条边
均相等
三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形
；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
总结归纳
三角形按边
分类
不等边三角形
等腰三角形
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
腰和底不等的
等腰三角形
等边三角形
（三边都相等
的三角形）
判断：
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）√
（2）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）×
（3）等边三角形是等腰三角形.（ ）√
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选
择A B 路线，而不选择A C B路线，
难道小狗也懂数学？
C
BA
三角形的三边关系三
ACAC++CBCB>A>ABB（两点之间线段最短）（两点之间线段最短）
A B
C
路线1：从A到C再到B路线走；
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪
条路程较短，你能说出
你的根据吗？
解：路线2较短. 根据“两点之间线段最短”.
由此，你能得出什么结论？
议一议
三角形的任意两边之和大于第三边.
A B
C
还能得出其他的
三边关系吗？
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可
构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.
总结归纳
例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm.
典例精析
判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短
线段之和大于第三条线段即可.
解：（1）不能，因为3cm+4cm10cm.
归纳
例2 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么
x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
判断三角形边的取值范围要同时运用两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边．
归纳
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x
，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
A
例3 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，
试判断AC 与BC 的大小.
解：在△BDC 中，
有 BD+DC >BC（三角形的
任意两边之和大于第三边）.
又因为 AD = BD，
则BD+DC = AD+DC = AC，
所以 AC >BC.
例4 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得 x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有
2×4+x=18. 解得 x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，
所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
当堂练习
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）
不能
能
能
不能
4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是
9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.
3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,
则这个等腰三角形的周长为______________.
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以
其中三条线为边长可以构成________个三角形.3
22cm
18cm或21cm
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求
第三边的长.
解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，
7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又x为奇数，则第三边的长为7.
6.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋
|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和
大于第三边，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
拓展提升
三角形的有关概
念及三边关系
三角形的定义：不在同一直线上
的三条线段首尾相接所构成的图
形.
三角形按
边分类
不等边三角形
等腰三角形（包
括等边三角形）
三角形的三边关系：任意两
边之和大于第三边.
课堂小结
2.1 三角形
第2章 三角形
第2课时 三角形的高、角平分线和中线
1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用
工具准确画出三角形的高、角平分线与中线;（重点）
2. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主
探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点）
学习目标
复习回顾
导入新课
定义 图示
垂线
线段
中点
角平
分线
O
B
A
A B
当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互
相垂直，其中一条直线叫做另一条直
线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的
角，这条射线叫做这个角的平分线
你还记得 “过一点画已知直线的
垂线” 吗?
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、靠、过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
思考：过三角形的一个顶点，你能画出
它的对边的垂线吗?
复习导入
导入新课
讲授新课
三角形的高一
问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线
画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
问题2 由三角形的高你能得到
什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
A
B
CD垂足
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
高的叙述方法（如图）：有三种.
②AD⊥BC,垂足为D.
③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.
①AD是△ABC的高.
A
B CD
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，
应该有三条高.
锐角三角形的三条高
问题1:每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O
问题2:锐角三角形的三条高是在三角形的内部还
是外部?
A
B C
D
E
F
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
探究交流
直角三角形的三条高
问题：在纸上画出一个直角三角形.
AA
BB CC
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______; AB
直角边AB边上的高是 ;;CB
(2)它们有怎样的位置关系？
DD
斜边AC边上的高是_______. BD ●
直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
(1) (1) 你能画出钝角三角形的三条你能画出钝角三角形的三条
高吗？高吗？
A
B CD
E
F
(2) AC边上的高呢？AB边上呢？ BC边上呢？
BF CE AD
AA
BB CCDD
FF(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？ OO
EE
钝角三角形的三条高
不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
视频：画钝角三角形的高
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正
确的是( )
典例精析
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在
该边的延长线上．
D
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，
BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在
边AC上移动，则BP的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
三角形的角平分线二
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什
么结论？
A
C
BO
∠AOC= ∠BOC
问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一
个内角的平分线吗? A
B C
D
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;
不同点是：前者是线段，后者是射线.
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个
一个三角形并剪下，将它
的一个角对折，使其两边
重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A B
C
AA
DD
问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你
发现了什么？
三角形的三条角平分线交于一点．
A
B CD
EF
问题3：一个三角形有几条角平分线？ 3
称之为三角形的内心．
观察下面三种三角形的三条角平分线，你又有
什么发现？
三角形的三条角平分线交于同一点.
例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=
80°，求∠ECD的度数.
解：∵DC平分∠ACB,
又DE∥BC,
∴∠AED=∠ACB=80°.
∴∠ECD=40°.
∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.
三角形的中线三
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么
结论？
A C B
AC=BC= AB
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段
AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，
试说明什么叫三角形的中线？ A
B C
定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它
所对的边BC的中点D,所得线段
AD叫做△ABC的边BC上的中线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BD=CD= BC
D
画一画：如图，分别画出下列三角形的三条中线，并观
察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线相交于一点.我们称为三角
形的重心.
A
B C
A
B C
A
B CD
EF
D D
EF EFO O O
问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中
线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面
积有什么关系？为什么？
B CD E
A
答：相等，因为两个三角形等
底同高，所以它们面积相等.
问题4 通过问题3你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例4 如图，AD是△ABC的中线， AE是△ABC的高.
（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来;
解: （1）图中有6个三角形，
它们分别是：
△ABD
，
△ADE，
△AEC， △ABE，
△ADC， △ABC;
（2）其中哪些三角形的面积相等？
解: 因为AD是△ABC的中线，
所以 BD=DC.
因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的
高，
所以S△ABD = S△ADC .
又S△ABD = BD•AE，
S△ADC = DC•AE，
总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.
如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG
交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法
的正误.
⌒
⌒
A
B CD
E1 2
F G
H
①AD是△ABE的角平分线( )
②BE是△ABD边AD上的中线( )
③BE是△ABC边AC上的中线( )
④CH是△ACD边AD上的高( )
×
×
×
√
练一练
例5 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若
△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与
△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解: ∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，
∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长差为3cm,
∴AB-AC=3cm，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
有关三角形的高、角平分线、中线的计算四
例5：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，
点D是AC的中点，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－
(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC
＝4.
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点
向它的对边所在的直
线作垂线,顶点和垂足
之间的线段
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶
点和它对边中的线段
∵ AD是△ABC的BC上
的中线.
∴ BD=CD= ½BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平
分线与它的对边相交,
这个角顶点与交点之
间的线段
∵.AD是△ABC的∠BAC
的平分线
∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
知识归纳
当堂练习
1．下列说法正确的是 （ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在
以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE
；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （ ）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中
可以作为△ABC的高的有 （ ）
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
4.4.下列各组图形中，，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边
上的高 ( )
AA DD
CC
BB
AA
BB
CC
DD
AA
BBCC
DD AA
BB
CC
DD
AA BB CC DD
B
D
5.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，
则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______.
图① 图②
AF DC
∠2 2∠4
AC
∠ABC
6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，
S△AEC=3cm2，则S△ABC =______.12
7.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－
AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
能力提升：王大爷有一块三角形的菜
地,现在要将它们平均分给四个儿子,
在菜地的一角A处有一口池塘,为了使
分开后的四块菜地都就近取水,王大爷
为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮
王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎
样分?
A
（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的
两部分.）
课堂小结
三 角 形 重
要 线 段
高
中 线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两
个三角形，这两个三角形的周长
差等于原三角形其余两边的差
角平分线
2.1 三角形
第2章 三角形
第3课时 三角形内角和与外角
1.通过操作活动，发现三角形的内角和是180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数
;（重点、 难点）
3.了解三角形的外角及性质.
学习目标
我的形状最
小，那我的
内角和最小.
我的形状最
大，那我的
内角和最大.
不对，我有一
个钝角，所以
我的内角和才
是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角
形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
导入新课
情境引入
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等
于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法
都是错误的.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角
形的内角和为180°呢?
折叠
还可以用拼接的
方法，你知道怎
样操作吗？
锐角三角形
测量
480 720
600
600＋480＋720＝1800
（学生运用学科工具—量角器测量演示）
剪拼
A
B C
2
1
（小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程）
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
你能用数学的方法说明这个结论吗？
还有其他的拼
接方法吗？
讲授新课
三角形的内角和及三角形按角的分类一
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下
拼合在一起.
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
说明：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
方法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1 2
方法2：延长BC到D，过点C
作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
CB
A E
D
1 2
CB
A
E
D
F
方法3：过D作DE∥AC,作
DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
，
∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是
什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三
个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2 3
4
5
l
A
C B
1
2 34
5
l
P
6
m A
B C
D
E
C
24
A
B
3E
Q
D
F
P
G H
1
B G C
24
A
3E
DF
H
1
试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD
是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
A B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
典例精析
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，
∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作
DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝
80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本图形
由三角形的内角和易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
4
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，
∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
即 ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
和差倍分问题借助
方程来解. 这是一个
重要的数学思想.
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？
最多有几个钝角？
因为三角形的内角和等
于180°，因此最多有一个
直角或一个钝角.
议一议
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
直角三角形
直角边
直
角
边
斜
边
A
B C
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形 .
练一练：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则
∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60° 50° 70°
三角形的外角的概念二
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这
样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫
做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个
外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD
=∠BCE；
CB
A
D
∠BCE是△ABC的一
个外角，∠DCE不是
△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的
每个顶点处有多少个外角？
A
B C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都
有6个外角．
每一个顶点相对
应的外角都有2个，
且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
F
A
B C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三
角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF
的外角.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的外角的性质三
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内
角
∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的
两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方
法证明此结论吗？
D
解：过C作CE平行于AB，
A
B C
12 ∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，试说明：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
三角形外角的性质：
A
B C D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B C D
(
(
(
80 °
60 ° ( 21
(1)
A
B C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 °
例4 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求
∠BFC
的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE
，∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角
形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B C
D
(
(
(
51 °
20 ° 30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为
三角形问题.
A
B C
D
(
(
20 ° 30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，
∠BAC=∠1+∠2，
所以
∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°
=101°.
E
)
)
1 2
)
3
)
4
你发现了什
么结论？
A
B C
D
(
(
(
51 °
20 ° 30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE
，
在△ECD中，
∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角
的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图 图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的
外角大于
与它不相
邻的内角.
当堂练习
1.求出下列各图中的x值．
x=70 x=60
x=30 x=50
2.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B C
D E△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
解：因为∠ADC是△ABD的外
角.
3 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B CD
4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上
,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的
度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180º.
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
能力提升：
课堂小结
三角形
三角形内角和定理
三角形外角的性质
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个内角和为180°
↑
三角形的一个外角
等于与它不相邻的
两个内角的和
↓
2.2 命题与证明
第2章 三角形
第1课时 定义与命题
学习目标
1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，
并把命题写成“如果……,那么……”的形式．（重点）
2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真
假性，并会对假命题举反例．（难点）
导入新课
观察与思考
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于
被逮住了.
是的,现在的因特网
广泛运用于我们的生
活中,给我们带来了
方便,但…….
这个黑客是个
小偷吧？
可能是个喜欢
穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也
在悄悄地议论着.
小明的
百米成绩有进步，
已达到9秒9.
好！
继续努力,争取
超过10秒.
不要再抢啦！
每个人发一个球！
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,
双方争抢非常激烈.于是命令:
讲授新课
对一个概念的含义加以描述说明或作出明确
规定的语句叫作这个概念的定义.
例如：“把数与表示数的字母用运算符号连
接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.
“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行
线”是“平行线”的定义.
定义一
说出下列概念的定义：
(1)方程； (2)代数式; (3)三角形角平分线
在三角形中，一个角的平分
线与这个角的对边相交，这
个角的顶点与交点之间的线
段叫作三角形的角平分线.
注意：
定义必须能清楚地
规定出概念最本质
的特征.
我们把含有未知数的等式
叫做方程.
把数与表示数的字母用运
算符号连接而成的式子叫
作代数式.
说一说
命题二
做一做：下图表示某地的一个灌溉系统.
1.如果B处水流受到污染,那么 处水流便受到污染;
2.如果C处水流受到污染,那么 处水流便受到污染;
3.如果D处水流受到污染,那么 处水流便受到污染;
…… A
B
·C
·E
·
· F
H · G
D
K
J I
C,E,F,G
E
K
上面“如果……,那么……”都是对事情
进行判断的语句.像这样判断一件事情的句子,
叫做命题.
归纳总结
典例精析
例1：下列句子都是命题吗？
(1)熊猫没有翅膀.
如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
(2)对顶角相等.
如果两个角是对顶角，那么它们就相等.
(3)平行于同一条直线的两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行.
都是命题
命题一般都可以写成“如果……,那么
……”的形式. 反之,如果一个句子没有对某一
件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
例如,下列句子都不是命题:
(1)你喜欢数学吗? (2)作线段AB=CD.
⑶清新的空气. ⑷不许讲话！
1.如果两个三角形的三条边对应相等，那么这
两个三角形全等；
2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相
等，那么这两条直线平行；
3.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三
角形的两个底角相等；
这些命题有什么共同的结构特征？
观察下列命题：
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项
推出的事项
两直线平行， 同位角相等
题设（条件） 结论
命题的组成：
总结归纳
典例精析
例2：下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a=b,b=c,那么a=c；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和；
（4）三角形的中线分三角形为面积相等的两部分.
解:（1）条件：两个角相等，
结论：它们是对顶角.
(2)条件： a=b,b=c ，
结论： a=c.
(3)条件：已知三角形的一外角及与外角不相邻的两
内角和，结论：这一外角等于与该外角不相邻的两
内角和.
(4)条件：三角形的中线把该三角形分成两小三角形，
结论：这两小三角形的面积相等.
命题是一个陈述句，就是判断一件事情的句子.
而祈使句、疑问句，感叹句均不是命题.
而定义仅对事物的特征属性进行描述，是什么叫什么.
命题与定义有什么区别？
总结归纳
做一做：指出下列命题的条件和结论，并改写成“
如果……，那么……”的形式：
命题 条件 结论
①能被2整除的
数是偶数.
②有公共顶点的
两个角是对顶角
.
③两直线平行，
同位角相等.
④同位角相等，
两直线平行.
那么这个数是偶数如果一个数能被2
整除
那么这两个角是对
顶角
如果两个角有公共
顶点
那么它们的同位角
相等如果两条直线平行
那么这两条直线平行如果两个同位角相等
互逆命题三
上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
命题③与④的条件与
结论互换了位置.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另
一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互
逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
例如，上述命题③与④就是互逆命题.
从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，
就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.
你还能举出其它的例子吗？
写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
（2）如果m是整数，那么它也是有理数；
（3）两直线平行，内错角相等；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形.
绝对值相等的两个数相等；
如果m是有理数，那么它也是整数；
内错角相等，两直线平行；
等腰三角形的两边相等.
练一练
当堂练习
1.在下列空格上填写适当的概念：
(1) 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 .
(2) 在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实
数的 .
垂直平分线
绝对值
2.指出下列语句中，哪些是命题？哪些不是？
(1)直线a⊥b;
(2)同位角都相等吗？
(3)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；
(4)“0”不能做分母；
(5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.
×
√
×
√
√
3. 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线相交，只有一个交点；
如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点；
（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；
如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除；
（3）互为相反数的两个数之和等于0；
如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0；
（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.
如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个
内角.
定义与命
题
定义
课堂小结
概念：判断一个
事件的句子
结构：如果……
那么……
分类：互逆命题、
原命题、逆命题
命题
2.2 命题与证明
第2章 三角形
第2课时 真命题、假命题与定理
1.会判断一个命题的真假;（重点）
2.理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念；
（重点、难点）
3.会用基本事实取判定其他命题的真假.（难点）
学习目标
导入新课
问题1 下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；
（3）正方形的四条边都相等.
解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角；
（2）条件：a＞b，b＞c，结论：a=c；
（3）条件：若一个四边形是正方形，
结论：它的四条边都相等.
回顾与思考
问题2 上述命题哪些是正确的，哪些是不正确的？
你是怎么判断的？与同伴交流.
做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数
;（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
错误
错误
错误
正确
讲授新课
真命题与假命题一
你能说说你
是怎么判断
的吗？
我们把正确的命题称为真命题，把错
误的命题称为假命题.
解析：命题①：同位角相等是在两直线平行的前提
下才有，所以它是错的；命题②：相等的角并不一
定是对顶角；命题③和命题④均正确.
1.下列四个命题中是真命题的有（ ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角
形有一个角等于90°；④三边相等的三角形是等边三
角形.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
C
练一练
2.判断下列命题为真命题的依据是什么？
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等
腰三角形.
分别是根据有理数、等腰
（等边）三角形的定义作出
的判断.
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条
件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，
从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
那么怎样判断一个命
题是假命题呢？
“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东
西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道张
三家没有种玉米。
所以我家玉米肯定是张三捌的.”
片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张
三刚刚在他地里偷捌了一袋子玉米.吕县令立即派
衙役将张三拘捕到县衙审讯:
吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米
?”
李老汉想证明什么
？
他是怎么证明的？
这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的
证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.
故事分析
根据李老汉的证明，你能
断定玉米是张三偷的吗？
你觉得有疑点吗？
反例二
片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边
的县丞道：“师爷，你怎么看？”
县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄
清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，还要
看看地里的脚印是不是张三的，才行。
如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三
的，那就一定是他偷的。”
从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过
程，叫分析.
在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已
具备或可从已知条件中推得.那么判断就很容易了.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子
（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，
从而就可判断这个命题为假命题.
例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整
数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是
0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.
我们通常把这种方法称为“举反例
”.
交流讨论
例1 举反例说明下列命题是假命题.
典例精析
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若ab=0，则a+b=0.
解：（1）如：两条直线平行时的内错角，这两个角
不是对顶角,但它们相等；
（2）如：当a=5，b=0时，ab=0，但a+b≠0.
古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总
结，把人们公认的真命题作为证明的原始依据，称这
些真命题为公理.
基本事实与定理三
我们把少数真命题作为基本事实.
例如，两点确定一条直线；两点
之间线段最短等.
人们可以用定义和基本事实作为推理的出发
点，去判断其他命题的真假.
基本事实
同位角相等，
两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
证实其他命
题的正确性 推 理
推理的过
程叫证明
经过证明的真
命题叫定理
基本事实或公理
一些条件
+
定理证明的一般过程：
总结归纳
由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
三角形内
角和定理
三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个
内角的和
推 理
看一看
注意：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一
定是真命题.
判一判1：命题“如果∠1和∠2是对顶角，那么
∠1=∠2”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
它的逆命题是
“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角.”
逆命题是假命题.
总结：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么就叫
它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
判一判2：命题“内错角相等，两直线平行”是真命
题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
它的逆命题是
“两直线平行，内错角相等”
逆命题是真命题.
例2 试着判断下列定理没有逆定理：
（1）对顶角相等；
（2）等角的补角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
解：（1）其逆命题是：相等的角是对顶角，这个逆
命题不正确，原定理没有逆定理．
（2）其逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这
两个角相等，这个逆命题正确，原定理有逆定理．
（3）其逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，这
个逆命题正确，原定理有逆定理．
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定
理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，
则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，
则原定理没有逆定理．
方法总结
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？
请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0
；
真命题
（2）相等的角是同位角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，
那么a∥b.
假命题
假命题
真命题
当堂练习
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.
两条相交的直线a、b被第三条直线l所截（如
图），它们的同位角不相等.
-1和-3的积是-1×(-3)>0，-1和-3不是正数；
2. 举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
直角三角形的两个锐角和不是钝角；
a
b
l
3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，
而且都是真命题.
解：两直线平行，同位角角相等.
同位角相等，两直线平行.
课堂小结
定理
逆定理
举反例
基本事实
少数
假命题
真命题
推论证明
↓
→
命题
2.2 命题与证明
第2章 三角形
第3课时 命题的证明
1.了解证明的基本步骤和书写格式;（重点）
2.掌握反证法证明的基本步骤和格式；（难点）
3.掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的
运用.
学习目标
导入新课
观察与思考
问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐
弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回
到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少
度？
1
2
3
实质就是求
这个三角形
的外角和.
讲授新课
证明的一般步骤一
活动1：采用剪拼的方法，猜测“三角形的外角和”等于
多少度.
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
活动2：采用度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于
多少度.
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
3
1
2
∠3≈138.2
∠1≈105.6
∠2≈118.5
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和
等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只
是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可
能接近360°，但不能很准确地都得到360°.
思考：怎么证明“三角形的外角和为360°”呢？
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是
△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明猜想
证明：如图，
∵ ∠BAF=∠2+∠3，
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠3=180°
(三角形内角和定理)，
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE
=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
第二步
第三步
画出图形
写出已知、求证
写出证明的过程
根据题意
根据命题的条件和结论，结合图形
通过分析，找出证明的途径
总结归纳
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA
的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.
又∵AE平分∠DAC（已知），
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）.
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
典例精析
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于
60°.
解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说
可能出现“有一个” “有两个” “有三个”这三种
情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从
另外一个角度来证明.
反证法二
证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于
或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或
等于60°.
像这样，先假设命题不成立，然后利用命题
的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而
得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证
明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路
可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
总结归纳
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难;
(2) 需分成很多类进行讨论;
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”
的一类命题；
(4) 结论为 “唯一”类命题.
用反正法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（2）与假设矛盾;
（4）与客观事实矛盾.
命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的
结论的否定是 ( )
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
练一练
C
【解析】“最多只有一个”即为“至多一个”，反
设应为“至少有两个”，故应选C.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x
成立
对任何x
不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某个
x不成立 存在某个x,成立
不等于 某个
填一填
当堂练习
1. 在括号内填上理由.
已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180°
（ ）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下
列哪些作为条件使用 ( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
C
3. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，
∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明： ∵ ∠1=∠2，
∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）
∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
4. 已知：如图，AB与CD 相交于点
E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形内角和等于180°），
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
5.求证：△ABC中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，
即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
与三角形的内角和为180°矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC中不能有两个钝角．
课堂小结
命题的证
明
直接证明
反证法
反设结论
推理
导出矛盾
（画图）写出
已知、求证
写出证明过程
证得结论
2.3 等腰三角形
第2章 三角形
第1课时 等腰（边）三角形的性质
1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质；
（重点）
2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明
和计算.（重点、难点）
学习目标
导入新课
情境引入
思考：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁
上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角
板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底
边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
CB
腰腰
底边
顶
角
底角底角
讲授新课
等腰三角形的性质一
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去
阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形
展开，得到的三角形ABC有什么特点？
互动探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴
是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出
其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
A
C B D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
等腰三角形是轴对称图形.
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性
质吗？
由此得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分
线所在的直线.
等腰三角形的两底角相等(“等边对等角”).
总结归纳
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分
线重合(简称为“三线合一”).
画出任意一个等腰三角
形的底角平分线、这个
底角所对的腰上的中线
和高，看看它们是否重
合？
“三线合一”的操作
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
A
B CD
(
(
1 2
填一填:根据等腰三角形性质定理完成下列填空.
在△ABC中， AB=AC时，
（1）∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1
2
2 BD CD
AD BC
BD
1
BCAD CD
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
X
X
X
X
√
√
判一判
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在
边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE.
证明 ： 作AF⊥BC，垂足为点F，
则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底
边上的高，也是底边上的中线.
∴ BF=CF，
∴ BF-DF=CF-EF，
DF=EF，
即 BD=CE. F
典例精析
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一
些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边
上的中线是常见的辅助线．
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
x的式子表示出来.
A
B C
D
x
⌒
2x⌒ 2x
⌒
⌒
2x
例2 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，
∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °,
∴x+2x+2x=180 °,
A
B C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得 x=36 ° ，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得
到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可
考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【变式题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，
∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x.
在△ABC中， 根据三角形内角和定理得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
例3 等腰三角形的一个内角是50°，求这个三角形的
底角的度数.
解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内
角和定理易得底角是65°.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内
角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情
况讨论．
等边三角形的性质二
类比探究
A
B C
A
B C
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C=60°
内角和为
180°
性质： 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角等边对等角))
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B C
A
B C
A
B C
•问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等
边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平
分线都“三线合一”.
顶角的平分线、
底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴 三条对称轴
例5 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC
延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，
求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是
60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结
合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
当堂练习
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角的度数分别
是 （ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
3.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边
BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
C
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为
____ __；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为
.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，
∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
A
B C
D
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
= 60°.
6. 如图，点P为等边△ABC的边BC上一点，且
∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°.
∵AD=AP,
∴∠APD=∠ADP=80°，
∴∠DPC =∠ADP-∠C=20°.
7.如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE
为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC
，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
课堂小结
等 腰 三 角
形 的 性 质
等 边 对 等 角
三 线 合 一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上
的高和中线才有这一性质.而腰
上高和中线与底角的平分线不
具有这一性质.
推 论 等边三角形三个内角相等，
且均等于60°
2.3 等腰三角形
第2章 三角形
第2课时 等腰（边）三角形的判定
1.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；
（重点）
2.进一步理解、体会推理论证的方法；
3.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用
.（重点、 难点）
学习目标
A
B C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处
遇险船只的报警，当时测∠B=∠C.如果这两艘救生船
以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点
（不考虑风浪因素）？
导入新课
情境引入
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们
所对的边AB和AC有什么数量关系?
建立数学模型：
C
A
B
•做一做：画一个△ABC，其中
∠B=∠C=30°，请你量一量AB与
AC的长度，它们之间有什么数量
关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
讲授新课
等腰三角形的判定一
如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线
把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D
，得∠1=∠2.
又∠B=∠C，
由三角形内角和的性质得：
∠ADB=∠ADC.
D
1 2
活动探究
沿AD所在直线折叠，
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2
，所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合.
从而点B与点C重合，
于是AB=AC.
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
知识要点
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形
（简称“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B C
A
(
(
A
B CD
21
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2,
∴ DC=BC
A B
C
D
21
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分
别是 AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
证明： ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ △ADE为等腰三角形.
典例精析
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD
B
A D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：角平分线+平行线=等腰三角形
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重
合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B C
A D
E
变式训练
是
由折叠可知，
∠EBD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∠EDB=∠CBD，
练一练：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定
△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
2.如图，已知OC平分∠AOB，
CD∥OB，若OD＝3cm，则
CD等于_______.3cm
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上
的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，
求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE
，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
例4 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于
F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
AA
BB CC
OOEE FF
若AB≠AC，其他条
件不变，图中还有
等腰三角形吗？结
论还成立吗？
等边三角形的判定定理二
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
证明定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明:如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC
由三角形内角和定理得:∠A+∠B+∠C= 180°.
如果顶角∠A=60°，
则∠B+∠C= 180°-60°=120°.
又 AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
∴ ∠B=∠C=∠A=60°.
∴ △ABC是等边三角形.
如果是底角∠B=60°
（或∠C=60°）呢？
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1
）
（2
）
（6
）
（5
）
不
是 是
是
是
是
（4
）
（3
）不
一
定
是
例5 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分
别在边BA，CA 的延长线上，且AD=AE．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵∠EAD =∠BAC =60°，
又AD = AE，
∴△ADE 是等边三角形．
A
DE
B C
有一个角是60°的等
腰三角形是等边三角
形
变式1：如图,在等边三角形ABC中，AD=AE．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
A
CB
D E
变式2:上题中,若将条件AD=AE改为DE∥BC, △ADE
还是等边三角形吗?试说明理由.
A
CB
D E
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
△ADE还是等边三角形，理由如下：
1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则
∠DBA=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有
_______________________.
36° 72°
△ABC、△DBA、△BCD
A
B C
D
当堂练习
2.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC
的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
A
CB
D E
12
3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点
E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋
CN＝9，则线段MN的长为_____.9
第2题图
第3题图
4.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则
∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15°
C．20° D．25°
B
5.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
证明：连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.
6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延
长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°(等腰三角形三线合一)．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE (等角对等边)．
课堂小结
等 腰(边
)三角形
的 判 定
等 腰 三 角
形 的 判 定
等角对等边
注意是指同一个三角
形中
等边三角
形的判定
1.三个角都相等的三角形
是等边三角形.
2.有一个角是60°的等腰三
角形是等边三角形.
2.4 线段的垂直平分线
第2章 三角形
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计
算.（难点）
学习目标
导入新课
问题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在
三个住宅小区A、B、C之间修建一个购
物中心，试问该购物中心应建于何处，
才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B C
观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿
直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=
90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A A′D
21
(A)
讲授新课
线段垂直平分线的性质一
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这
条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂
直平分线是它的对称轴.
知识要点
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上
的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A
，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，
… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由
于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从
而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
(A)(B) B A
P
l
活动探究
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
总结归纳
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE
垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的
周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋
CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝
35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段
之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直
平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段
PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平
分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于
18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A B
C
D
图①
A
B C
D
E
图②
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂
直平分线上呢？
线段垂直平分线的判定二
问题引入
记得要分点P在线段
AB上及线段AB外两
种情况来讨论
（1）当点P在线段AB上时，
因为PA=PB，
所以点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
因为PA=PB，
所以△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
因此直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
总结归纳
例2 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平
分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA=OB.
同理OB=OC.
∴ OA=OC.
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到
三角形三个顶点的距离相等.
现在你能想到方法确定购物
中心的位置，使得它到三个
小区的距离相等吗？
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的
是（ ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,
则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝
EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB
；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的
点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA
＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共
有 种.无数
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交
AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长
是 cm.
A
B C
D
E
16
6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且
AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点
O，
∴AO=BO.
课堂小结
线段的垂直
平分的性质
和判定
性 质
到线段的两个端点距离相等
的点在线段的垂直平分线上
内 容
判 定
内 容
作 用
线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等
作 用 见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂
直平分线上
2.4 线段的垂直平分线
第2章 三角形
第2课时 作线段的垂直平分线
1.学会作线段的垂直平分线以及过一点作已知直线
的垂线；（重点）
2.通过作线段的垂直平分线去解决实际问题.（难点）
学习目标
导入新课
情境引入
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边
增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一
样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
讲授新课
线段垂直平分线的尺规作图一
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做：在半透明纸上画
一条线段AB，折纸使A与B
重合，得到的折痕l就是线
段AB的垂直平分线.
想一想：
这样折纸怎么就是垂直
平分线呢？
A B
A(B)
A B
l
O
l
C
O
作法：
①分别以点A，B 为圆心， 以大于 AB 的长为半
径画弧， 两弧相交于点C 和点D；
②过点C,D作直线CD，则直线CD为所求.
为什么？
··A B
C
D
E 特别说明：这个作法实际上就是
线段垂直平分线的尺规作图，我
们也可以用这种方法确定线段的
中点.
引例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公
路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程
一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要
满足到两个小区的路程一样
长，应在线段AB的垂直平
分线上，又要在公路边上，
所以找到AB垂直平分线与
公路的交点便是.
公共汽车站
例1 如图，已知点A、点B以及直线l. 用尺规作图的方
法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，
不要求写出作法)；
典例精析
解：如图所示：
M N
A B
lP
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
由于两点确定一条直线， 因此我们可以通
过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出
垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
问题引导
过一点作已知直线的垂线二
①在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；
(1)当点P在直线l上.
②分别以A，B 为圆心 以大于 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP，
则直线CP为所求作的直线. ·PA B
C
l
这一步的目的是什么？
(2) 当点P在直线l外.
①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径
画弧， 交直线l于点A，B；
②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画
弧， 两弧相交于点C；
③过点C,P作直线CP，则直线CP为所
求作的直线.
·P
A B
C
l第一步的目的是什么？画弧的
半径为什么要大于P到l的距离？
1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大
于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，
则直线DE是（ ）
A．∠A的平分线
B．AC边的中线
C．BC边的高线
D．AB边的垂直平分线
D
当堂练习
2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且
AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足
AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、
E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E
，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确
B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
D
3. 如图，作出△ABC的BC边上的高.
A
BC
4.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所
希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请
你确定学校的位置.
B
C
学校在连接任意两点的两条
线段的垂直平分线的交点处.
A
方法与
步骤
线段垂直平
分线的作法
课堂小结
点在直线上
过一点作直线的垂线
点在直线外
应用作图
2.5 全等三角形
第2章 三角形
第1课时 全等三角形及其性质
1.了解全等形的概念；
2.理解全等三角形的概念，会确定全等三角形中的对
应素； （重点）
3.掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的
问题. （难点）
学习目标
观察与思考
问题：观察下面各组图形，说说他们有什么共同特点.
导入新课
（1）
（2）
我发现它们可以完全重合
讲授新课
全等图形一
做一做：如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用
透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图
形放在一起，它们完全重合吗？
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？它们是不
是全等图形？为什么？与同伴进行交流.
（1） （2）
（3）
形状相同
大小不相同
大小相同
形状不相同
全等图形
归纳总结
全等形定义：
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
全等形性质：
如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等 ！
下面哪些图形是全等形？
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（9） （10） （11） （12）
大小、形状
完全相同
一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的
图形一定与原图形全等.
思考1：下列同一类的两个图形是怎样由一个图形
得到另一个图形的？它们一定全等吗？
A
A
CB
DE
A
B
D C
A
B C
D
B C N
M
F
E
思考2：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的
两个三角形全等吗？
全等三角形的定义
一个图形经过平移、旋转、轴反射后,_______
变化了,但＿＿＿和＿＿＿都没有改变,即平移、旋
转、轴反射前后的两个图形＿_＿.
形状 大小
全等
位置
归纳总结
全等变化
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形的对应元素
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边，
其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点.
AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边.
∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角.
B C
A
E F
D
点D 点E 点F
DE EF DF
∠D ∠E ∠F
△ABC≌△FDE
A
B C ED
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的
字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
例1 如图，△ABC≌△ CED， ∠B和∠ DEC是对应
角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边.
A
B
CE
D
解： ∠ A和∠ DCE是对应角, ∠ D和∠ ACB是对应角
;
AC和CD是对应边，AB和CE是对应边.
典例精析
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B C
D
1.有公共边
寻找对应边、对应角有什么规律?
探究归纳
A
B
C
D
O
A
B C
D
O
A
B C
DE
A
B
D
C
E
2.有公共点
寻找对应元素的规律
1. 有公共边的，公共边是对应边；
2. 有公共角的，公共角是对应角；
3. 有对顶角的，对顶角是对应角；
4. 两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也
是对应边；
5. 两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也
是对应角.
方法总结
A D
FCEB
1 2
A
B
D
C
1
4
2 3
E
A
B C F
123 4
找一找下列全等图形的对应元素？
A
B CD F
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
我们知道，能够完全重合的两条线段是相等
的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的性质二
∵△ABC≌△FDE
∴A B=F D，A C=F E，B C=D E（全等三角形对应边相等）
∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等）
A
B C ED
F
全等三角形的性质的几何语言
例2 如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4，
∠A=60°.
（1）写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
（2）求AC，DC的长及∠D的度数.
解：（1）AB与DC，AC与DB，
BC与CB是对应边；
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB
，∠ACB与∠DBC是对应角；
∴ AC = DB = 4，DC = AB = 3，∠D =∠A = 60°.
（2）∵ △ABC≌△DCB，
例3 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF
＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
分析：根据全等三角形对应边、对应角
相等求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
例4 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，
NH=3.3cm.
（1）试写出两三角形的对应边、对应角；
（2）求线段NM及HG的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提
出一个正确的结论并证明.
解：（1）对应边有EF和
NM，FG和MH，EG和NH
；
对应角有∠E和∠N， ∠F
和∠M， ∠EGF和∠NHM.
（2）求线段NM及HG的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出
一个正确的结论并证明.
解：∵ △EFG≌△NMH，
∴NM=EF=2.1cm，
EG=NH=3.3cm.
∴HG=EG –EH=3.3-
1.1=2.2（cm）.
解：结论：EF∥NM
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
想一想：你还能得出
其他结论吗？
1.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm, BD=
4cm，AD=6cm，那么BC的长是 （ ）
A.6cm B.5cm C.4cm D.无法确定
2.在上题中，∠CAB的对应角是 （ ）
A.∠DAB B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
A
O
C D
B
A
B
当堂练习
∠D
∠BAD
∠ABD
AD
BD
BA
B C
D A
角
角
角
边
边
边 AB=
AC=
BC=
∠BAC=
∠ABC=
∠C=
3.如图，已知△ABC≌△BAD请
指出图中的对应边和对应角.
有公共边的，公共边一定是对应边.归纳
B C
D
A
E
F
如图：平移后△ABC≌△ EFD,若
AB＝6，AE＝2.你能说出AF的长
吗？说说你的理由.
解：∵△ _____≌△_____ ，
∴AB＝____＝__ ，
∴ AB－_____ ＝EF－____.
∴ AF=EB=_____.
变式：
ABC EFD
EF 6
AE AE
6-2=4
∠ADE
∠E
∠A
ED
AD
AE
A
B
C
E
D
角
角
角
边
边
边 AB=
AC=
BC=
∠A=
∠B=
∠ACB=
4. 如图，已知△ABC≌△AED，
请指出图中对应边和对应角.
有公共角的，公共角一定是对应角.归纳
A
B
C
E
D
如图，已知△ABC≌△AED若
AB＝6，AC＝2, ∠B＝25°，你
还能说出△ADE中其他角的大
小和边的长度吗？
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠E＝∠B＝25°
（全等三角形对应角相等），
AC=AD=2，AB=AE=6
（全等三角形对应边相等）.
变式：
5.如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大边，AE是
△AED的最大边, ∠BAC 与∠ EAD是对应角,且
∠BAC=25°，∠B= 35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E, ∠
ADE的度数和线段DE,AE 的长度.
B C ED
A
解:∵ △ABC≌△AED,(已知)
∴∠E= ∠B= 35°,(全等三角形对应角
相等)
∠ADE=∠ACB=180°－25°－35°
=120 °, (全等三角形对应角相等)
DE=BC=1cm, AE=AB=3cm.
(全等三角形对应边相等)
摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三
角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼
出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！
拼接的图形展示
课堂小结
全 等
三 角 形
定 义
能够完全重合的两个三角形叫
做全等三角形
基本性质
对应边相等
对应角相等
对应元素
确定方法
对应边
对应角
长对长，短对短，中对中
公共边一定是对应边
大角对大角，小角对小角
公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
2.5 全等三角形
第2章 三角形
第2课时 全等三角形的判定(SAS)
1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生识图、
分析图形的能力；
2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.（重点、
难点）
学习目标
导入新课
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角
形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据才能
保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知
道所有的边长和所有的角度吗？
A
B C
D
E F
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE ③ CA=FD② BC=EF
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识回顾
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证
△ABC≌△DEF吗?
想一想：
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角
形全等．
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等
结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
利用“SAS”判定三角形全等一
讲授新课
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60o300
不一定全等
探究活动2：两个条件可以吗？
3cm
4cm
不一定全等
300 60o
3cm
4cm
不一定全等
30o
6cm
结论：
（1）有两个角对应相等的两个三角形
（2）有两条边对应相等的两个三角形
（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形
每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三
角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为
2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全
重合吗？由此你能得到什么结论？
50°
2cm
2.5cm
50°
2cm
2.5cm
探究活动3：已知两边及其夹角可以吗？
下面，我们从以下这几种情形来探讨这
个猜测是否为真.
设在△ABC 和△A′B′C′中，∠ABC
=∠A′B′C′，
我发现它们完全重合，我猜测：
有两边和它们的夹角分别相等的两个
三角形全等.
A
B C
（1）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作平移，使BC的像B′′C′′ 与B′C′
重合，△ABC在平移下的像为
△A′′B′′C′′ .
由于平移不改变图形的形状和大小，因此
△ABC≌△A′′B′′C′′
A
B C
所以△A′′B′′C′′与
△A′B′C′重合，
因为=∠ABC=∠A′′B′′C′′=∠A′B′C′ ，
AB=A′B′=A′′B′′.所以线段A″B″与A′B′重合，
因此点A′′与点A′重合，
那么A′′C′′与A′C′重合，
因此△A′′B′′C′′
≌△A′B′C′，从而△ABC ≌△A′B′C′.
A
B C
（2）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图（顶
点B 与顶点B′重合）.
因为BC=B′C′，
将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等∠C′BC，
所以线段BC的像与线段B′C′重合.
因为∠ABC=∠A′B′C′，所以∠C′BC=∠A′BA.
(A)
B
(C)
由于旋转不改变图形的形状和大小，
又因为BA=B′A′，所以在上述旋转下，BA的像与B′A重合，
从而AC的像就与A′C′ 重合，
于是△ABC的像就是△A′B′C′ .
因此△ABC ≌△A′B′C′.
(A)
B
(C)
（3）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.
根据情形(1)(2)的结论得△A′′B′′C′′
≌△A′B′C′.
将△ABC作平移，使顶点B的像B′′和顶点B′重合，
因此△ABC ≌△A′B′C′.
（4）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作关于直线BC的轴反射，
△ABC在轴反射下的像为
△A′′BC. 由于轴反射不改变图形的形状和大小，得△ABC≌△A′′BC.
根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′.
因此△ABC
≌△A′B′C′.
在△ABC 和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）．
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个
三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
知识要点
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A B
C
D E
F
必须是两
边“夹角
”
例1 如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，
CO=DO. 求证：△ ACO ≌△ BDO .
分析: △ ACO ≌△ BDO.
边:
角:
边:
AO=BO(已知)，
∠AOC= ∠BOD(对顶角)，
(SAS)
CO=DO(已知).
？
典例精析
证明：在△ACO和△BDO中，
∴ △ACO≌△BDO（SAS）.
AO = BO，
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)
，CO = DO，
方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件
不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对
顶角相等、公共角（边）相等等.
例2 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析: △ ABD ≌△ CBD.
边:
角:
边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
证明：在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD ≌△ CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
变式1:
已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2.
求证:(1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
A
DB
C
1
2 4
3
在△ABD与△CBD中证明
:
∴△ABD≌△CBD（SAS）
AB=CB (已知）
∠1=∠2 （已知）
BD=BD （公共边）
∴AD=CD，∠3=∠4
∴DB 平分∠ ADC.
A
B
C
D
变式2:
已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A=∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中
证明
:
∴△ABD≌△CBD（SAS）
AD=CD (已知）
∠1=∠2 （已证）
BD=BD （公共边）
∴∠A=∠C.
∵DB 平分∠ ADC.
∴∠1=∠2
Ⅲ
8 cm
8 cm
30º
ﺭ
Ⅲ
Ⅶ
9 cm
8 cm
º
30
ﺭ
5 cm
8 cm
Ⅷ
cm 5
ﺭ
8 cm
30º
Ⅴ
5 cm
cm 8
ﺭ
º
30
Ⅱ
5 cm
ⅣⅣ 8 cm
8 cm
8 cm
30º
ﺭ
Ⅵ
9 cm
8 cm
º
30
ﺭ
Ⅰ
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
当堂练习
2.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明： ∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C
，∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
3.如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，求证：
BC=AD.
A B
C D证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD，
∠CAB=∠DBA
，
AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
(已知)
(已知)
(公共边)
∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）.
4.小兰做了一个如图所示的风筝，其中
∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，
小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流.
E F
D
H
解：能.在△EDH和△FDH中 ，
ED=FD，（已知）
∠EDH=∠FDH，（已知）
DH＝DH，（公共边）
∴△EDH≌△FDH（SAS），
∴EH=FH.(全等三角形对应边相等）
课堂小结
边 角 边
内 容
有两边及夹角对应相等的两个
三角形全等（简写成 “SAS”)
应 用 为证明线段和角相等提供了新的证法
注 意
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这
角的另一夹边
2.5 全等三角形
第2章 三角形
第3课时 全等三角形的判定(ASA)
1.能利用“角边角”判定两个三角形全等；（重点）
2.通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.（难点）
学习目标
导入新课
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他
是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与
原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?
情境引入
32
1
Ⅰ
Ⅱ
思考：观察上面图形变换，你认为应该带哪块去，
猜想下这是为什么？
讲授新课
用“ASA”判定两个三角形全等一
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有
几种可能的情况呢？
A
B C
A
B C图一 图二
“两角及夹边
”
“两角和其中一角的对边
”
它们能判定两个
三角形全等吗？
如图，在△ABC和 △A′B′C′中，如果BC =B′C′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通过平移、旋转和轴反射
等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合吗？那么△ABC
与
△A′B′C′全等吗？
C'
A'
B'
B
A
C
作图探究
类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我
们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的
像与△A′B′C′重合，因此△ABC ≌△A′B′C′.
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形
全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B C
A ′
B ′ C ′
例1 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线
上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF （ASA）.
∠A=∠C，
AB = CD，
∠B=∠D，
典例精析
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
练一练
B C
A D
如图，已知∠ACB=∠DBC，
∠ABC=∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，
并说明理由.
不全等，因为BC虽然是
公共边，但不是对应边.
A
B C
D
议一议
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，
对应角相等，否则不能判定.
例2 如图， ∠DAB＝ ∠CAB，∠ DBP＝ ∠CBP，
求证：DB=CB.
证明：∵ ∠DBA与∠DBP互为邻补角，
∠ABC与∠CBP互为邻补角，
且∠DBP＝ ∠CBP，
∴ ∠DBA＝∠CBA，(等角的补角相等)
在△ABD和△ABC
中，
∠DAB＝ ∠CAB ，（已知）
AB=AB，（公共边）
∠DBA＝∠CBA，（已证）
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA）， ∴ DB=CB .
“ASA”的判定与性质的综合运用二
例3 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着与
AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标
杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使D，
E，B恰好在一条直线上. 于是小军说：“CD的长就是
河的宽度.”你能说出这个道理吗？
A
B
E C
D
解： 在△AEB和△CED中，
∠A =∠C = 90°，
AE = CE，
∠AEB =∠CED (对顶角相等)
，∴ △AEB≌△CED（ASA）.
∴ AB=CD (全等三角形的对应边相等).
因此，CD的长就是河的宽度.
A
B
C
D
E
F
1.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条
件 ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个
即可）.
∠B=∠E
当堂练习
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=___（ ），
_______ ( )，
∠C=___( )，
∴△ACD≌△ABE( )，
∴AD=AE（ ）.
分析：只要找出 ≌ ，得AD=AE. △ACD △ABE
∠A 公共角
AB=AC
∠B
ASA
全等三角形的对应边相等
2.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.
求证：AD=AE.
已知
已知
A
D
B C
O
E
∵
3. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′分别
是∠ACB和∠A′C′B′的平分线. 求证：CF=C′F′.
证明：
∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A =∠A′ ,
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ AC=A′C′，
∴ CF=C′F′.
又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，
∴ ∠ACF=∠A′C′F′.
∴ △ACF≌△A′C′F′
4.如图,已知AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E, 求证：BC=ED.
证明：∵∠1=∠2，
∴ ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD
，
即∠EAD=∠BAC.
在△AED和△ABC中，
∠E=∠B，
AE=AB，
∠EAD=∠BAC，
∴△AED≌△ABC(ASA)，
∴BC=ED.
∵
A
B
E
CD
1
2
两角及其夹边
分别相等的两
个三角形
应用：证明角相等，边相等
课堂小结
三角形全等的“ASA”判定：
两角及其夹边分别相等的两个
三角形全等.
2.5 全等三角形
第2章 三角形
第4课时 全等三角形的判定(AAS)
1.会用“角角边”判定定理去证明三角形全等；（重
点、难点）
2.会寻找已知条件，并准确运用相关定理去解决实
际问题.
学习目标
通过上节课的学习我们知道，在△ABC和
A′B′C′中，如果
∠B= ∠B′ ，BC= B′C′ ， ，
那么 △ABC和△A′B′C′全等.
导入新课
思考：如果条件把“∠C= ∠C′”改“∠A=∠A′”，
△ABC还和△A'B'C'全等吗？
∠C= ∠C′
回顾与思考
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°
所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
60° 45°
合作探究
用“AAS”判定两个三角形全等一
讲授新课
60°
45°
思考：
这里的条件与角边角定理中的条件有什么相同点
与不同点？你能将它转化为角边角定理中的条件吗？
75°
△ABC≌△A'B'C'.根
据三角形内角和定理，
可将上述条件转化为满
足“ASA”的条件.
在△ABC和 中，
∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，
∴ ∠C =∠C′.
又∵ ，∠B=∠B′，
∴ (ASA).
合作探究
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三
角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B C
A ′
B ′ C ′
例1 已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2
，
求证：△ABC≌△ADC.证明 ∵∠1 =∠2，
∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC （AAS）.
∠B =∠D，
∠ACB =∠ACD，
AC = AC，
典例精析
例2 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，
AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.
求证：△ABC≌△DEF.
证明： ∵ AC∥FD
， ∴∠ACB =∠DFE.
∵ BF= EC，
∴ BF+FC=EC+FC
，
即 BC=EF .
在△ABC 和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF（AAS）.
∠A =∠D，
∠ACB =∠DFE，
BC = EF，
例3 如图,点B、F、C、D在同一条直线上，AB=ED
，
AB∥ED，AC∥EF.求证：△ABC≌△EDF;BF=CD.B
F
C
DE
A证明:∵ AB∥ED，AC∥EF(已知)，
∴∠B=∠D,∠ACB＝∠EFD．
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△EDF中，
∠B＝∠D（已证）,
∠ACB＝∠EFD（已证）,
AB＝ED（已知），
∴ △ABC≌△EDF（AAS） ∴BC=DF,∴BF=CD.
“AAS”与全等性质的综合运用二
例4 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，
AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直
线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC
；
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，
比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是
运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
如图，已知△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、
A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝
A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B CD
A′
B′ C′D′
知识拓展
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'，∠ABD=∠A'B'D'.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=A'B'（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B CD
A′
B′ C′D′
全等三角形对应
边上的高也相等.
1. 已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.
求证：△ADC≌△AEB.
∴ △ADC≌△AEB（AAS）.
∠1 =∠2，
∠A =∠ A，
AD = AE，
证明 ∵ 在△ADC 和△AEB中，
当堂练习
2. 已知：在△ABC中，∠ABC =∠ACB，
BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.
求证：BD=CE.
证明： ∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∵ 在△CDB和△BEC中，
∠ACB=∠ABC，
BC = BC ，
∴ △CDB≌△BEC（AAS）.
∠CDB=∠BEC =90°，
∴ BD = CE.
∴ ∠CDB=∠BEC =90°.
3.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：
AB=AD. A
C
DB
1 2证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
三角形全等
判定ASA 三角形全等
的判定AAS
证角相等
课堂小结
证边相等
应用
三角形内角
和定理
→
2.5 全等三角形
第2章 三角形
第5课时 全等三角形的判定(SSS)
1.掌握判定三角形全等的“边边边”的条件，并会运用；
（重点、难点）
2.全面掌握三角形的稳定性，并会运用三角形的稳定
性去解决实际问题.
学习目标
导入新课
观察与思考
拿三根火柴棍首尾相接地搭三角形，你能搭出几种呢
？试试看．
只能搭出唯一三角形
如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果AB=A′B′，BC
= B′C′，AC= A′C′ ，那么△ABC与△A′B′C′全等吗？
如果能够说明∠A=∠A′，那
么就可以由“边角边”得出
△ABC≌△A′B′C′.
用“SSS”判定两个三角形全等一
讲授新课
由上述变换性质可知△ABC ≌ ，
则
，连接
将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的
像 与 重合，并使点A的像 与点 在 的
两旁，△ABC在上述变换下的像为
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
从而∠1+∠3=∠2+∠4，
∵ ， ，
即
在 和 中，
∴ ≌ （SAS）.
∴ △ABC ≌
，
，
，
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
知识要点
“边边边”判定方法
A
B C
D
E F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
例1 已知：如图，AB=CD ，BC=DA.
求证： ∠B=∠D.
证明：在△ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA(SSS).
AB=CD，
BC=DA，
AC=CA(公共边)，
∴ ∠B =∠D.
典例精析
例2 已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC，
AC=DB．求证：∠ A=∠D．
证明：连接 BC．
在△ABC和△DCB中，
∴ △ABC≌△DCB（SSS）.
AB = DC，
BC = CB，
AC = DB，
∴ ∠A=∠D.
例3 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
在BC上，且AD=AE，BE=CD.
求证：△ABD≌△ACE.
证明 ∵ BE = CD
， ∴ BE-DE = CD-DE.
即 BD = CE.
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE （SSS）.
AB = AC，
BD = CE，
AD = AE，
如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.
求证:△ABC ≌ △DCF.
在△ABC 和△DCF中，
AB = DC
∴ △ABC ≌ △DCF
(已知)
(已证)
AC = DF
BC = CF
证明：∵C是BF中点，
∴ BC=CF.
(已知)
(SSS).
已知: 如图,点B、E、C、F在同一直线上 , AB = DE ,
AC = DF ,BE = CF .
求证: （1）△ABC ≌ △DEF （2）∠A=∠D.
证明:
∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS )
在△ABC 和△DEF中
AB = DE
AC = DF
BC = EF
(已知)
(已知)
(已证)
∵ BE = CF
∴ BC = EF
∴ BE+EC = CF+CE
（1）
（2）∵ △ABC ≌ △DEF（已证）
∴ ∠A=∠D（全等三角形对应角相等）
E
三角形的稳定性二
(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形
木架，然后扭动它，你能发现什么？
实验探究
(2)将四根木条用钉子钉成一个四边形
木架，然后扭动它，你能发现什么？
(3)在四边形木架上再钉上一根木条，
将它的一对顶点连接起来，然后再
扭动它，看看有什么变化？
四边形木架会变形，但三角形的木架能固定住.
三角形这个性质的叫作三角形的稳定性.
你能说出它的原理吗？ SSS
理解“稳定性”
“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形
状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“
三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动
”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状
和大小就确定了”.
你能举出一些现实生活中的应用了三角形
稳定性的例子吗?
观察上面这些图片，你发现了什么？
讨论
这说明三角形有它所独有的性质，是什
么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性.
发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？
具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性
具有稳定性 具有稳定性不具有稳定性
练一练
1.下列图形中哪些具有稳定性.
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框
ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )
A.两点之间线段最短
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
D
B
A E
F
C
D
1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，
要使△ABF≌△ECD，还需要条件 ___ . BF=CD（答案不唯一）
A E
= =× ×
B D F C
当堂练习
2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论：
①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD
≌△CDB；④BA∥DC. 正确的个数是 ( )
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
O
A
B C
D
C
= =
×
×
3.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要
是为了 ( )
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D美观漂亮
C
4.已知：如图 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求证：(1)△ABC≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.
证明：(1)∵ AD=FB，
∴AB=FD（等式性质）.
在△ABC和△FDE 中，
AC=FE（已知），
BC=DE（已知），
AB=FD（已证），
∴△ABC≌△FDE（SSS）；
A C
E
D
B
F
=
=
?
?
。
。
(2) ∵ △ABC≌△FDE（已证）.
∴ ∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）.
思维拓展
5.如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全
等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
CB
A△ABD≌△ACD(SSS)
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
△ABH≌△ACH(SSS)
AB=AC，
BH=CH，
AH=AH，
△BDH≌△CDH(SSS)
BH=CH，
BD=CD，
DH=DH，
三边分别相等的两
个三角形
三角形全等的“SSS”判定：三边分别相等
的两个三角形全等.
课堂小结
三角形的稳定性：三角形三边长度确定
了，这个三角形的形状和大小就完全确
定了.
2.5 全等三角形
第2章 三角形
第6课时 全等三角形的性质和判定的应用
1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，
能正确地利用判定条件判定三角形全等；
（重点、难点）
2.运用全等三角形的判定定理解决线段相等与角相等
的相关实际性问题.
学习目标
导入新课
回顾与思考
如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上.
(1)AC∥BD，CE=DF，＿＿＿.(SAS)
(2) AC=BD， AC∥BD ,__________. (ASA)
(3) CE= DF， ， . (SSS)
C
B
A
E
F
D
AC=BD
∠A=∠B
AC=BD AE=BF
A
B
C
A′
B′
C′
探究活动1：AAA 能否判定两个三角形全等
结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.
讲授新课
全等三角形成立的条件一
想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆
出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.
这个实验说明了什么？
B
A
C D
△ABC和△ABD满
足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC
与△ABD不全等.
探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等
画一画：
画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE
=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是
否全等？
A B
M
C
D
A B
C
A B
D
有两边和其中一边的对角分别相等的两个
三角形不一定全等.
结论
例1 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
典例精析
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的
条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不
符合.
C
判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对
角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已
知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三
角形全等的．
方法总结
如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边
或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运
用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.
已知条件 补充条件 判定
方法
AC=DC，
∠A=∠D SAS
∠A=∠D，
AB=DE ASA
∠A=∠D，
AB=DE AAS
AC=DC，AB=DE SSS
AB=DE
∠B=∠E
∠ACB=∠DCE
BC=EC
练一练
例2 已知：如图，AB=CD，BC= DA，E，F是AC上
的两点，且AE = CF. 求证：BF =DE.
证明：在△ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA（SSS）.
∴ ∠BCF =∠DAE.
AB = CD，
BC = DA ，
AC = CA（公共边）
，
全等三角形的判定与性质的综合运用二
在△BCF和△DAE中，
∴ △BCF≌△DAE（SSS）.
∴ BF = DE.
BC = DA，
∠BCF = ∠DAE，
CF = AE，
例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC
，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动的过程
中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若
不相等，请说明理由．
解：相等．理由如下：
在△ABC和△ADC中，
AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.
本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以
考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，
先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再
根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去
证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为全等
三角形一种证明方法使用．
方法总结
例4 如图，已知CA=CB,AD=BD，M，N分别是CA，CB
的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明
:
CA=CB (已知）
AD=BD （已知）
CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
连接CD，如图所示；
∴∠A=∠B
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN (已证）
∠A=∠B （已证）
AD=BD （已知）
∴△AMD≌△BND（SAS）
∴DM=DN.
例5 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道．为估
测这条隧道的长度，需测出这座山A，B间的距离，结
合所学知识，你能给出什么好方法吗？
在△AOB与△A′OB′中，
解：
OA = OA′，
∠AOB =∠A′OB′ ，
OB = OB′ ，
∴△ACD≌△BCD（SSS）．
选择适当的地点O，连接AO并
延长至A′，使OA′=OA；连接
BO并延长至B′，使OB′=OB，
连接A′B′，如图．
∴∠A=∠B．
当堂练习
1.如图，已知AC=DB，∠ACB=∠DBC，则有
△ABC≌△ ，理由是 ，
且有∠ABC=∠ ，AB= ；
A
B C
D
DCB SAS
DCB DC
2.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
求证：BD=CD.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD
，在△ABD和△ACD中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
(已知），
(已证），
(已证），
∴ BD=CD.
已知：如图，AB=AC, BD=CD，
求证： ∠ BAD= ∠ CAD.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD
，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，
求证： BE=CE.
变式2
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CA
DAE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
3. 如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交
于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.
∵AO平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
在△AOD和△AOE中，
∴△AOD≌△AOE(AAS). ∴ OD=OE.
∠ADC=∠AEB
∠1＝∠2
OA=OA
∠BDC=∠CEB
∠BOD＝∠COE
OD=OE
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴ OB=OC.
3. 如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交
于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
判定三角形
全等的思路
已知两边
课堂小结
已知一边一
角
已知两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)边为角的
对边
边为角的
一边
找夹角的另一边
(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)
2.6 用尺规作三角形
第2章 三角形
第1课时 已知三边作三角形
1.经历操作实践活动，会用尺规作已知三边的三角形；
（重点）
2.会用作角平分线的方法与原理去解决有关三角形方
面的问题.（难点）
学习目标
导入新课
问题1 如何画一条线段等于已知线段？
问题2 自己画一条线段，利用几何作图的原理，
作出这条线段的垂直平分线.
思考：我们前面所学的几何图形中除了线段之外，
还有角、三角形等，那么你是否也能通过尺规来按
要求作出相应的图形或全等的图形呢？
回顾与思考
已知三边作三角形一
讲授新课
根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边
及其夹角、两角及其夹边，都可以确定唯一的一个
三角形.
·
··
· ·
·
c
b
a
思考：怎么根据这些定理用尺规来作三角形呢？
·
··
· ·
·
c
b
a
已知:线段a，b，c.
①已知哪些量？所作的三角形满足什么条件？
求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.
②根据已知条件可先作出△ABC的哪部分？
③作好一边后，怎样作出三角形的另外两边？
思考：
B M
A
C
(1)作线段BC＝a；
(2)以C为圆心, b为半径画弧；
(3)以B为圆心, c为半径画弧，
(4)连接AB，AC，则△ABC为所求作的三角形.
两弧相交于点A
；
作法：
画一画：如图，已知线段a，h．
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h．
思考：
①所作的图形是什么？满足哪些条件？
②根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？
③如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？
底边BC=a
底边的垂直平分线
已知底边及底边上的高线作等腰三角形二
·
· ·
·h
a
(1)作线段BC＝a；
(2)作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
(3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA=h
；(4)连接AB，AC，
则△ABC为所求作的三角形
作法：
A
D C B
N
M
·
· ·
·h
a
思考：本题应用了哪几种基本作图法？
例1 已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，
AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依
次为 ( )
延长CD到点B，使BD=CD；连接AB；
作△ADC，使DC= ，AC=b，AD=m.
A. B. C. D.
A
典例精析
画一画：已知∠AOB，求作∠AOB的平分
线. A
BO
分析：
以角的顶点为三角形的一个顶点，
在角的内部构造两个全等三角形.
作角平分线三
A
BO
(1)在OA、OB上分别截取OD、
OE，
使OD=OE；(2)分别以D、E为圆心，以大于
DE的长为半径画弧，在∠AOB内两
弧交于点C；
1
2
(3)作射线OC，
D
E
C
作法：
说一说：为什么OC是∠AOB的平分线？
则OC为所求的∠AOB的平分线.
如图，已知∠AOB.
求作：∠AOB的补角的平分线(保留作图痕迹，不写
作法).
O
A
B
D
C 解：如图，∠AOB的补
角为∠AOC，其平分线
为射线OD.
练一练
1. 如图，一个机器零件上的两个孔的中心A，B已
定好，又知第三个孔的中心C距A点1.5m，距B
点1.8m. 如何找出C点的位置呢？
解：以点A为圆心，1.5cm为半径
画弧，再以点B为圆心，1.8cm
为半径画弧，两弧的交点即为
第三个孔的中心C.
当堂练习
C
2.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，
E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角
形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画
个.
A
B C D E
4
课堂小结
三角形作图
作角平分线
根据条件
作三角形
已知三边作三角形
已知底边及底边上
的高作等腰三角形
作线段垂
直平分线
↑ (应用)
2.6 用尺规作三角形
第2章 三角形
第2课时 已知角和边作三角形
1.能按作图语言来完成作图，会用尺规作一个角等于
已知角；
2.在给出两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，能
够利用尺规作三角形.（重点、难点）
学习目标
导入新课
利用不同的工具，你能将一个角从一个位置
移到另一个位置吗？你有什么办法？
方法：平移法、折叠法等.
观察与思考
能用尺规
作图得到
吗？
作一个角等于已知角一
讲授新课
画一画：如图，已知∠AOB，求作一个角，
使它等于∠AOB.
O
B
A
D'
C'
B'
O' A'
(1)作射线O'A'；
(2)以O为圆心, 任意长为半径画
弧，交OA于点C，交OB于点D；
(3)以O'为圆心, OC(或OD)的
长为半径画弧，交O'A'于点C'；
(4)以C'为圆心, CD长为半径画
弧，交前弧于点D'；
则∠A'O'B'为所求作的角.
作法：
(5)过D'作射线
O'B'，
运用所学知识，请说一说：为什么
就是所求作的角？
解：由作图过程可知：
根据“SSS”可得△D'O'C'≌△DOC，
所以∠D'O'C'=∠DOC，
即∠A'O'B'=∠AOB.
O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC
，
练一练
已知两边及其夹角作三角形二
画一画：如图，已知∠α和线段 a， c. 求作△ABC，
使∠B=∠α，BC=a，BA=c.
(2)在射线BM，BN上分别截取
BC=a，BA=c；
(3)连接AC，则△ABC为所求作的三角形.
作法：
(1)作∠MBN=∠α；
B
N
MC
A
例1 如图所示，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，
使BC=a，AC=b，∠C= ∠α (不写作法，保留作图
痕迹).
分析：首先要完成 ∠α的作图问题，然后作出三角形.
解：如图所示，△ABC即为所求.
α
a
b
E
D
B
A
C αα
典例精析
已知两角及其夹边作三角形三
画一画：如图，已知∠α，∠β和线段a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
A
作法：
(1)作线段BC = a；
α β
E D
CB
思考：这里用了那些作图方法?
则△ABC为所求作的三角形.
(2)在BC的同旁，作∠DBC=∠α
，∠ECB=∠β，BD与CE相交于点
A，
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.
1. 用尺规作一个角等于90°.
课堂小结
解：如图所示，
①在直线l上截取线段PA、PB，
使PA=PB;
②分别以点A、B为圆心，大于
PA的任意长度为半径画弧，
两弧相交于点C.
③连接CP，则∠CPA= ∠CPB= 90°.
·PA B
C
l
2. 如图，已知线段a，b，求作一个直角三角形，
使它的两直角边分别为a和b.
解：如图所示，
①作∠MCN=90°.
②在射线CM上截取CA=b，
在射线CN上截取CB=a.
③连接AB，则△ABC就是所求作的三角形.
a
b
b
a
C MA
B
N
·
3. 如图，已知线段a和锐角∠α，求作一个
Rt△ABC，使∠ACB=90°，∠B=∠α，BC=a.
解：如图所示，
①作∠MCN=90°.
②在射线CM上截取CB=a.
③以B为顶点，BC为一边，
在CM的上侧作∠CBA=∠α，
交CN于A，
则△ABC就是所求作的三角形. M
N
C B
A
·
课堂小结
三角形
作图
作一个角等于已知角
根据条件
作三角形
已知两边及夹角作三角形
已知两角及夹边作三角形 ←ASA
←SAS
第2章 三角形
小结与复习
要点梳理
1. 三角形的三边关系
3. 三角形的内角和与外角
2. 三角形的分类
三角形的任意两边之和大于第三边
按边分 按角分
(1)三角形的内角和等于180°
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
并且大于和它不相邻的任何一个内角.
不等边三角形
等腰三角形
腰和底不等的
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
一、三角形
1. 命题
2.逆命题
(1)定义：对某一件事情作出判断的语句（陈述句）
叫作命题.
将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便
可以得到原命题的逆命题.
(2)结构形式：
命题都可以写成“如果……，那么……”
的形式，“如果”引出的部分是条件，“那
么”引出的部分是结论.
二、命题与证明
(3)表达形式：
命题都是由条件和结论两部分组成
4. 证明与图形有关命题的步骤：
(1)画出图形；(2)写出已知、求证；(3)写出证明过程.
正确的命题为真命题，错误的命题为假命题
3. 真命题和假命题
5. 反证法的步骤
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
1. 等腰（边）三角形的性质
2. 等腰（边）三角形的判定方法
轴对称图形
三线合一
两底角相等(等边对等角)
60°
60° 60°
有两个角相等(等角对等边)
三边相等
三个角都是60°
有一个角是60°的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
有两条边相等
三、等腰三角形
等边三角形等腰三角形
1. 线段垂直平分线的性质定理
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定)
3. 线段垂直平分线的作法
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
四、线段的垂直平分线
1.全等三角形的性质
2.全等三角形的判定
3.三角形的稳定性
对应角相等，对应边相等
ASA
SSS
SAS
AAS
依据：SSS
五、全等三角形
2.作一个角等于已知角
1.作一个角的平分线
3.作三角形
(1)根据SAS、ASA、SSS作三角形
(2)已知底边及底边上的高作等腰三角形
六、用尺规作三角形
例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A.1cm,2cm,4cm B.4cm,6cm,8cm
C.5cm,6cm,12cm D.2cm,3cm,5cm
B
考点一 三角形的三边关系
【解析】根据三角形的三边关系进行判断即可.A.1+28,能组成三角形；C.5+61，则a>1”是
假命题的反例是（ ）
A.a=-2 B.a=-1 C.a=1 D.a=2
A
D
针对训练
例5 如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,
那么添加下列一个条件后,仍无法
判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
A D
B
E
F
C
F
B
考点四 全等三角形的证明
【解析】由AE=CF 可得 AE+EF=CF+EF,即AF=CE.再根
据全等三角形的判定定理逐个判断即可. A.∠A=∠C,可
利用“ASA”判定△ADF≌△CBE；C.BE=DF,可利用“SAS”
判定△ADF≌△CBE；D.由AD∥BC得∠A=∠C,同选项A
；B.AD=CB不能判定△ADF≌△CBE. 故选B.
注意：“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等
10.如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB
的平分线上,且∠PAM＝∠PBN,求证:AO ＝ BO
证明：∵∠PAM＝∠PBN
∴∠PAO＝∠PBO
∵点P在∠AOB的平分线上
∴∠MOP＝∠NOP
在△AOP和△BOP中
∠PAO＝∠PBO
∠MOP＝∠NOP
OP＝OP
∴△AOP≌△BOP(AAS)
∴AO ＝ BO
针对训练
A
B C
D A
B
C
D
B
A
C
D E
A
BC
D
E
归纳总结
在证明三角形全等中，几种常见的隐含条件：
公共边
相等
公共角
(对顶角
)相等
例6 如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连
接AN、BM，求证：AN=BM.
证明：
∵△ACM和△BCN都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2
即∠ACN＝∠MCB
∵CA＝CM，CB＝CN
∴△CAN≌△CMB(SAS)
∴AN＝BM
11.已知:△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在
一条直线上.BE、AC相交于点F，AD、CE相交于点G.
求证:(1)△CAD≌△CBE.(2)△CFG是等边三角形. E
DC
A
B
F G
证明：(1)证明略.
(2)由(1)知∠CDA=∠CEB
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°,
∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠DCE=60°.
又∵CE=CD
∴△CEF≌△CDG(ASA)
∴CF=CG. ∴△CFG是等腰三角形
又∵∠DCE=60°
∴△CFG是等边三角形
性质
判定：SAS、ASA、AAS、SSS
三
角
形
内角、外角、高、角平分线、中线
性质
等腰（等边）三角形的性质与判定
线段的垂直平分线
全等三角形
用尺规作三角形
任意两边之和大于第三边
内角和定理及其推论
课堂小结
命题与证明
见章末练习
课后作业
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