资料简介
2.5.2
圆的切线
【知识再现】
1.如果一条直线与圆相切,那么它们有______个公共
点;
2.已知☉O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,直线l
与☉O相切⇔________.
1
d=r
【新知预习】
1.切线的判定定理:经过半径的外端并且___________
_________的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理:圆的切线___________过切点的半径.
垂直于这
条半径
垂直于
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
如图,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为
切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC
的度数为 ( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
C
知识点一 切线的判定(P67例2拓展)
【典例1】如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点.
以AC为直径的☉O交AB于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.
【尝试解答】(1)如图所示,连接OE,CE.
∵AC是☉O的直径,
∴∠AEC=∠BEC=90°.
…………直径所对的圆周角是90°
∵D是BC的中点,
∴ED= BC=DC.
∴∠1=∠2.∵OE=OC,∴∠3=∠4.
…………………………………………等边对等角
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD.
∵∠ACD=90°,∴∠OED= 90° ,即OE⊥DE.
又∵E是☉O上一点,
∴DE是☉O的切线. ……………………切线的判定
(2)由(1)知∠BEC=90°.
在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B为公共角,
∴△BEC∽ △BCA .∴
…………………………相似三角形对应边成比例
即BC2=BE·BA.∵AE∶EB=1∶2,设AE=x,
则BE=2x,BA=3x.
又∵BC=6,∴62=2x·3x.
∴x= ,即AE= .
【学霸提醒】
证明切线的常用方法
1.若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半
径,则可先作出过此点的半径,再证其与直线垂直;
2.若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作该
直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径.
【题组训练】
1.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外
一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA,若
∠P=40°,当∠B等于多少时,PA与
☉O相切 ( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
B
★★2.(2019·廊坊模拟)如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交
AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为 ,OP=1,求BC的长.
解: (1)连接OB.∵OP⊥OA,
∴∠A+∠OPA=90°,∵CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP,又∵∠APO=∠CPB,
∴∠APO=∠CBP.
∵OA=OB,∴∠OAP=∠OBP,
∴∠OBA+∠PBC=90°,即∠OBC=90°,
∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线;
(2)略
知识点二 切线的性质(P68例3拓展)
【典例2】(2019·宿州一模)已知AB是☉O的直径,弦CD
与AB相交,∠BCD=25°.
(1)如图1,求∠ABD的大小.
(2)如图2,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,
若DP∥AC,求∠OCD的度数.
【自主解答】(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,且∠BCD=25°,∴∠ACD=65°,
∵∠ACD=∠ABD,∴∠ABD=65°.
(2)连接OD,
∵DP是☉O的切线,
∴∠ODP=90°,
∵∠DOB=2∠DCB,
∴∠DOB=2×25°=50°,∴∠P=40°,
∵AC∥DP,∴∠P=∠OAC=40°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=40°,
∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=65°-40°=25°.
【学霸提醒】
切线的三条性质及辅助线的作法
1.三条性质:
(1)切线和圆只有一个公共点.
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.
(3)圆的切线垂直于过切点的半径.
2.辅助线的作法:
连切点、圆心,得垂直关系.
【题组训练】
1. (2019·张家港期中)如图,点P在
☉O外,PA是☉O的切线,点C在☉O上,
PC经过圆心O,与圆交于点B,若∠P=
46°,则∠ACP= ( )
A.46° B.22° C.27° D.54°
B
★2.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过
点A作☉O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数.
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.
略
知识点三 切线的判定与性质的综合应用
【典例3】如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB
交☉O于点D,E为AC的中点,连接DE.
(1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长.
(2)求证:ED是☉O的切线.
【尝试解答】(1)连接CD,如图1.
∵BC是☉O的直径,∴∠BDC= 90° ,即CD⊥ AB ,
…………直径所对的圆周角为直角,
∵AD=DB,OC=5,∴CD是AB的垂直平分线,
∴AC=BC=2OC=10;
……线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(2)连接OD,如图2所示,
∵∠ADC=90°,E为AC的中点,
∴DE=EC= AC, ……………直角三
角形斜边的中线等于斜边的一半,
∴∠1= ∠2 , ………………………等边对等角
∵OD=OC,∴∠3= ∠4 , ……………等边对等角
∵AC切☉O于点C,∴AC⊥OC, …………切线的性质
∴∠1+∠3=∠2+∠4= 90° , …………等量代换
即DE⊥OD,
∴ED是☉O的切线. ……………………切线的判定
【学霸提醒】
切线判定与性质综合应用
证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判
定定理转化成证明垂直的问题.即已知切线,根据切线
的性质有:见切点,连半径,证垂直;关于证明圆的切线
的判定,常常是作垂直证半径或是连半径证垂直.
提醒:若问题中同时出现切线的性质与判定时,要明确
区分,若题目中没有给出公共点时,不能人为地设出公
共点再连接.
【题组训练】
1.已知AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平
行于弦AD.求证:DC是☉O的切线.
略
★2.如图,DE是☉O的直径,过点D作☉O的切线AD,C是AD
的中点,AE交☉O于点B,且四边形BCOE是平行四边形.
(1)BC是☉O的切线吗?若是,给出证明;若不是,请说明
理由.
(2)若☉O半径为1,求AD的长.
略
★★3.(2019·雅安中考)如图,已知AB是☉O的直径
,AC,BC是☉O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作☉O的切线
交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点
F.
(1)求证:DC是☉O的切线.
(2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段
CF的长.
略
【火眼金睛】
如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,☉P与OA相切
于D,求证:OB与☉P相切.
正解:连接PD,过点P作PF⊥OB于点F.
∵OA与☉P相切于点D,∴PD⊥OA,
又∵OC平分∠AOB,PF⊥OB,
∴PF=PD,∴OB与☉P相切.
【一题多变】
如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线上一
点,且BC=CD,CE⊥AD于点E.
(1)求证:直线EC为圆O的切线.
(2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知
∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.
略
【母题变式】
(变换条件)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分
线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作☉O,使☉O经
过点A和点D.
(1)求证:直线BC是☉O的切线.
(2)若AC=3,∠B=30°,求☉O的半径.
解: (1)连接OD,则OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,∴直线BC是☉O的切线;
(2)∵∠B=30°,∴∠BAC=60°,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=30°,
∴AD=
过点O作OM⊥AD垂足为M,
则AM=
OA=
∴☉O的半径为2.
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