资料简介
3 线段的垂直平分线
第1课时
【知识再现】
1.垂直于一条线段,并且_________这条线段的直线,叫
做这条线段的垂直平分线.
2.线段是_______对称图形,对称轴是线段的_________
_______.
平分
轴 垂直平
分线
【新知预习】 阅读教材P22页,回答下列问题
探究:如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是直线l
上的点.
①分别测量P1,P2,P3,…到点A和点B的距离,发现:P1A=
P1B,P2A=P2B,P3A=P3B…
②若不用测量的方法,把线段AB沿着直线l对折,发现:
P1A与P1B,P2A与P2B,P3A与P3B…都将重合.
结论:P1,P2,P3,…到点A和点B的距离都_________. 相等
归纳:
1.线段垂直平分线的性质定理
定理:线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点的距离_________.
几何语言:∵直线MN⊥AB,且AC=BC,
∴PA=_______.
相等
PB
2.线段垂直平分线的判定定理
定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段
的_______________上. 垂直平分线
几何语言:∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下
列结论不一定成立的是 ( )C
A.AB=AD
B.AC平分∠BCD
C.AB=BD
D.△BEC≌△DEC
2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分
线交AC于点D,则△BDC的周长是 ( )
A.8 B.9
C.10 D.11
C
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB
边沿AD折叠,发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线
上,则∠C=_________. 30°
知识点一 线段垂直平分线的性质定理
【典例1】如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,
垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长
是 .
【规范解答】∵DE是BC的垂直平分线,
∴DB=DC, …………线段垂直平分线的性质
∴△ABD的周长=AB+AD+BD
=AB+AD+DC …………等量代换
=AB+AC=15. …………代入求值
答案:15
【学霸提醒】
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC,根据三角形
的周长公式计算即可.掌握线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
【题组训练】
1.(2019·昆山一模)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平
分线,分别交BC,AC于点D,E,连接AD,若△ABD的周长为
16 cm,AB=5 cm,则线段BC的长度等于 ( )D
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
★2.(2019·黄石模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则
DE的长为 ( )
B
★3.(2019·滨州无棣一模)如图,在四边形ABCD中,E为
AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,
则∠C的大小为_________.
世纪金榜导学号
78°
★★4.如图,C,D是AB的垂直平分线上两点,延长AC,DB
交于点E,AF∥BC交DE于点F.求证:
(1)AB是∠CAF的平分线.
(2)∠FAD=∠E.
证明:(1)∵点C是AB的垂直平分线上的点,
∴CB=CA,
∴∠CBA=∠CAB,
∵AF∥BC交DE于点F,
∴∠BAF=∠CBA,
∴∠BAF=∠CAB.
即AB是∠CAF的平分线.
(2)∵点D是AB的垂直平分线上的点,
∴DB=DA,
∴∠DBA=∠DAB,
∵∠DBA=∠E+∠CAB,
∠DAB=∠FAD+∠BAF,∠CAB=∠BAF,
∴∠E=∠FAD.
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
【典例2】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O,
下列判断正确的有 (填序号).
①AC⊥BD;②AC,BD互相平分;③CA平分∠BCD.
【规范解答】∵AB=AD,BC=DC,
∴点A,C都在线段BD的垂直平分线上,
……………………线段垂直平分线判定
∴AC⊥BD, …………线段垂直平分线性质
故①正确;②错误.
∵BC=DC,∴△BCD为等腰三角形, …等腰三角形定义
又∵AC垂直平分BD,
∴CA平分∠BCD, …………等腰三角形性质三线合一
故③正确.
答案:①③
【题组训练】
1.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和
点C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于点
M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为
( )A
A.65° B.60° C.55° D.45°
★2.如图所示,CD是线段AB的对称轴,与线段AB交于D,
则下列结论中正确的有 ( )
①AD=BD;②AC=BC;
③∠A=∠B;④∠ACD=∠BCD;
⑤∠ADC=∠BDC=90°.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
D
★3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,世纪金榜导学
号
(1)作边AB的垂直平分线MN.(保留作图
痕迹,不写作法)
(2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的
度数.
解:(1)如图:
(2)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴AD=BD,
∵∠A=40°,
∴∠ABD=∠A=40°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)=70°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
★★4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平
分BD.
求证:AB∥DF.
证明:∵EF垂直平分BD,
∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD,
∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF.
【火眼金睛】
在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相
交所得到锐角为50°,则∠B等于 .
正解:根据△ABC中∠A为锐角与钝角,分为两种情况:
①当∠A为锐角时,
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线
相交所得到锐角为50°,∴∠A=40°,
∴∠B= =70°;
②当∠A为钝角时,
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为
50°,∴∠1=40°,∴∠BAC=140°,
∴∠B=∠C= =20°.
答案:70°或20°
【一题多变】
如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直
平分线,则∠DAE等于 ( )
A.50° B.45°
C.30° D.20°
D
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图,△ABC中, ∠BAC =70°,
BC=12,NE=3,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直
平分线交BC边于点N.求:∠EAN的度数和△EAN的周长.
世纪金榜导学号
解:∵∠BAC=70°,
∴∠B+∠C=180°-70°=110°,
∵AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC
边于点N,
∴EA=EB,NA=NC,
∴∠EAB=∠B,∠NAC=∠C,
∴∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN,
∴∠EAN=∠B+∠C-∠BAC=110°-70°=40°.
∴△EAN的周长=NA+EA+NE=NC+EB+NE=BC+NE+NE=
12+3+3=18.
【变式二】(变换条件和问法)如图,△ABC中,AB的垂直
平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,若∠DAE
=28°,则∠BAC=________°. 104
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