资料简介
第24章 圆
24.6 正多边形与圆
1. 正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n
边形.
正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等
的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
如图24-56，点A,B,C,D,E把圆分成5等份，求证：
⑴ 依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五
边形是这个圆的外切正五边形.
A
B
C D
E
P
Q
R
S
T
O
图 24-56
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C D
E
4
⌒
⌒
5证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴AB=BC=CD=DE=EA.
∵ = =3AB，
∴∠1=∠2.
同理，得∠2=∠3=∠4=∠5.
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒
⌒
（2）连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵TP，PQ，QR分别是以点A，B，C
为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
B
C D
E
P
Q
R
S
T
O
又∵AB=BC，∴AB=BC，
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA.
⌒ ⌒
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
A
B
C D
E
P
Q
R
S
T
O
由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形.
(1)用量角器等分圆周
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个
圆中，先用量角器作一个等于360°/n的圆心角，这个
角所对的弧就是圆周 的1/n，然后在圆周上依次截取这
条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形
（正五角星就是这样作出的）.
(2)用尺规等分圆周
对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等
分圆周.
① 正四边形的作法
如图24-57（1），用直尺和圆规作
⊙O的两条互相垂直的直径，就可以把
⊙O分成四等份，从而作出正四边形.
我们再逐次平分各边所对的弧，就
可以作出正八边形如图24-57（2），正
十六边形.
如图24-58（1），设⊙O的半径为R，通常先作出⊙O的一
条直径AB，然后分别以点A,B为圆心，R为半径作弧，与⊙O
交于点C,D,E,F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形.如
果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形，正二十
四边形等.
我们可以连续6等份圆周的相间的两个点，得到正三角形，
如图24-58（2）.
②正六边形的作法
如何画一个边长为2cm的正六边形？
探究
O
A
B
C D
E
F
1、以2cm为半径作一个⊙O
；2、用量角器画一个60°的圆心角；
3、在圆上顺次截取这个圆心角
所对的弧；
4、顺次连接分点，即为所求作的
正六边形.
将一个圆n等份，就可以作出这个圆的内接或外切正n边
形.反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切
圆呢？
我们仍然以正五边形为例来进行探究.
2. 正多边形的性质
如图24-59，过正五边形ABCDE的顶
点A,B,C作⊙O，连接OA,OB,OC,OD,OE.
∵ OB=OC， ∴ ∠1=∠2.
又 ∵ ∠ABC=∠BCD,∴ ∠3=∠4.
∵ AB=DC,∴△OAB≌△ODC,
∴ OA=OD,即点D在⊙O上，同理，点E也在⊙O上．
所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．
由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的
弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半
径的圆与正五边形的各边都相切．
所以正五边形ABCDE还有一个以点O为圆心的内切圆
．
1.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上.
2.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．
3.其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．
4.正五边形的各顶点共圆． 5.正五边形有外接圆．
6.圆心到各边的距离相等．
7.正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到
任意一边的距离．
8.照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接
圆和内切圆．
定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆
是同心圆．
归纳
我们把一个正多边形的外接圆(或内切圆)的公共圆心
圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形
的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边
形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边
所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形
的每个中心角都等于360°/n.
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对
称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图24-60.
图 24-60
如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称
图形，它的中心就是对称中心.
例 求边长为a的正六边形的周长和面积.
解 如图24-61，过正六边形的中心O作OG⊥BC于点G，
连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S.
图 24-61
∵ 多边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形，
∴ C=6BC=6a.
在△BOC中，有
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的________．．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD
的______．
3、若正六边形的边长为1，则正六边形的中心角是______度，
半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______
．
4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
11、正、正nn边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是 ;;中心角是中心角是
_________;_________;
２、正多边形的中心角与外角的大小关系是２、正多边形的中心角与外角的大小关系是________.________.相等相等
3、正方形ABCD的外接圆圆心O叫
做正方形ABCD的_______.
4、正方形ABCD的内切圆的半径OE
叫做正方形ABCD的_________.
中心
边心距
.O
A
B C
D
E
O
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