资料简介
第4章 概率
4.2 概率及其计算（1）
复习回顾
• 必然事件
在一定条件下必然发生的事件。
• 不可能事件
在一定条件下不可能发生的事件。
• 随机事件
在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件。
概率的定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻
画其发生可能性大小的数值，称为随机事
件A发生的概率，记为P（A）.
0≤P(A) ≤1.
必然事件发生的概率是1，不可能事件发生的概率是0.
• 问题1 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？
正反面向上，2种可能性相等
• 问题2 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？
6种等可能的结果
• 问题3 从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽取一根，
抽出的签上的标号有几种可能？
5种等可能的结果。
等可能性事件
等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有有限个；
2.各结果发生的可能性相等。
等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法．
例1 掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上；
（2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，
它们是：正正， 正反， 反正， 反反。
所有的结果共有4个，并且这4个结果出现的可能性相等。
（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为
事件A）的结果只有一个，即
正正
所以P(A)= .
（2）满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果也只
有一个，即
反反
所以P(B)= .
（3）满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为
事件C）的结果共有2个，即
反正，正反
所以P(C)= .
1. 中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，
是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5
个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背
面是一张哭脸，若翻到它就不得奖。参加这个游戏的
观众有三次翻牌的机会。某观众前两次翻牌均得若干
奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次
翻牌获奖的概率是（ ）．
A. B. C. D.
2. 有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼
排3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如
果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”．则他
们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么
这个婴儿能得到奖励的概率是 ．
3. 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面朝上的
概率是 。
4. 有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的
卡号是7的倍数的概率为（ ）.
5. 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码
的3个黑球，从中摸出2个球.
（1）共有多少种不同的结果？
（2）摸出2个黑球有多种不同的结果？
（3）摸出两个黑球的概率是多少？
课堂小节
（一）等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有有限个；
2.各结果发生的可能性相等。
（二）列举法求概率．
1.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何排除
不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目.
2．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各
种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画
树形图（下课时将学习）等.
第4章 概率
4.2 概率及其计算（2）
复习引入
等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有有限个；
2.各结果发生的可能性相等。
等可能性事件的概率的求法——列举法
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别
是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:“我从红桃
中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字
之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得到
10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这个游
戏的规则吗?
例1
你能求出小亮得分的概率吗?
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
红桃
黑桃
用表格表示
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
总结经验:
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数
目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常
采用列表法。
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可
能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等
但满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A)
的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)
这9种情况,所以
P(A)=
例2 同时搓两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:
(1)两个骰子的点数相同;
(2)两个骰子点数的和是9;
(3)至少有一个骰子的点数为2.
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)(6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)(5,4) (6,4)
(1, 5) (2,5) (3,5) (4,5)(4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6)(3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：同时投掷两个骰子,可能出现的结果有36个，它们出现的
可能性相等。
(1)满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6个，
即（1，1）,（2，2）,（3，3）,（4，4）,（5，5）,（6，6）,
所以P(A)= .
(2)满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个，
即（3，6）,（4，5）,（5，4）, （6，3）,
所以P(B)= .
(3)满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果
有11个，所以P(C)= .
在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机地抽取一张后放回,
再随机地抽取一张,那么第二次取出的数字能够整除第一
次取出的数字的概率是多少?
随堂练习
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第一次
第二次
用表格表示
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
所以P= .
第4章 概率
4.2 概率及其计算（3）
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果
数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常
采用列表法.
一个因素所包含的可能情况
另一个
因素所包
含的可能
情况
两个因素所组合的
所有可能情况,即n
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个
数m,最后代入公式计算.
列表法中表格构造特点:
当一次试
验中涉及3个
因素或更多的
因素时,怎么办
?
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列表
法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果,通
常采用“树状图”.
树状图的画法: 一个试验
第一个因素
第二个
第三个
如一个试验中
涉及3个因素,第一
个因素中有2种可能
情况;第二个因素中
有3种可能的情况;
第三个因素中有2种
可能的情况,
A B
1 2 3 1 2 3
a b a b a ba b a ba b
则其树形图如图. n=2×3×2=12
例1 同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率:
(1) 三枚硬币全部正面朝上;
(2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上;
(3) 至少有两枚硬币正面朝上.
正 反 正 反 正 反 正 反
正 反 正 反
正 反
抛掷硬币试验
解: 由树形图可以看出,抛掷3枚硬币
的结果有8种,它们出现的可能性相等.
∴ P(A)
(1)满足三枚硬币全部正面朝上(记
为事件A)的结果只有1种
1
8=
∴ P(B) 3
8=
(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币
反面朝上(记为事件B)的结果有3种
(3)满足至少有两枚硬币正面朝上(记
为事件C)的结果有4种 ∴ P(C) 4
8= 1
2=
第①枚
②
③
例2.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中
装有3个相同的小球,它们分别写有字母C. D和E;丙口袋中装有2个相
同的小球,它们分别写有字母H和I,从3个口袋中各随机地取出1个小球.
(2)取出的3个小球上全是辅音字母
的概率是多少?
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个和3个元音
字母的概率分别是多少? 取球试验
甲
乙
丙
A B
C D E C D E
H I H I H I H I H I H I
解: 由树形图可以看出,所有可能
的结果有12种,它们出现的可能性
相等.
∴ P(一个元音)=
(1)只有1个元音字母结果有5个
5
12
∴ P(两个元音)=
有2个元音字母的结果有4个
4
12
1
3=
∴ P(三个元音)=
全部为元音字母的结果有1个
1
12
∴ P(三个辅音)=
(2)全是辅音字母的结果有2个
1
6=2
12
A
E E
I I I I I I
例3.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?他们决定用 “石头、剪刀、
布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的
一种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”. 问一
次比赛能淘汰一人的概率是多少?
石剪布
石
游戏开始
甲
乙
丙 石
石剪布石剪布石剪布石剪布 石 剪布石剪布石剪布石剪布
剪 布 石 剪 布 石 剪 布
剪 布
解:
由树形图可以看出,游戏的结果有27种,它们出现的可
能性相等.
由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” “剪剪布”
“布布石”三类.
而满足条件(记为事件A)的结果有9种
∴P(A)= 1
3=9
27
(1) 列表法和树形图法的优点是什么?
(2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使用“树形图
法”方便?
(1)优点:利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发
生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发
生的概率.
(2)当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以
用树形图法;
当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便.
练习 2.用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同
的数字的概率.
1 2 3
1
组数开始
百位
个位
十位 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现的
可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个.
∴ P(恰有两个数字相同)=18
27
2
3=
3.把3个不同的球任意投入3个不同的盒子内(每盒装球不限
),计算: (1)无空盒的概率; (2)恰有一个空盒的概率.
1 2 3
盒1
投球开始
球①
球③
球② 1 2 3 1 2 3 1 2 3
盒2 盒3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 2 31 2 3
解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现的
可能性相等.
∴ P(无空盒)=
(1)无空盒的结果有6个
6
27
2
9=
(2)恰有一个空盒的结果有18个
∴ P(恰有一个空盒) = 18
27
2
3=
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