资料简介
第1章 二次函数
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式(1)
y=kx+b (k≠0)
系数k
待定
找一个点 确定一个方程 解一元一
次方程
系数k,
b待定
找两个点
两个方程 解二元一
次方程组
y=kx (k≠0)
y= (k≠0)x
k
1.什么是待定系数法？
怎样用待定系数法确定函数解析式？
2、二次函数的解析式怎样？
要确定二次函数表达式需待定的系数是哪些？
y=ax2+bx+c(a≠0)
解：设二次函数表达式是：y=ax2+bx+c
c=2
a+b+c=0
4a-2b+c=3
例1、已知一个二次函数的图象过点（0，2）、
（1，0）、（-2，3）三点，求这个函数的表达式？
把点(0，2)、(1，0)、(-2，3)代入表达式，得：
解之得：
2
1a= -
2
3b= -
c=2
∴ y=- x2- x+22
3
2
1
已知三点求二次函数的解析式。
1.设 y=ax2+bx+c 2.代（三点） 3.列（三元一次方程组）
4.解 5. 写（回代，写成一般形式）（消元）
解：设 y=a(x＋1)2-3
例2、已知抛物线的顶点为(-1,-3)，与x轴交点为(0,-5)，
求抛物线的解析式？
y=-2(x＋1)2-3
，即y=-2x2-4x-5y= -2(x2 +2x+1)-3
又抛物线与x轴交点为（0，-5）
a-3=-5，得a= -2
已知抛物线的顶点求表达式。
“设”时，不设一般式，而设为“y=a(x-h)2+k”的形式
（顶点式） 。 再把另一点代入，得一元一次方程。
(1)已知抛物线y=x2+4x+3它的开口向 ，对称轴是
直线 ，顶点坐标为 ，图象与x轴的交
点为 ，与y轴的交点为 .
上
x =-2 （-2，-1）
(-3,0)，(-1,0) （0，3）
(2)二次函数y=3(x+1)2+4的顶点坐标为
。
(-1，4)
(3)顶点为（0，0）且过点（1，-3）的抛物线的解析
式
为 .
y= -3x2
(4)抛物线y=-x2-2x+m，若其顶点在x轴上，则m= .-1
(5)写出一个图象经过原点的二次函数的表达
式 .y=x2 y=-x2+3x
1、填空
巩固练习
4、已知抛物线与x轴交于点M（-1,0）、（2,0），且经过点（1,2），
求抛物线解析式．
3、当自变量x= 0时，函数值y=-2，当自变量x=-1时，函数值y= -1，当
自变量x=1时，函数值y= 1,求当自变量x=2时，函数值y是多少？
y=2x2+x-2
2、二次函数的图象过点（-1,0）（2,0）（-3,5）求这个函数的表达
式？
5、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2，1)，且这条抛物线
与x 轴的一个交点坐标是(3，0)，求抛物线的表达式。
设一般式
a-b+c=0
4a+2b+c=0
9a-3b+c=5
设一般式求出表达式，再求函数值。
实际就是已知三点，求函数表达式。
设顶点式，求解。
6、某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，再向上平
移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线的表
达式。 顶点坐标（1 ，1 ）设 y=a(x-1)2+1
7、已知抛物线对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），求
该二次函数解析式。
8、抛物线的图象经过（2，0）与（6，0）两点，其顶点的纵坐
标是2，求它的函数关系式
提示：由题意得x = =4 2
2+6 ∴顶点坐标为（4，2）
由顶点式可求得, y =- x2+4x-62
1
设y=ax2+bx+c
- =22a
b
a+b+c=4
25a+5b+c=0
设y=a(x-2)2+k
a+k=4
9a+k=0
今天我们学到了什么？
1、求二次函数解析式的一般方法：
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值）,通常选择顶点式。
y=ax2+bx+c （a≠0）
三个系
数待定
找三个点 三个方程 解三元一次
方程组
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式。
解方程或方程组
课堂小结
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式(2)
1、求二次函数解析式的一般方法：
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值）,通常选择顶点式。
y=ax2+bx+c （a≠0）
三个系
数待定
找三个点
三个方程 解三元一次
方程组
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式。
解方程或方程组
3、求二次函数解析式的 两种形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k
例1、已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B（1,0），且经过点
C（2,8），求该二次函数解析式。
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，则
4a-2b+c=0
a+b+c=0
4a+2b+c=8
解得
a=2
b=2
c=-4
∴ y=2x2+2x-4
想一想：还有更快更好的解法吗？
由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-2,0)和(1，0)，设x1=-2，
x2=1，将x1、x2分别代入二次函数解析式中可得y=0，x1、x2也就是
一元二次方程ax2+bx+c=0的根，方程可写成a(x-x1)(x-x2)=0形式。
二次函数的解析式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)，
我们把这种解析式称为“交点式”。
于是，二次函数的解析式也可得到以下这种形式：
小结：二次函数的表达式有几种形式？
已知抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B（1，0），且经过点
C（2，8），求该二次函数解析式。
解法二：设函数解析式为y=a(x+2)(x-1)
，
又抛物线经过点
C(2,8)，则把点C(2,8) 代入可得，8=a(2+2)(2-1)
，
解得a=2
故解析式为y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4
例2．已知二次函数图象经过点 (1，4)、(-1，0)和(3，0)三点，
求二次函数的表达式。
（交点式）
∵二次函数图象经过点 (3，0)、(-1，0)
∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1)
∵ 函数图象过点(1，4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -
1∴ 函数的表达式为：y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，用交点式比较简便。
（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)，则得：
a+b+c=4
a-b+c=0
9a+3b+c=0
解得
a= -1
b=2
c=3
∴函数的解析式为y=-x2+2x+3
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ 点(1，4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为y=a(x-1)2+4 （顶点式）
∵ 抛物线过点(-1， 0)
∴ 0=a(-1-1)2+4 得， a= -1
∴ 函数的解析式为y= -(x-1)2+4=-
x2+2x+3
4、已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3），求
出对应的二次函数解析式。 y=-x2+4x-3
5、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，
它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式？ y=x2-4x-5
1、求经过三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函数的
解析式.
2、已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其解析式。
3、已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过点
C(2，5)，求其解析式。
6、抛物线与x轴的一个交点坐标是(-1，0)，且当x= 1时，
函数有最大值为 4，求此函数解析式。
课堂练习
7、已知一个二次函数的图象经过点(4，-3)，并且当x=3时有最大值4，
试确定这个二次函数的解析式。
8、已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P
的纵坐标为-8，图像还过点(-2，10)，求此函数的表达式。
顶点坐标（ 1 ，-8 ）设y=a(x-1)2-8
9、已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，
且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。
顶点坐标（1 ，-4 ）设y=a(x-1)2-4
10、有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱
的最大高度为16 m，跨度为40 m．现把它的
图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解
析式．
y =- x2 + x25
1
5
8
求二次函数解析式的一般方法：
. 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式y=ax2+bx+c
. 已知图象的顶点坐标、对称轴和最值
通常选择顶点式y=a(x-h)2+k
. 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
通常选择交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，
恰当地选用一种函数表达式。
课堂小结
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