资料简介
4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
1.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性.
2.了解空间直角坐标系的建系方法,会用空间直角坐标系刻画
点的位置,能在空间直角坐标系中求出点的坐标.
3.感受类比思想在探索新知识过程中的作用.
1.空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的要求：
①三条轴两两_____;
②三条轴两两_____;
③有_____的单位长度.
相交
垂直
相同
(2)空间直角坐标系的构成要素：
①原点：原点O;
②坐标轴：__轴,__轴,__轴;
③坐标平面：____平面,____平面,____平面.
(3)右手直角坐标系的要求：
①右手拇指指向x轴的正方向;
②右手食指指向y轴的正方向;
③右手中指指向z轴的正方向.
x y z
xOy yOz xOz
2.空间一点的坐标
空间一点M 有序实数组(x,y,z).
其中__称为横坐标，__称为纵坐标，__称为竖坐标.x y z
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)平面直角坐标系中的两坐标轴把平面分成四部分,空间直
角坐标系中的三个坐标平面把空间分成六部分.( )
(2)在平面上画空间直角坐标系时,∠xOy=135°,∠yOz=90°.
( )
(3)给定空间直角坐标系,空间任意一点与有序实数组(x,y,z)
之间存在唯一的对应关系.( )
(4)右手直角坐标系是指x轴正半轴向右方向的坐标系.( )
提示：(1)错误.空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分
成八部分.
(2)正确.这是空间直角坐标系的常用画法.
(3)正确.这是空间直角坐标系的作用.
(4)错误.在空间直角坐标系中,对三条坐标轴的方向作如下约
定：伸出右手,拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向,中指
指向z轴正方向,即建立右手直角坐标系,故此说法是错误的.
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上
).
(1)点M(2,0,0)所在的位置是 .
(2)已知A(2,0,3),B(-2,0,-1),则AB的中点坐标是 .
(3)z轴上的点的坐标的特点是 .
【解析】(1)由于点M的横坐标为2，纵坐标与竖坐标均为0，
因此点M位于x轴的正半轴上.
答案：x轴的正半轴上
(2)设AB的中点为P(x,y,z)，则由中点坐标公式知
答案：(0,0,1)
(3)z轴上的点的共同特点是横、纵坐标都为0.
答案：横、纵坐标都是0
空间直角坐标系及其点的坐标
根据空间直角坐标系的相关知识,探究下列问题：
探究1：空间直角坐标系的建系不同,点的坐标相同吗?
提示：建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐
标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起
解题过程的难易程度不同,因此解题时要慎重建立空间直角坐
标系.
探究2：在给定空间直角坐标系下,如何确定空间一点P的坐标?
提示：过点P作平面xOy的垂线,垂
足为Q,在平面xOy内过点Q分别作x
轴,y轴的垂线确定点P的横坐标,
纵坐标,再过点P作平行于OQ的直
线PM交z轴于点M,确定点P的竖坐标.
探究3：设点M的坐标为(a,b,c),过点M分别作xOy平面,
yOz平面,xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐标分别如何?
提示：分别是(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c).
【探究提升】
1.对空间点的坐标的三点说明
(1)表示空间中点的坐标需要3个实数,即有序数组(x,y,z),且
点与有序数组是一一对应的.
(2)①若点的坐标有两个0,则该点在坐标轴上.
②若仅有一个为0,则该点必在坐标平面内.
③若均不为0,则该点既不在坐标轴上,也不在坐标平面内.
(3)在空间建立的坐标系不同,同一个点的坐标的表达形式也
不相同.
2.空间一些特殊点的坐标
(1)原点坐标(0,0,0).
(2)x轴上的点的坐标为(x,0,0),其中x为任意实数.
(3)y轴上的点的坐标为(0,y,0),其中y为任意实数.
(4)z轴上的点的坐标为(0,0,z),其中z为任意实数.
(5)xOy平面上的点的坐标为(x,y,0),其中x,y为任意实数.
(6)yOz平面上的点的坐标为(0,y,z),其中y,z为任意实数.
(7)xOz平面上的点的坐标为(x,0,z),其中x,z为任意实数.
类型 一 求空间中点的坐标
尝试完成下列题目,归纳在空间直角坐标系中确定空间一
点P的坐标的步骤.
1.在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记为( )
A.(0,b,0) B.(a,0,0)
C.(0,0,c) D.(0,b,c)
2.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,|AD|=3,|AB|=5,
|AA′|=3,设E为DB′的中点,F为BC′的中点,在给定的空间直
角坐标系Dxyz下,试写出A,B,C,D,A′,B′,C′,D′,E,F各点
的坐标.
【解题指南】1.根据z轴上的点的坐标特点：横、纵坐标均为
0,即可找出正确答案.
2.解答本题首先要明确坐标的定义,再根据定义通过找面内的
点的坐标得所求点的坐标.
【解析】1.选C.因为z轴上所有点的横、纵坐标均为零，所以
选C.
2.因为A，B，C，D这4个点都在坐标平面xDy内，它们的竖坐
标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用|AD|=3,|AB|=5写
出，所以A(3，0，0)，B(3，5，0)，C(0，5，0)，D(0，0，
0)；因为平面A′B′C′D′与坐标平面xDy平行，且
|AA′|=3,所以A′，B′，C′,D′的竖坐标都是3，而它们的
横坐标和纵坐标分别与A，B，C，D的相同，所以A′(3，0，
3)，
B′(3，5，3)，C′(0，5，3)，D′(0，0，3)；
由于E是DB′的中点，所以它在坐标平面xDy上的射影为DB的
中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是B′的 ，同理E的竖坐
标也是B′的竖坐标的 ，所以 由F为BC′的中点可
知，F在坐标平面xDy的射影为BC的中点，所以F的横坐标和纵
坐标分别为 和5，同理点F在z轴上的投影是DD′的中点，故
其竖坐标为 ，所以
【互动探究】题2的条件不变,求点E关于x轴,平面xDz的对称
点.
【解析】设点E关于x轴对称的点为E0(x0,y0,z0),
为E0E的中点,所以 解之,得
所以
同理可得：点E关于平面xDz的对称点为
【技法点拨】在空间直角坐标系中确定空间一点P的坐标的步
骤
【变式训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱
AA1⊥底面ABC,建立适当坐标系,写出各顶点的坐标.
【解题指南】根据底面为正三角形,可取AC中点为坐标原点
,AC的中垂线为x轴,AC为y轴,面ACC1A1中与AC垂直的直线为z轴.
【解析】取AC的中点O和A1C1的中点O1,
连接BO,OO1,可得BO⊥AC,分别以OB,OC,
OO1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐
标系,如图.因为三棱柱各棱长均为2,
所以OA=OC=1,OB= .可得A(0,-1,0),
B( ,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2).
类型 二 由空间点的坐标确定点的位置
试着解答下列题目,总结求空间中点P(x,y,z)的位置的步
骤及方法.
1.点P(0,1,4)位于( )
A.y轴上 B.x轴上
C.xOz平面内 D.yOz平面内
2.在空间直角坐标系中,作出点M(4,2,5).
【解题指南】1.根据点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来
判断.
2.分别在x轴,y轴,z轴上取点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,5),过这
三点作轴的垂面,交点即所求.
【解析】1.选D.因为点P(0,1,4)的横坐标为0,所以点P位于
yOz平面内.
2.如图.在x轴上找到点M1(4,0,0),过M1
作与x轴垂直的平面α;在y轴上找到点
M2(0,2,0),过M2作与y轴垂直的平面β;
在z轴上找到点M3(0,0,5),过M3作与z轴
垂直的平面γ,则平面α,β,γ交于一点,此交点即为所求作
的点M(4,2,5).
【技法点拨】
1.求空间中点P(a,b,c)的位置的四个步骤
2.已知点P的坐标确定其位置的方法
(1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次平移得点P.
(2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的
位置.
(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定
点P.
提醒：(1)若点的坐标有两个为0,则该点在坐标轴上(如点
A(0,1,0),则该点在y轴上).
(2)若仅有一个为0,则该点必在坐标平面内(如点A(a,b,0)必
在xOy平面内).
【变式训练】在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6).
【解析】第一步从原点出发沿x轴正
方向移动5个单位,第二步沿与y轴平
行的方向向右移动4个单位,第三步
沿与z轴平行的方向向上移动6个单
位(如图),即作出点P(5,4,6).
类型 三 空间中点的对称问题
通过解答下列空间中点的对称问题,试总结空间中点关于
坐标平面、坐标轴对称的点的特点.
1.已知点P(-2,1,5),则点P关于原点对称的点的坐标为 .
2.已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点M1,M关于xOy平面对称
的点M2,M关于x轴、y轴对称的点M3,M4.
【解题指南】1.点P关于原点对称的点的横坐标、纵坐标、竖
坐标均为点P相应坐标的相反数.
2.根据空间直角坐标系的点关于坐标轴,坐标平面对称的点的
坐标特点来写.
【解析】1.点P(-2,1,5)关于原点对称的点的坐标为
(2,-1,-5).
答案：(2,-1,-5)
2.由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于
xOy平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,
所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则M3的横坐标不变,纵坐
标和竖坐标变为M的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3).
【技法点拨】空间中关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点
(1)关于哪个坐标平面对称的点,点在哪个平面上的坐标不变,
其余的坐标变为原来的相反数.
(2)关于哪条坐标轴对称,哪个坐标不变,其余的坐标分别变为
原来的相反数.
【拓展延伸】常见对称的一些结论
点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z);
点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z);
点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z);
点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z);
点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z);
点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);
点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).
【变式训练】已知点P(2,-5,8),分别写出点P关于原点,x轴,
y轴,z轴和xOz平面的对称点.
【解析】点P(2,-5,8)关于原点的对称点为(-2,5,-8),
点P关于x轴,y轴,z轴的对称点分别为：(2,5,-8),
(-2,-5,-8),(-2,5,8).点P关于xOz平面的对称点为(2,5,8).
1.关于空间直角坐标系的叙述正确的是( )
A.P(x,y,z)中x,y,z的位置可以互换
B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对
应关系
C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分
D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同
【解析】选B.A,D易知错误,对于C应是坐标平面.
2.点(2,0,4)在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在x轴上 B.在y轴上
C.在xOz平面上 D.在xOy平面上
【解析】选C.由于纵坐标为0,横、竖坐标不为0,故在xOz平
面内.
3.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关
于 对称.
【解析】因为点P与点Q的纵坐标相同,横坐标、竖坐标分别互
为相反数,所以点P与点Q关于y轴对称.
答案：y轴
4.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于x轴对称的点的坐标
是 ;关于xOy平面对称的点的坐标是 ;关于点
A(1,0,2)对称的点的坐标是 .
【解析】点P关于x轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标、竖坐
标变为原来的相反数,所以点P关于x轴对称的点的坐标为
P1(-2,-1,-4);点P关于xOy平面对称后,它的横、纵坐标
均不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于xOy平面对称
的点的坐标为P2(-2,1,-4);设点P关于点A对称的点的坐标为
P3(x,y,z),由中点坐标公式可得
故点P关于点A(1,0,2)对称的点的坐标为P3(4,-1,0).
答案：(-2,-1,-4) (-2,1,-4) (4,-1,0)
5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DC的中点,取
如图所示的空间直角坐标系,写出A,B1,E,D1的坐标.
【解析】结合图形知：点A(2,2,0),B1(2,0,2),D1(0,2,2),
D(0,2,0),C(0,0,0).则E(0,1,0).
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