资料简介
第三十一章 随机事件的概率
31.2随机事件的概率
问题提出
1.日常生活中，有些问题是能够准确回答的.例如，明
天太阳一定从东方升起吗？明天上午第一节课一定是
八点钟上课吗？等等，这些事情的发生都是必然的.同
时也有许多问题是很难给予准确回答的.例如，你明天
什么时间来到学校？明天中午12：10有多少人在学校
食堂用餐？你购买的本期福利彩票是否能中奖？等等，
这些问题的结果都具有偶然性和不确定性.
2.从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之
间往往存在有某种内在联系.例如，西安地区一年四季的
变化有着确定的、必然的规律，但西安地区一年里哪一
天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，哪一天下第
一场雪等，都是不确定的、偶然的.
3.数学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要.对
于事情发生的必然性与偶然性，及偶然性事情发生的可能
性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究.
知识回顾：必然事件、不可能事件和随机事件
思考1：考察下列事件：
（1）导体通电时发热；
（2）向上抛出的石头会下落；
（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的
一般含义吗？
思考3：你能列举一些必然事件的实例吗？
思考4：考察下列事件：
（1）在没有水分的真空中种子发芽；
（2）在常温常压下钢铁融化；
（3）服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必
然事件.
思考5：我们把上述事件叫做不可能事件，你指出不可能
事件的一般含义吗？
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S
的不可能事件
思考6：你能列举一些不可能事件的实例吗？
思考7：考察下列事件：
（1）某人射击一次命中目标；
（2）马林能夺取北京奥运会男子乒乓球单打冠军；
（3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件就其发
生与否有什么共同特点？
思考8：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件
的一般含义吗？
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对
于条件S的随机事件.
思考9：你能列举一些随机事件的实例吗？
思考10：必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事
件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…
表示.
物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平
的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它发生
的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映.
知识探究：事件A发生的频率与概率
思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的
次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频
率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
抛掷次数 正面向上次数 频率
2 048 1 061 0.518 1
4 040 2 048 0.506 9
12 000 6 019 0.501 6
24 000 12 012 0.500 5
30 000 14 984 0.499 6
72 088 36 124 0.501 1
思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试
验，结果如下表所示：
在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定
值为多少？ 0.5
思考3：某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行
了大量重复试验，结果如下表所示：
在上述油菜籽发芽的试验中，每批油菜籽发芽的频率的稳定
值为多少？
每批粒
数
2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000
发芽的
粒数
2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715
发芽的
频率
1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
0.9
思考4：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否
发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试
验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，
这个规律性是如何体现出来的？
事件A发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动.
思考5：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)
趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常
数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做
事件A发生的概率，记作P（A）.
那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多
少？在上述油菜籽发芽的试验中，油菜籽发芽的概率是多
少？
思考6：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未
知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何
得到事件A发生的概率？
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，
即概率.
思考7：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频
率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概
率P（A）是否一定相等？
频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A
发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观
存在的，与每次试验无关.
思考8：必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？
概率的取值范围是什么？
思考9：概率为1的事件是什么事件？概率为0的事件是什
么事件？
思考10：怎样理解“4月3号某地区的降水概率为0.6”的
含义？
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
0.90
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次
数m
8 19 44 92 178 455
击中靶心的
频率
0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
小结作业
1.概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得
到概率的估计值.
2.随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但
是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发
生的频率逐渐稳定在区间[0，1]内的某个常数上（即事
件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发生的概率
就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概
率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此，概
率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
3.任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，小概率
（接近0）事件很少发生，大概率（接近1）事件则经常
发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确
的决策.
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