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第三十一章 随机事件的概率 31.2随机事件的概率 问题提出 1.日常生活中,有些问题是能够准确回答的.例如,明 天太阳一定从东方升起吗?明天上午第一节课一定是 八点钟上课吗?等等,这些事情的发生都是必然的.同 时也有许多问题是很难给予准确回答的.例如,你明天 什么时间来到学校?明天中午12:10有多少人在学校 食堂用餐?你购买的本期福利彩票是否能中奖?等等, 这些问题的结果都具有偶然性和不确定性. 2.从辨证的观点看问题,事情发生的偶然性与必然性之 间往往存在有某种内在联系.例如,西安地区一年四季的 变化有着确定的、必然的规律,但西安地区一年里哪一 天最热,哪一天最冷,哪一天降雨量最大,哪一天下第 一场雪等,都是不确定的、偶然的. 3.数学理论的建立,往往来自于解决实际问题的需要.对 于事情发生的必然性与偶然性,及偶然性事情发生的可能 性有多大,我们将从数学的角度进行分析与探究. 知识回顾:必然事件、不可能事件和随机事件 思考1:考察下列事件: (1)导体通电时发热; (2)向上抛出的石头会下落; (3)在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾. 这些事件就其发生与否有什么共同特点? 思考2:我们把上述事件叫做必然事件,你指出必然事件的 一般含义吗? 思考3:你能列举一些必然事件的实例吗? 思考4:考察下列事件: (1)在没有水分的真空中种子发芽; (2)在常温常压下钢铁融化; (3)服用一种药物使人永远年轻. 这些事件就其发生与否有什么共同特点? 在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必 然事件. 思考5:我们把上述事件叫做不可能事件,你指出不可能 事件的一般含义吗? 在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S 的不可能事件 思考6:你能列举一些不可能事件的实例吗? 思考7:考察下列事件: (1)某人射击一次命中目标; (2)马林能夺取北京奥运会男子乒乓球单打冠军; (3)抛掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件就其发 生与否有什么共同特点? 思考8:我们把上述事件叫做随机事件,你指出随机事件 的一般含义吗? 在条件S下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对 于条件S的随机事件. 思考9:你能列举一些随机事件的实例吗? 思考10:必然事件和不可能事件统称为确定事件,确定事 件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C,… 表示. 物体的大小常用质量、体积等来度量,学习水平 的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件,它发生 的可能性有多大,我们也希望用一个数量来反映. 知识探究:事件A发生的频率与概率 思考1:在相同的条件S下重复n次试验,若某一事件A出现的 次数为nA,则称nA为事件A出现的频数,那么事件A出现的频 率fn(A)等于什么?频率的取值范围是什么? 抛掷次数 正面向上次数 频率 2 048 1 061 0.518 1 4 040 2 048 0.506 9 12 000 6 019 0.501 6 24 000 12 012 0.500 5 30 000 14 984 0.499 6 72 088 36 124 0.501 1 思考2:历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试 验,结果如下表所示: 在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的频率的稳定 值为多少? 0.5 思考3:某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行 了大量重复试验,结果如下表所示: 在上述油菜籽发芽的试验中,每批油菜籽发芽的频率的稳定 值为多少? 每批粒 数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000 发芽的 粒数 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715 发芽的 频率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 0.9 思考4:上述试验表明,随机事件A在每次试验中是否 发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试 验次数的增加,事件A发生的频率呈现出一定的规律性, 这个规律性是如何体现出来的? 事件A发生的频率较稳定,在某个常数附近摆动. 思考5:既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A) 趋于稳定,在某个常数附近摆动,那我们就可以用这个常 数来度量事件A发生的可能性的大小,并把这个常数叫做 事件A发生的概率,记作P(A). 那么在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的概率是多 少?在上述油菜籽发芽的试验中,油菜籽发芽的概率是多 少? 思考6:在实际问题中,随机事件A发生的概率往往是未 知的(如在一定条件下射击命中目标的概率),你如何 得到事件A发生的概率? 通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值, 即概率. 思考7:在相同条件下,事件A在先后两次试验中发生的频 率fn(A)是否一定相等?事件A在先后两次试验中发生的概 率P(A)是否一定相等? 频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件A 发生的频率可能不相同;概率是一个确定的数,是客观 存在的,与每次试验无关. 思考8:必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少? 概率的取值范围是什么? 思考9:概率为1的事件是什么事件?概率为0的事件是什 么事件? 思考10:怎样理解“4月3号某地区的降水概率为0.6”的 含义? 例2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: (1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? 0.90 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次 数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的 频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 小结作业 1.概率是频率的稳定值,根据随机事件发生的频率只能得 到概率的估计值. 2.随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但 是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发 生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事 件A的概率),这个常数越接近于1,事件A发生的概率 就越大,也就是事件A发生的可能性就越大;反之,概 率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此,概 率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量. 3.任何事件的概率是0~1之间的一个确定的数,小概率 (接近0)事件很少发生,大概率(接近1)事件则经常 发生,知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确 的决策. 查看更多

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