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第二十九章 直线与圆的
位置关系
29.5正多边形与圆
各边相等各边相等,,各角也相等的多边形叫做正多边形。各角也相等的多边形叫做正多边形。
正正nn边形：边形：如果一个正多边形有如果一个正多边形有nn条边，那么这个正多条边，那么这个正多
边形叫做边形叫做正正nn边形。边形。
三条边相等三条边相等
三个角相等三个角相等
（（6060°°）。）。
四条边相等四条边相等
四个角相等四个角相等
（（9090°°））
正三
角形
正方形
一一 ..正多边形的定义正多边形的定义
问题1，什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
练习:
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都
相等.
正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它
的中心就是对称中心。
1.正多边形的各边相等
2.正多边形的各角相等
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？ A
B C
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗??
弧相等弧相等
弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）
多边形是正多边形多边形是正多边形
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
得到正多边形吗??
证明：证明：∵∵AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA
A
B
C D
E
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴∴AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA
∵∵BCE=CDA=3ABBCE=CDA=3AB⌒
∴∠A=∠B∴∠A=∠B 同理同理∠∠B=∠C=∠D=∠EB=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又又∵∵顶点顶点AA、、BB、、CC、、DD、、EE都在都在⊙⊙OO上上
∴∴五边形五边形ABCDEABCDE是是⊙⊙OO的的 内接正五边形内接正五边形..
定义：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正多边形.
E
F C
D
.OO
中心角
半径半径RR
边心距r
正多边形的中心正多边形的中心::
一个正多边形的一个正多边形的
外接圆的圆心外接圆的圆心..
正多边形的半径正多边形的半径::
外接圆的半径外接圆的半径
正多边形的中心角正多边形的中心角::
正多边形的每一条正多边形的每一条
边所对的圆心角边所对的圆心角..
正多边形的边心距：正多边形的边心距：
中心到正多边形的中心到正多边形的
一边的距离一边的距离..
二二. . 正多边形有关的概念正多边形有关的概念
A B
新课讲解
中心
E
DC
B
A
O
半径 中心角 边心距
正多边形中的有关概念：
F
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心
每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形
？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．
正多边形与三角形
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角
三角形，这些直角三角形也是全等的．
E
F C
D
..O
中心角中心角
AA BBGG
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
R a
新课讲解
E
DC
B
A
O
F
中心角与内角互补
正正nn边形的一个内角的边形的一个内角的
度数是度数是____________;____________;
中心角是中心角是_______;_______;
正多边形的中心角与外角的大小关正多边形的中心角与外角的大小关
系是系是________.________.相等相等
抢答题：
1.O是正
与 的圆心。
△ABC的中心，它是△ABC的
2.OB叫正△ABC的 ，
它是正△ABC的 的半径。
3.OD叫作正△ABC的 它是正
△ABC的 的半径。
A
B C
.O
D
半径
外接圆
边心距
内切圆
外接圆
内切圆
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD
的 。
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD
的 。
A
B C
D
.O
E
中心
边心距
6.⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五
边形ABCDE的 ，它是正五边形ABCDE的
圆的半径。
7.∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角，它的度数是
。 D
E
A B
C
.O
F
边心距 内切
中心
72°
8.图中正六边形ABCDEF的中心角是 ，
它的度数是 。
9.你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
BA
E
F C
D
.O
∠AOB
60°
解答：正六边形的半径与边长
数量关系是相等
因为：正六边形的中心角
是60度和半径组成的三角
形是等边三角形，所以边
长与半径相等。
例1、 有一个亭子它的地基是半径为4 m的正六边形，
求地基的周长和面积。
F
A D
E
..OO
B C
r R
P
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
F
A D
E
..OO
B C
r R=4
P
例2、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为6 cm。
（1）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。
（2）求正六边形ABCDEF的边心距。
作半径OA、OB；
∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△OAB是正三角形，R=AB=6cm。
r 6
D
F
A B
C
E
O
H
R
解：（1）
∵∠HOB= 60°= 30°
2
1 ×
答：正六边形的外接圆半径是6cm，边心距是 cm。
（2）作OG⊥AB于H，得Rt△OHB．
练习：已知正六边形ABCDEF的的边心距为r =6cm，求正
六边形ABCDEF的外接圆的半径R。
r
D
F
A B
C
E
O
H
R
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120 °
①用量角器度量，使
∠AOB=∠BOC=∠COA=
120°．
②用量角器或30°
角的三角板度量，使
∠BAO=∠OAC=30°．
A
O
C B
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边
形吗？
·
A
B C
D
O
·
A
B
C D
E
O O
A
B C
D
EF
·
90° 72° 60°
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗
？
O
A
B C
EF
· D
以半径长在圆周
上截取六段相等的弧，
依次连结各等分点，
则作出正六边形.
先作出正六边形，
则可作正三角形，正
十二边形，正二十四
边形………
定理：
把圆分成n（n≥3）等份：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的
内接正多边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交
点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边
形。
A
B
C D
E
O
如图：
已知点A、B、C、D、E是⊙O
的5等分点，画出⊙O的内接和
外切正五边形
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺
规作正六边形及由此扩展作正十二边形、正三角形．
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