资料简介
第11章 反比例函数
11.2 反比例函数的图像与性质
温故知新
什么叫反比例函数?
一般地，形如 的函数叫做
反比例函数．其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系
数.
情 境 引 入情 境 引 入
一次函数 （k、b为常数，k≠0）它的图像
是什么？有哪些性质？
本节课我们一起研究反比例函数 （k为
常数，k≠0）的图像是怎样的图形？
已知反比例函数 ，请你描述一下这个函数图
像具有哪些特征？思考下列问题：
（1）x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像
会在哪几个象限？
（2）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y
轴有交点吗？
（3）当x＞0时，随着x的增大，y怎样变化？当x＜0时，
随着x的增大，y怎样变化？这个函数的图像与x轴、y轴的
位置关系有什么特征？
观 察 思 考
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画一次函数的图像的步骤？
1.列表
2.描点
3.连线
回顾与思考
4321-6 -1-2-3-4 6x …
…
…
…
实 践 探 索 一
画出反比例函数 的图像.
1.列表．
1.5236-1 -6-3-2-1.5 1
2．描点．
3．连线．
用平滑的曲线
按自变量从小
到大的顺序连
接各点
由两个 分支的曲线组成的，
叫做双曲线.
分别画出反比例函数 、 的图像．
0
y
x-2
6
-6
5-5
5
-5
4-4 3
4
-4
-3 2
3
-3
2
-2
-1
1
-1o 1
反比例函数 的图像有什么特征?6= xy
①图像由两个分支组成，分别
位于第一、三象限。
②图像逐渐接近于x、y轴，但
与两坐标轴永不相交。
③在每个象限内，y随着x增大
而减小。
说一说反比例函数 的图像具有哪些特
征，并请在平面直角坐标系中画它的图像．
实 践 探 索 二
O X
y
2 4 6-2-4-6
2
4
6
-2
-4
-6
反比例函数 的图像有什么特征?
0
y
x-2
6
-6
5-5
5
-5
4-4 3
4
-4
-3 2
3
-3
2
-2
-1
1
-1 1
y = x
6
①图像由两个分支组成，分别位于
第二、四象限。
②图像逐渐接近于x、y轴，但与两
坐标轴永不相交。
③在每个象限内，y随着x增大
而增大。
O X
y
2 4 6-2-4-6
2
4
6
-2
-4
-6
O X
y
2 4 6-2-4-6
2
46
-2
-4
-6
通过比较反比例函数通过比较反比例函数 与与 的图像的特征，的图像的特征，
说出它们相同点与不同点？说出它们相同点与不同点？
（1）函数图像分别位于哪几个象限内？
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
反比例函数 （k为常数，k≠0）的图像 是双曲线.
k＞0
k＜0
双曲线的两支分别在第一、三象
限，在每个象限内，y随x的增大
而减小。
双曲线的两支分别在第二、四象
限，在每个象限内，y随x的增大
而增大。
1. 已知函数 在每一象限内，y随x的增大
而减小，那么k的取值范围是 ；
2.已知函数 .
（1）图象在其每个象限内y的值随x值的增大而增
大，求m的取值范围；
（2）图象经过第一、三象限，求m的取值范围；
3.已知反比例函数 的图象经过 A（2，－4）.
(1) 求k的值。
(2) 画出函数的草图。
(3) 这个函数的图象在哪些象限？
在每个象限内，y随x的增大而怎样变化？
(4) 点B（0.5 ，－16），C（－3，5）在这个函数的图
象上吗？
观察：
（1）在列表中各点的横纵坐标之间各有什么特点与联系？
（2）由此你能大胆猜测反比例函数图象的两支曲线有些什
么对称关系吗？
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
… …-1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
… … 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1
x
y
o x
y
o
双曲线
1.双曲线 关于原点中心对称。
2.双曲线 关于直线y=x(y=-x)轴对称。
1.反比例函数 的图像位于（ ）
(A) 第一、二象限 (B) 第一、三象限
(C) 第二、三象限 (D) 第二、四象限
D
2.反比例函数 的图像位于（ ）
(A) 第一、二象限 (B) 第一、三象限
(C) 第二、三象限 (D) 第二、四象限
B
课堂练习
3.若关于x,y的函数 图像位于第一、三象限，
则m的取值范围是___________m m >>－－11
课堂练习
4.一次函数y=kx-k与反比例函数 在同一直角坐标系内
的图象大致是 （ ）
A B C D
C
先假设某个函数图象已经画好，再确定另外的先假设某个函数图象已经画好，再确定另外的
是否符合条件是否符合条件..
课堂小结
本节课你学到了哪些东西？
第二课时
形状 双曲线 双曲线
所在象限 一、三象限 二、四象限
增减性（在每一象
限内)
随x的增大而减少 随x的增大而增大
对称性 即是轴对称，又是
中心对称
即是轴对称，又
是中心对称
与x、y轴是否相交 不相交 不相交
知识回顾知识回顾
1.函数y=ax-a 与 在同一条直角坐标系中
的图象可能是 :
课前复习
x
y
o x
y
o x
y
o x
y
o
(1) (2) (3) (4)
2.已知反比例函数 ，下列结论不正确的是（
）
A．图象必经过点(-1,2)
B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内
D．若x＞1，则y＞-2
3．如图，是反比例函数 的图像的一支．
（1）函数图像的另一支在第几象限？
（2）求常数m的取值范围．
x
y
O
例2、设菱形的面积是5cm2，两条对角线的长分别是
x cm、y cm．
（1）确定y与x的函数表达式；
（2）画出这个函数的图像．
例题教学例题教学
解：（1）由“菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积
的一半”，得 ． y与x的函数表达式为
，y是x的反比例函数．
（2）根据题意，可知x＞0．
反比例函数 （ x＞0）的图像如图．
例3 、已知反比例函数 的图像与一次函数
的图像的一个交点的横坐标是－3 .
（1）求k的值，并画出这个反比例函数的图像；
（2）根据反比例函数图像，指出当x＜－1时，
y的取值范围.
例题教学例题教学
解：（1）把x＝－3代入y＝x＋1，得 y＝－2.
根据题意，可得反比例函数 的图像与一次函
数y＝x＋1 的图像的一个交点的坐标是（－3，－2）.
把 x＝－3 、y＝－2代入 ，得 ，
即k＝6.
∴反比例函数的解析式为
（2）由函数图像可知，当x＜－1时，－6＜y＜0.
点（-2，y1）（-1，y2）（1，y3）
在反比例函数 的图象上，比较y1、y2、y3的大小．
代入法、图像法、增减性法
思考：比较y1、y2、y3的大小有哪些方法？
活动一：
练习1
若点（-2，y1）、（-1，y2）（1，y3）都在反比
例函数y= （m>0） 的图象上，则下列结论正
确的是（ ）
A. y1>y2>y3 B. y2>y1>y3
C. y3>y1>y2 D. y3>y2>y1
C
已知反比例函数 的图象上有两点A（x1，y1)，
B（x2，y2），且x1＜x2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. y1 y2
C. y1 =y2 D. y1 与y2之间的大小关系不能确定
D
练习2
2.已知：A是双曲线上的一点，过
点A向x轴作垂线，垂足为B，
△AOB的面积是4,则它的解析式
为 。 x
y
B
A C
1.A是双曲线y= 上一点，过点A向x轴作垂线,垂足为B
，向y轴作垂线,垂足为C,则四边形OBAC的面积= 。
O
P
Do
y
x
3.如图, P是反比例函数 图像上的一点,PD⊥x轴于
D.则△POD的面积为 .
(m,n)
1
4.如图, P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、
y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系
式是 .
x
y
oM
Np
1、分别举出具有下列特征的反比例函数：
（1）图象分布在第一、三象限；
（2）图象在每一个象限内，y随x的增大而增大.
2、如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过
这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形
△P1A1O、△ P2A2O、 △ P3A3O，设他们的面积
分别是S1、S2、S3.则 （ ）
A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3
C. S1＜S3＜S2 D. S1=S2=S3
D
P3
P2
P1
A3
A2
A1
y
xo
3.函数y= 与y=ax的图象的一个交点A的坐标是(-1，-3)，
(1)求这两个函数的解析式；
(2)在同一直角坐标系内，画出它们的图象；
(3)你能求出这两个图象的另一个交点B的坐标吗？怎样求？
(4)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反
比例函数的函数值.
1.已知反比例函数 与一次函数y=mx+b的图象交于P
(－2,1)和Q（1，n）两点．
(1) 求k、n的值；
(2) 求一次函数y=mx+b的解析式．
(3) 求△POQ的面积．
知识拓展知识拓展
2. 已知反比例函数y1 =- 和一次函数 y2=kx+2的图象
都过点P（a，2a）．
(1) 求a与k的值；
(2) 在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
(3) 若两函数图象的另一个交点是Q(0.5，4)，利用图象
指出：当x为何值时，有y1﹥y2?
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
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