资料简介
第9章 中心对称图形——
平行四边形
9.4 矩形、菱形、正方形（第一课时）
温故而知新 矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形
一个角是直角
矩形
矩
形
的
性
质
边
角
对角线
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
矩形的 两条对角线相等且互相平分
1、我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，四个
角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？
A
B C
D
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B C
D
∟
∟
∟
证明：∵ ∠A=∠B=90°，
∴ ∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC.
同理可证：AB∥CD
，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
A
B C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：
情境一：工人师傅为了检验两组对边
相等的四边形窗框是否成矩形，一种
方法是量一量这个四边形的两条对角
线的长度，如果对角线的长相等，则
窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B C
D
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
，∴ △ABC≌ △DCB（SSS），
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC+∠DCB=180°，
∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠ABC=∠DCB.
对角线相等的平行四边形是矩形
。
矩形的判定方法：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形.
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B C
D
O（或
OA=OC=OB=OD）
你能归纳出矩形的几种判定方法吗
？
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1
：
方法2
：
方法3
：
议一议
1.有一个角是直角的平行四边形；
2.对角线相等的平行四边形；
3.有三个角是直角的四边形.
矩形.
判断矩形有哪几种方法?
矩形的判定方法
矩形.
矩形.
对于 四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？任意平行
例1、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,
D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平
分线.求证：四边形DECF是矩形.
EF
D
C
A B
证明：
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC= AB=DA=DB.
∵ DC=DA，DF平分∠ADC，
∴DF⊥AC，
即∠DFC=90 °，
同理∠DEC=90 °，
∴四边形DECF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）.
例2 、如图，直线 l1∥l2 ，A、C是直线l1上任意的两点，
AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D，线段AB、CD相
等吗？为什么？
两条平行线之间的距离处处相等.
A
DB
C
l2
l1
解：由AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，可知
AB ∥ CD.
又因为l1∥l2 ，
所以四边形ABCD是矩形，
AB=CD.
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
1.已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｅ、
Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF
＝CG＝DH。求证：四边形EFGH是矩形.
Ｂ
A
Ｃ
Ｄ
ＯＥ
Ｆ Ｇ
Ｈ
自学检测一：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AC=BD，
AO=CO= AC，BO=DO= BD，
∴AO=CO=BO=DO.
又∵ AE＝BF＝CG＝DH，
∴ EO=FO=GO=HO，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵ EO=FO=GO=HO，∴ EG=FH.
∴四边形EFGH是矩形.
2、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD
分别相交于点B、D．
（1）猜想AC和BD间的关系是 ；
（2）试用理由说明你的猜想．
相等且互相平分
课堂小结
1.矩形的判定定理
（1）对角线相等的平行四边形是矩形。
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
2.矩形的性质在证明中的应用。
（对角线相等和四个角都是直角）
3.线段和角转移的方法。
第二课时
情境创设
图片中有你熟悉的图形吗？这些图形有什么共同特征？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
∵在□ABCD中，AB＝BC，
∴□ABCD是菱形．
数学化认识
符号语言：
菱形的定义：
A
B
C
D
菱形是一个特殊的平行四边形.
菱形具有平行四边形的所有性质.
菱形和平行四边形有什么关系?
菱形既然是一个特殊的平行四边形，那么菱形还有哪
些特殊的性质?
探索活动一：
菱形的四条边相等．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA．
数学化认识
菱形的性质：
菱形的对角线互相垂直．
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
A
B
C
D
菱形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗?如果是
，请找出它的对称中心和对称轴．
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
探索活动三：
A
B
C
D
菱形的对角相等；
菱形的对角线互相垂直平分；
从角看：
从对角线看：
从边看：菱形的对边平行；
从对称性看：菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
菱形的性质：
菱形的四条边相等；
小结
第三课时
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
叫做正方形．
数学化认识
正方形的定义：
符号语言：
A
B C
D
∵在□ABCD中，∠A=90°，AB＝
BC，
∴□ABCD是正方形．
探索活动一：
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如何？
正方形矩形 菱形
平行四边形
说明：正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
平行四边形 矩形 菱形 正方形
中心对称图形
轴对称图形
对边平行且相等
四边相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
我们已经学习了平行四边形、矩形、菱形的性质，请在下表
相应的空格内打“√”：
探索活动二：
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
正方形的四条边都相等．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
OA＝OB＝OC＝OD，
AC＝BD，AC⊥BD ．
数学化认识
正方形的性质：
符号语言：
正方形的四个角都是直角．
正方形的对角线相等且互相垂直平分．
A
B C
D
O
矩形添加什么条件可成为正方形？菱形添加什么
条件可成为正方形？你能归纳出判定正方形的条件吗
？
探索活动三：
∵在矩形ABCD 中，AB=BC,
∴矩形ABCD是正方形.
数学化认识
正方形判定定理：
符号语言：
有一组邻边相等的矩形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
∵在菱形ABCD 中，∠A＝90°，
∴矩形ABCD是正方形.
A
B C
D
下列说法正确吗？为什么？
探索活动四：
(1) 四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形；
(2) 有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形；
(3) 有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形；
(4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
例题讲解
例1 、已知：如图，在正方形ABCD中，点A’、B’、C’、
D’分别在AB、BC、CD、DA上，且AA’＝BB’＝CC’＝
DD’．
求证：四边形A’B’C’D’ 是正方形．
想一想：你还有其他证明方法吗？试一
试．
例2 、E是正方形ABCD边BC延长线上一点，且
CE=AC.求∠E的大小.
A D
B C E
注：利用好正方形中特殊的角
例题讲解
例3 、在正方形ABCD中， 点E、F分别在AB、BC上，
且AE=BF，AF与DE相交于点G.从所给的条件中，你能
得出哪些结论？为什么？ A D
B C
E
F
G
例题讲解
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