资料简介
第四章 圆与方程
第二节 直线、圆的位置关系
直线与圆的方程的应用
1.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.
2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.
在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,
领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决
平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:
第一步:______________________,用坐标和方程表示问题
中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.
第二步:通过__________,解决代数问题.
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
注意:______________方法的灵活运用.
建立适当的直角坐标系
代数运算
数形结合思想
1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)
第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原
点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适
当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将
几何问题转化为代数问题.
第二步:用代数运算解决代数问题.
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
2.要灵活运用数形结合的思想方法.
对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.
题型一 数形结合思想方法的应用
例1:(1)方程 表示的曲线是什么?
(2)若方程 有解,求实数b的取值范围.
解:(1) 等价于x2+y2=9(y≥0),
∴ 表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x轴
上方的半圆(包括两个端点).
(2)方程 有解,即半圆 与直线
y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3≤b≤3 时,方程
有解.
变式训练1 若直线 与圆x2+y2=1有公共点,则( )
A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1
答案:D
题型二 用坐标法求圆的方程
例2:如下图所示,点M是弓形弧 的中点,弦|OA|=8,弓
形的高为2 m,求此弧所在圆的方程.
分析:只需要求圆心坐标及半径即可.
解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,
那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.
由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上
解得:b=-3,r2=25.
所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角
坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建
立的坐标系不同,所求得的方程不同.
变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点
P分别作圆O1,圆O2的切线PM､PN(M,N分别为切点),使得
,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直
角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).
由已知 得PM2=2PN2,
因为圆的半径为1,所以:
PO2
1-1=2(PO2
2-1),
设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.
故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
题型三 与圆有关的综合问题
例3:已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△ABO内
切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为直径的三个圆面积之和
的最大值与最小值.
分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求
|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.
由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从
△ABO内切圆的方程入手.
解:如下图,建立直角坐标系,使A､B､O三点的坐标分别为
A(4,0)､B(0,3)､O(0,0).
易求得△ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1).
故内切圆的方程是
(x-1)2+(y-1)2=1.
化简为x2+y2-2x-2y+1=0,①
设P(x,y),则
|PA|2+|PB|2+|PO|2
=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2
=3x2+3y2-8x-6y+25.②
由①可知x2+y2-2y=2x-1,
将其代入②有
|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25
=-2x+22.
∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18,三
个圆面积之和为
∴所求面积的最大值为 最小值为
规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问
题,将几何问题转化为代数问题.
变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的
台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是
半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40
km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响
?
解:如图所示:
以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐
标系,其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所
对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置
坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为
即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离
而
r=3,∴d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.
易错探究
例4:已知圆x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求两圆的位
置关系.
得4x-3y-4=0,即
代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.
∵Δ=100-4×25=0,
∴两圆只有一个公共点,故两圆相切.
错因分析:两圆方程联立,Δ=0说明两圆只有一个公共点,此时
两圆有可能外切,也有可能内切.
正解:把两圆的方程分别配方,化为标准方程为
(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,
∴两圆心坐标C1(-1,-1),C2(3,-4),
半径r1=1,r2=4.
∴圆心距|C1C2|= =5=r1+r2.∴两圆相外切.
技 能 演 练
基础强化
1.已知直线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则三条边长
分别为|a|,|b|,|c|的三角形( )
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
解析:直线与圆相切,则
∴a2+b2=c2.
答案:B
2.已知点A､B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则
A､B两点之间的最短距离为( )
解析:两圆心之间的距离为
∴两圆相离,∴A、B两点之间的最短距离为
答案:C
3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是( )
A.都是两个点
B.一条直线和一个圆
C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆
D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆
解析:x(x2+y2-1)=0 x=0或x2+y2-1=0,则它表示一条直线
x=0和一个圆x2+y2=1;
x2-(x2+y2-1)2=0 (x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,
∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,
即
它表示两个圆.因此,选C.
答案:C
4.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,
则该直线的方程是( )
解析:设切线方程为y=kx,圆的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心(-
2,0)到直线y=kx的距离为1,
∴
又∵切点在第三象限,∴
答案:C
5. 若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P､Q两点,且
∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为( )
解析:∵∠POQ=120°,∴点O到直线y=kx+1的距离
又
答案:A
6. 圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是
___________________.
解析:半径
则圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(x-1)2+(y-1)2=2
7.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为
_____________________.
解析:当两圆内切时有 =4,∴a=0.
当两圆外切时,有 ∴a=±
8.与圆x2+y2=4切于点 的切线方程为__________.
解析:圆心(0,0),
∴切线的斜率 又切点为
∴切线方程为
即
能力提升
9.已知圆C:(x-2)2+y2=2.
(1)求与圆C相切,且在x轴､y轴上截距相等的直线方程;
(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点,
且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.
解:(1)设横､纵截距相等的切线方程为
kx-y=0,与x+y+c=0,则
与 解得k=±1,c=-4或c=0.
故切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.
(2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得
化简得点P的轨迹为直线 要使|PM|最小,即要使|PO|最
小,过O作直线 的垂线.∴垂足 是所要求的点.
10.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,
(1)求 的最值;
(2)求y-x的最值;
(3)求x2+y2的最值.
解:(1)∵圆的标准方程为(x-2)2+y2=3,其圆心为(2,0),半径为
设 即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值.此时
解得k=±
∴ 的最大值为 最小值为
(2)设y-x=b,即y=x+b.当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大
值和最小值,此时
即b=-2± ∴y-x的最大值为 最小值为-2- (3)x2+y2
表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识可知,它
在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值.又圆
心到原点的距离为2,
∴x2+y2的最大值为 最小值为
品 味 高 考
11. 直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A､B两点,则
|AB|=________.
解析:圆心到该直线的距离
∴弦长=
11.(2010·四川理14)直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A､B
两点,则|AB|=________.
解析:圆心到该直线的距离
∴弦长=
12. 已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过点A且与圆O相切的
直线与坐标轴围成的三角形面积等于________.
解析:依题意过点A(1,2)作圆的切线方程为x+2y=5,在x轴上的
截距为5,在y轴上的截距为 切线与坐标轴围成的面积
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