资料简介
27.2 相似三角形/
27.2.2 相似三角形的性质
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2 相似三角形/
相似三角形的判定方法有哪几种？
1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三
角形与原三角形相似.
3. 三边对应成比例的两三角形相似.
4. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
5. 两角分别相等的两个三角形相似.
6. 两边对应成比例的两直角三角形相似.
导入新知
27.2 相似三角形/
三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素?
【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些要素
有一些怎样的性质呢?
导入新知
27.2 相似三角形/
1. 在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角
形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积
的比等性质，并运用其进行计算与推理.
2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解
决相关的问题.
素养目标
27.2 相似三角形/
三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高 角平分线 中线
探究新知
27.2 相似三角形/
A
B C
A'
B' C'
探究新知
知识点 1 相似三角形对应线段的比相似三角形对应线段的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 ，它们
对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少
？
27.2 相似三角形/
A
CB
A′
B′ C′
（2）探究新知
△ABC ∽△A′B′C′
相似比为
对应高的比
D′
D
27.2 相似三角形/
C
A′
B′ C′
（1）探究新知
△ABC ∽△A′B′C′
相似比为
对应中线的比
D′
D
A
B
27.2 相似三角形/
C
A′
B′ C′
（3）探究新知
△ABC ∽△A′B′C′
相似比为
对应角平分线的比
D′
D
A
B
27.2 相似三角形/
如图， △ABC ∽△A′B′C′ ，若相似比为k ，它们对
应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？
A
B C
A'
B' C'
探究新知
27.2 相似三角形/
相似三角形对应高的比等于相似比
证明：∵△ A′B′C′∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ ∠A'D′B' =∠ADB =90°,
∴△A′B′D′∽△ABD
从而
如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，
B′C′上的高AD，A′D′．
求证：
探究新知
27.2 相似三角形/
证明：∵△ABC∽△DEF.
相似三角形对应中线的比等于相似比.
A
B CMD
E FN
又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线.
∴△ABM∽△DEN.
求证：
已知： △ABC∽△DEF. AM、DN分别为中线
探究新知
∴BC=2BM,EF=2EN,
∴
∴
∴∠B =∠E,
27.2 相似三角形/
证明：∵△ABC∽△DEF.
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
A
B CM D
E FN
求证：
已知：△ABC∽△DEF. AM、DN分别为角平分线
探究新知
∴
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
∴ ， ，
27.2 相似三角形/
相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
探究新知
归纳总结
27.2 相似三角形/
解：∵ △ABC ∽△DEF，
D
E F
H
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和
△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm.
求 EH 的长.
∴
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B C
故 EH 的长为 3.2 cm.
探究新知
素 养 考 点 1 利用相似三角形对应线段的比求线段的长度
27.2 相似三角形/
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为________,对
应角的角平分线的比为 .
2∶ 3
2 ∶ 3
2.两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4 , 若一个三角形
的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是_______. 3或48
巩固练习
27.2 相似三角形/
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么
？
【想一想】
探究新知
27.2 相似三角形/
相似三角形周长的比等于相似比.
已知：
求证：
证明1：
∴
∴ (等比性质)
A
CB
B′
A′
C′
探究新知
∵△ABC ∽△A′B′C′
△ABC ∽△A′B′C′
27.2 相似三角形/
A
B C
证明2
：
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
探究新知
相似三角形的周长比等于相似比
∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k
∴
A′
B′ C′
27.2 相似三角形/
3.相似三角形对应边的比为2∶5,那么周长比为
________.2∶5
4.两个相似三角形周长的比为1∶7 , 则它们的相似
比为_______,对应边上角平分线的比为_______. 1∶71∶7
巩固练习
27.2 相似三角形/
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它
们的面积比是多少？
A
B C
A'
B' C'
探究新知
知识点 2 相似三角形面积的比相似三角形面积的比
27.2 相似三角形/
由前面的结论，我们有
A
B C
A'
B' C'D'D
探究新知
27.2 相似三角形/
∴
几何表述:
相似三角形性质定理:
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
探究新知
∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，
归纳:
∴
A′
B′ C′A
B C
27.2 相似三角形/
5. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 k ……
周长比 ……
面积比 10000 ……
2
4
100
100 k
k2
巩固练习
27.2 相似三角形/
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
A
B C
D
E F∴
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，
AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，
面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
探究新知
素 养 考 点 1 利用相似三角形面积的比求面积或线段
27.2 相似三角形/
A
B C
D
E F
面积为
探究新知
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ，
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
27.2 相似三角形/
6. 如果两个相似三角形的面积之比为 4 : 9，较大三
角形一边上的高为 18，则较小三角形对应边上的高
为______.
巩固练习
12
27.2 相似三角形/
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的
面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5
，
∴ 面积比为 9 : 25. B C
A
D
E
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
素 养 考 点 2 利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）
探究新知
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
27.2 相似三角形/
7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 （点A ） 发出的光线照射桌
面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地
面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积
约为多少 (结果保留两位小数)？ A
DE F
CB
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.2÷2 = 0.6(米).
∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH，
巩固练习
27.2 相似三角形/
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
(平方米
).答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
巩固练习
∴ 阴影部分的面积为：
A
DE F
CB
H
27.2 相似三角形/
1.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（
）
A． B．2：3 C．4：9 D．8：27
连 接 中 考
巩固练习
C
2.（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且
△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A．32 B．8 C．4 D．16
C
27.2 相似三角形/
2.（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点
D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得
河宽AB=_____m．
1.（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则
△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
100
27.2 相似三角形/
3. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为
原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大
为原来的______倍.
25
10
基 础 巩 固 题
课堂检测
27.2 相似三角形/
4. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是
________________；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别
是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
基 础 巩 固 题
课堂检测
27.2 相似三角形/
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，
且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED :
S△ABC 的值.
A
B C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
因此面积比为 1 : 4.
∴
课堂检测
能 力 提 升 题
27.2 相似三角形/
A
B C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC= 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2
，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 :4 =
课堂检测
能 力 提 升 题
27.2 相似三角形/
如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、
E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
∴
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
A
B C
D E
F
课堂检测
拓 广 探 索 题
27.2 相似三角形/
∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
课堂检测
拓 广 探 索 题
A
B C
D E
F
27.2 相似三角形/
相似
三角
形的
性质
相似三角形对应线段的比
等于相似比
相似三角形面积的比等于
相似比的平方
相似三角形性质的运用
课堂小结
27.2 相似三角形/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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