天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 九年级下册 / 第二十八章 锐角三角函数 / 28.2.2 应用举例 / 人教版九年级数学下册 28.2.2应用举例课件
资料简介
28.2 解直角三角形及其应用
第一课时
第二课时
第三课时
人教版 数学 九年级 下册
28.2.2 应用举例
28.2 解直角三角形及其应用/
解直角三角形的简单应用
第一课时
返回
28.2 解直角三角形及其应用/
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，
如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧
”.
导入新知
你知道高跟鞋的鞋底与
地面的夹角为多少度时，
人脚的感觉最舒适吗？
28.2 解直角三角形及其应用/
3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养
学生分析问题、解决问题的能力．
1. 巩固解直角三角形相关知识 .
素养目标
2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际
问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选
择三角函数解决问题.
28.2 解直角三角形及其应用/
（2）两锐角之间的关系
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系 A
Ba
b c
C
探究新知
知识点 1 利用解直角三角形解答简单的问题利用解直角三角形解答简单的问题
28.2 解直角三角形及其应用/
小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点
A到达点B时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶
的路线与水平面的夹角为30° ，你知道缆车垂直上升的距
离是多少吗?
A
B
A
B
D30°
300m
解：BD=ABsin30°=150m
探究新知
D
28.2 解直角三角形及其应用/
A
B
C
小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C
， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆
车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？
A
B
D
C
E60°
200m
小明需要115.5s才
能到达目的地.
探究新知
解：
231÷2=115.5（s）
30°
28.2 解直角三角形及其应用/
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目
标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离
地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面
P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142 ，结
果取整数）？
O
F
P
Q
FQ是☉O的切线，∠FQO
为直角.
最远点
求 的长，要先
求∠POQ的度数
探究新知
素 养 考 点 1 建立直角三角形模型解答简单的问题建立直角三角形模型解答简单的问题
28.2 解直角三角形及其应用/
解：设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的
最远点距离P点约2051km.
探究新知
O
F
P
Q
∴ 的长为
28.2 解直角三角形及其应用/
【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形
的应用前提条件是什么吗？如何进行？
【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函
数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需
添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/小结探究新知
归纳总结
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化
为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去
解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案。
注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
28.2 解直角三角形及其应用/
1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜
角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，
那么梯子的长至少为多少米？
A
B C
解：如图所示，依题意可知∠B= 60°
答：梯子的长至少4.62米.
巩固练习
28.2 解直角三角形及其应用/
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大
小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角
（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地
面的最大距离为多少？
0.5m
3m
60°
探究新知
素 养 考 点 2 建立直角三角形模型解答生活问题建立直角三角形模型解答生活问题
28.2 解直角三角形及其应用/
0.5m
3m
A
BC
D
E
60°
探究新知
分析：根据题意，可知
秋千踏板与地面的最大
距离为CE的长度.因此，
本题可抽象为：已知
DE=0.5m，AD=AB=3m
，∠DAB=60°，△ACB
为直角三角形，求CE的
长度.
28.2 解直角三角形及其应用/
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3m
A
B
D
E
60°
C ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，
∴ CD=AD－AC=1.5m，
∴ CE=AD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
F E
A
2. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m
，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°
，求南楼的影子在北楼上有多高？
北
A
B
D
C
20m
15m
EF
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
∴
巩固练习
∴
28.2 解直角三角形及其应用/
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影
响，请问楼间距BC至少应为多少米?
A
B
20m
?m
北
D
C
南
答案：BC至少为
巩固练习
28.2 解直角三角形及其应用/
（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意
图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH
为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求
操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：
sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
巩固练习
连 接 中 考
图1 图2
28.2 解直角三角形及其应用/巩固练习
连 接 中 考
解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，
在Rt△ACF中，∵ ，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
图2 E
F
28.2 解直角三角形及其应用/
1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A
、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的
方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：
①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，
∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两
树距离的有( )
A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得
∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得
AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )
B
DCA
A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的
着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面
AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.
AC
B
4米
45°
课堂检测
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
·O
C
B
A
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽
诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，
“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗
(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，
=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
能 力 提 升 题
课堂检测
28.2 解直角三角形及其应用/
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是
看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的.
·O
C
B
A
在Rt△OCB中，∠O
课堂检测
能 力 提 升 题
28.2 解直角三角形及其应用/
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆.
拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水
平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线
CE的长.（结果保留根号）
G
解：作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
∴
(米).
拓 广 探 索 题
课堂检测
28.2 解直角三角形及其应用/
G
∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)
，
∴ (米).
课堂检测
拓 广 探 索 题
28.2 解直角三角形及其应用/
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去
解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
课堂小结
28.2 解直角三角形及其应用/
利用俯角和仰角解直角三角形
第二课时
返回
28.2 解直角三角形及其应用/
青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡
试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A处
测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处,测
得B处的俯角为30°.已知AC=40 m,若灰太狼以 5 m/s的速度
从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到
个位)(假设懒洋洋不动)
导入新知
28.2 解直角三角形及其应用/
1. 使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直
角三角形的知识解决实际问题.
2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程
的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本
模型及解题思路.
素养目标
3. 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.
28.2 解直角三角形及其应用/
铅
直
线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在
水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.
探究新知
俯角、仰角问题俯角、仰角问题知识点 1
巧记“上仰下俯”
28.2 解直角三角形及其应用/
例1 热气球的探测器显示，从热气球看
一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部
的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为
120m，这栋楼有多高（结果取整数）？
分析：我们知道，在视线与水平线所成
的角中视线在水平线上方的是仰角，视
线在水平线下方的是俯角，因此，在图
中，α=30°,β=60°.
在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出BD；
类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
Dα
β
仰角 水平线
俯角
探究新知
一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题素 养 考 点 1
28.2 解直角三角形及其应用/
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277m.
A
B
C
Dα
β
探究新知
（m）
28.2 解直角三角形及其应用/探究新知
方法点拨
解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法
根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、
俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角
的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.
28.2 解直角三角形及其应用/
1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定
电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面
成45°角．则两根拉线的总长度为 m(结果用带根
号的数的形式表示).
巩固练习
28.2 解直角三角形及其应用/
例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的
高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，
tan 37°≈0.75）
AB
37°45°
400米
P
素 养 考 点 2
探究新知
两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题
28.2 解直角三角形及其应用/
ABO
37°45°
400米
P
设PO=x米，
在Rt△POB中，∠PBO=45°
，
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
OB=PO= x米.
解得x=1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
即
故飞机的高度为1200米.
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择
一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选
择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔
顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1) 求点B到AD的距离；
答案：点B到AD的距离为20m. E
巩固练习
28.2 解直角三角形及其应用/
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则 (m)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
答：塔高CD为 m.
∴ (m).
巩固练习
E
28.2 解直角三角形及其应用/
α
（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条
隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距
离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观
察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A. 800sinα米 B. 800tanα米
C． 米 D． 米
连 接 中 考
巩固练习
D
28.2 解直角三角形及其应用/
1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘
小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离
BC=____米.
2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点
的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米
.
100
图①B C
A
图②B C
A
D
30°
60°
基 础 巩 固 题
课堂检测
28.2 解直角三角形及其应用/
3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，
测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，则
树高 (精确到0.1米）.
A
D
BE
C
20.9 米
课堂检测
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测
得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为
60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)
，你能帮小明算出该塔有多高吗?
D′
A
B′
BD
C′
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.
课堂检测
∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，
∴x·tan60°-x·tan30°=50，
D′
A
B′
BD
C′
C
∵
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，
设AB′=x m.
∴
∴
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D
处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的
仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
CD 40m
54° 45°
A
B
CD 40m
54° 45°
解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，
BC=DC=40m. 在Rt△ACD中 ，
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m).
课堂检测
能 力 提 升 题
∴AC=DC·tan∠ADC
=tan54°×40≈1.38×40=55.2（m)
28.2 解直角三角形及其应用/
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
拓 广 探 索 题
目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所
示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在
楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B
的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
课堂检测
28.2 解直角三角形及其应用/
解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中， .
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）
∴ BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°
≈116（米）.
课堂检测
拓 广 探 索 题
28.2 解直角三角形及其应用/
利用仰俯角解
直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决
仰角、俯角问题
课堂小结
28.2 解直角三角形及其应用/
利用方向角、坡度解直角三角形
第三课时
返回
28.2 解直角三角形及其应用/
宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一
(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,
如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰
角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮
助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留
整数).
导入新知
图②图①
28.2 解直角三角形及其应用/
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度
的问题.
素养目标
3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如
航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.
28.2 解直角三角形及其应用/
方向角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角
叫做方向角。
北偏东30°
南偏西45°
30°
45°
B
O
A
东西
北
南
探究新知
知识点 1 方向角的有关问题方向角的有关问题
也叫西南方向
28.2 解直角三角形及其应用/探究新知
注意
（1）因为方向角是指北或指南方向线与目
标方向线所成的角，所以方向角通常都写成
“北偏……”, “南偏……”,的形式.
（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、
正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
（3）观测点不同，所得的方向角也不同，
但各个观测点的南北方向线是互相平行的，
通常借助于此性质进行角度转换.
28.2 解直角三角形及其应用/
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的
北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的
A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B
处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P
有多远（结果取整数）？
65°
34°
P
B
C
A
探究新知
有关方向角的实际问题有关方向角的实际问题————距离距离素 养 考 点 1
28.2 解直角三角形及其应用/
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130n mile．
65°
34°
P
B
C
A
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/探究新知
归纳总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
28.2 解直角三角形及其应用/巩固练习
1.美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、
B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，
从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向
.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达景
点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点
B需用多长时间(精确到1分钟)?
解:根据题意,得AC=20×10=200(m).
如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ADC中, ,
DC=AC·sin ∠CAD=200·sin 30°=100.
在Rt△ADB中, .
∴ . ∴ (分).
28.2 解直角三角形及其应用/
例2 海中有一个小岛A，它周围8海
里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航
行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向
上，航行12海里到达C点，这时测得小
岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改
变航线继续向东航行，有没有触礁的危
险？
B
A
C
60°
素 养 考 点 2
探究新知
有关方向角的实际问题有关方向角的实际问题————预测路线预测路线
30°
28.2 解直角三角形及其应用/
解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF
=60°－30°
=30°.
北
东
A
CB
60° 30°
D
E
F
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．
北
东
A
CB
60° 30°
D
E
F
探究新知
∴ (海里)，
28.2 解直角三角形及其应用/
2. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市
间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P
在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森
林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，
请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区
(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)?
巩固练习
北
东
28.2 解直角三角形及其应用/
解：过点P作PC⊥AB于点C．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即 ，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会
穿越保护区．
C
巩固练习
28.2 解直角三角形及其应用/
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际
情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝
或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？
h
h
αα
l
l
知识点 2 坡度、坡角有关的问题坡度、坡角有关的问题
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC
，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 α 表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做
坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
的形式。
h
l
坡度越大
坡角越大
坡面越陡
探究新知
α
水平面
坡面
28.2 解直角三角形及其应用/
（1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度.
（2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
（3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
巩固练习
3.完成下列各题
28.2 解直角三角形及其应用/
例3 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中
AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造
后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后
的坡长AE．(结果保留根号)
探究新知
利用坡度、坡角解答大坝问题利用坡度、坡角解答大坝问题素 养 考 点 1
28.2 解直角三角形及其应用/
解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF =∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则 (m).
故改造后的坡长AE 为 m.
F
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面
为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．
经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背
水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水
坡EF的坡比 ．求加固后坝底增加的宽度
AF.
(结果保留根号)
A B
CDE
F
45°
巩固练习
28.2 解直角三角形及其应用/
A B
CDE
F
45°
GH
解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H，
则GH=DE=2米，EH=DG=10米.
(米)
，
(米).
又∵AG=DG=10米，
故加固后坝底增加的宽度AF为 米.
巩固练习
∴ (米).
28.2 解直角三角形及其应用/
例4 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿
山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚
上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
探究新知
素 养 考 点 2 利用坡度、坡角解答山坡问题利用坡度、坡角解答山坡问题
28.2 解直角三角形及其应用/
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
探究新知
BA
C
i=1:2
28.2 解直角三角形及其应用/
5. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，
测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处．
这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．
请求出点B和点C的水平距离．
A
CB
D
30°
答案：点B和点C的水平距离为 米.
巩固练习
E
28.2 解直角三角形及其应用/
1.（2018•徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的
数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ，
巩固练习
连 接 中 考
28.2 解直角三角形及其应用/
连 接 中 考
巩固练习
解：在Rt△CDE中，∵ ，
∴ ，
∴EF=AD=6m，AF=DE=7m∵四边形AFED是矩形，
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
在Rt△ABF中，∵∠B=45°， ∴BF=AF=7m，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
，
28.2 解直角三角形及其应用/
2.（2018•重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同
学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C
，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜
坡CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E
（A，
B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰
角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，
cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米
C．27.4米 D．28.8米
A
巩固练习
连 接 中 考
28.2 解直角三角形及其应用/
1. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛
的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 ． 90°
基 础 巩 固 题
课堂检测
28.2 解直角三角形及其应用/
2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到
灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测
到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔
距离最近的位置所需的时间是（ ）
A. 10分钟 B. 15分钟
C. 20分钟 D. 25分钟
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
3. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘
船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C
岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距
离为 ． (结果精确到0.1海里，
参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，
tan43°=0.93)
33.5海里
课堂检测
基 础 巩 固 题
28.2 解直角三角形及其应用/
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
A D
B C
i=1:2.5 23
6
α
i=1:3
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可
算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
课堂检测
能 力 提 升 题
28.2 解直角三角形及其应用/
解：分别过点B、C作BE⊥AD于E ，CF⊥AD于F ，
由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
E FA D
B C
i=1:2.5 23
6
α
i=1:3
课堂检测
能 力 提 升 题
28.2 解直角三角形及其应用/
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在Rt△DCF中，同理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)，
课堂检测
A D
B C
i=1:2.5 23
6
α
i=1:3
E F
能 力 提 升 题
28.2 解直角三角形及其应用/
解：作DE⊥AB于E ， CF⊥AB于F ，
由题意可知DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米，
路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽
(精确到0.1米， ， ).
45° 30°
4米
12米
A B
CD
在Rt△ADE中，
E F
课堂检测
拓 广 探 索 题
28.2 解直角三角形及其应用/
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.9米．
(米).
(米).
45° 30°
4米
12米
A B
CD
E F
课堂检测
拓 广 探 索 题
28.2 解直角三角形及其应用/
解直角三角
形的应用
坡度问题
方向角问题
坡角
坡度(或坡比)
课堂小结
28.2 解直角三角形及其应用/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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