资料简介
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
平行四边形边、角的性质
第一课时
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【观察】上面图形给我们留下什么图形的形象？
导入新知
1. 理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四
边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质
.
2. 能够灵活运用平行四边形的性质解决问题.
素养目标
3. 经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,
发展学生的思维水平.
下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？
知识点 1 平行四边形的定义平行四边形的定义
探究新知
两组对边
都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边
分别平行
你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
探究新知
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形..
读作：平行四边形ABCD
A D
B C
记作：： ABCD
AB∥CD
AD∥BC
∵
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD
AD∥BC
∴
两组对边分别平行四边形
CB
A D 平
行
四
边
形
探究新知
注：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向。
例1 如图是某区部分街道示意图，其中BC∥AD∥EG，AB//FH∥DC．
图中的平行四边形共有_____个.并把它们表示出来.
9
A
B C
D
E G
F
H
O
探究新知
素 养 考 点 1 利用平行四边形的定义判断平行四边形
解：∵DC∥FH ∥ AB，DA∥ EG∥ CB
，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中
共有9个平行四边形，即
AEGD, ABHF, AEOF, GOFD, BEOH, CHFD, BEGC, CHFD, ABCD.
提示：用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行
.
1.你能从以下图形中找出平行四边形吗？
(2) (3)(1
)
(4) (5)
巩固练习
√
√
B
A D
c
方法一 观察、度量
平行四边形除
两组对边分别平
行外,你还能得到
对边有什么关系?
用什么方法得到
这个关系?
知识点 2
平行四边形边的特征平行四边形边的特征
探究新知
D
方法二 剪开、叠合
C
A
B
已知:四边形ABCD是平行四边形
求证:AD=BC, AB=CD
方法三 证
明 点拨:先根据题目画图，再写“已
知”与 “求证”，最后证明。
CB
A D
该怎样证明呢？
探究新知
已知：如图，在平行四边形 ABCD中，
求证: AB=CD, AD=BC
证明：连接AC， ABCD中
∵ AB∥CD，AD∥BC
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
又AC＝CA
∴△ABC≌△CDA （ASA）
∴ AB＝CD，CB＝AD
方法点拨：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作
对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．
A D
CB
1 4
2 3
探究新知
几何语言：
平行四边形的两组对边分别相等.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
探究新知
平行四边形的性质
CB
A D
在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC． （平行四边形的对边相等）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠DCF.
∴ △ABE≌ △CDF.
∴ AB=CD，AB ∥ CD
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
A D
B C
E
F
探究新知
素 养 考 点 1 利用平行四边形边的性质求证线段的关系
例2 如图，在 ABCD中,E，F是对角线AC上的两
点，并且AE=CF，求证： BE=DF.
2.如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形
的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
∵AB=8m
∴CD=8m
又AB+BC+CD+AD=36m,
∴ AD=BC=10m
A D
B C
8cm
巩固练习
A B
CD
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记
录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?
猜想: 平行四边形的两组对角有什么数量关系？
两组对角分别相等.
怎样证明这
个猜想呢？
探究新知
知识点 3 平行四边形角的特征平行四边形角的特征
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA,
∴∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B C
D14
32
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
探究新知
【思考】不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
探究新知
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
平行四边形的两组对角分别相等.
探究新知
平行四边形的性质
CB
A D
在 ABCD中，
解: ∵四边形ABCD是平行四边形
且∠A=52°（已知)
∴ ∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等）
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °
A
B C
D52°
探究新知
素 养 考 点 1 利用平行四边形角的性质求证角的关系
例3 在 ABCD中,已知∠A=52°，，求其余三个角的度数.
A D
B C
100 ° 80 °
解:
∴∠B= 180 °－∠A= 180º－ 100°=80°
又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行)
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C=100 ° （平行四边形的对角相等）
且∠A+∠C=200°
巩固练习
3.如图： 在 ABCD中，∠A+∠C=200°
则：∠A= ，∠B= .
如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别
是E，F．求证：AE=CF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS）,
∴AE=CF.
【思考】在上述证明中还能得出什么结论？
D
A B
CF
E
DE=BF
探究新知
知识点 4 平行线间的距离
C
B F
EA
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于
B、D、F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形.
探究新知
两条平行线间的距离相等.
若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交n于B、D、F，交 m
于A、C、E.
B F
EA
n
mC
D
同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离：
两条平行线中，一条
直线上任意一点到另
一条直线的距离
探究新知
点到直线的距离
4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，
求△ABD中AB边上的高．
解：∵S△ABC = AB•BC,
= ×4 ×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高为6cm．
巩固练习
1.（2018•黔南州）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD
的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
巩固练习
连 接 中 考
D
2.（2019•福建）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O
（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是
__________． （1，2）
A D
B C
D
基 础 巩 固 题
1.在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是( ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1
C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
A D
B C
D
课堂检测
2.如图, ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC
的长为( )
A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm
3. 在□ABCD中, ∠A=3∠B, 求∠C和∠D 的度数 .
B C
A D解:∵在□ABCD中, AD∥BC
∴∠A+∠B= 180°
又已知 ∠A=3∠B
则 3∠B +∠B= 180°
解得：∠B= 45°, ∠A=3×45°=135 °
所以 ∠C=∠A=135 °, ∠D=∠B= 45°
课堂检测
基 础 巩 固 题
4.如图,小明用一根48m长的绳子围成了一个平行四边形的
场地，其中一条边AB长为10m，其他三条边各长多少?
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
∵AB=10m
∴CD=10m
又AB+BC+CD+AD=48,
∴ AD=BC=14m
A D
B C
10m
课堂检测
基 础 巩 固 题
有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现
在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,
你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°.
能 力 提 升 题
课堂检测
证明：∵ 四边形BEFM是平行四边形,
∴BM=EF,AB//EF.
∵ AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵AB//EF, ∴ ∠BAD=∠AEF,
∴∠CAD =∠AEF, ∴ AF=EF,
∴ AF=BM.
如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别AB,AD,AC
上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.
B D C
E
F
A
M
课堂检测
拓 广 探 索 题
平 行
四 边 形
定 义 两组对边分别平行的四边形
性 质
两组对边分别平行，相等
两条平行线间的距离相等,
两条平行线间的平行线段也
相等
两组对角分别相等，邻角互补
课堂小结
平行四边形的对角线的性质
第二课时
返回
导入新知
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年
的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，
他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，
同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老大
老二
老三
老四
2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形
的有关计算问题和简单的证明题.
1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质 .
素养目标
如图，在 ABCD中，连接AC
，BD，并设它们相交于点O．OA
与OC，OB与OD有什么关系？
D
A B
C
O
猜想：平行四边形的对角线互相平分．
想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，
对角线有什么性质？
知识点 1 平行四边形对角线的性质平行四边形对角线的性质
探究新知
你能证明这
个猜想吗？
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，
OA与OC，OB与OD有什么关系？
求证：OA=OC，OB=OD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥CD；
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4；
∴ △COD≌△AOB；
∴ OA=OC，OB=OD．
D
A B
C
O
1
2
3
4
证明过程
探究新知
符号语言：
平行四边形的对角线互相平分.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO.
探究新知
∵在 ABCD中，
∴ OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
平行四边形的性质
B
O
DA
C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
例1 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于
点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四
边形各边的长．
探究新知
素 养 考 点 1 利用平行四边形对角线的性质求线段的值利用平行四边形对角线的性质求线段的值
提示：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个
三角形的周长之差等于邻边边长之差.
C
BA
D
O
1.如图，□ABCD的两条对角线相交于点O, 已知
AB=8cm,BC=6cm, △AOB的周长是18cm，那么
△AOD的周长是 .
C
BA
D
O
16cm
巩固练习
例2 如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点
O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
探究新知
素 养 考 点 2 利用平行四边形对角线的性质求线段的相等利用平行四边形对角线的性质求线段的相等
B C
DA
O F
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC (平行四边形的性质)
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）
在△AOE和△COF中
∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚
OA = OC
∠EAO = ∠FCO
∴ △AOE≌△COF ( ASA )
∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等）
改变直线EF的
位置，OE=OF
还成立吗?
A B
CD
O EF
A B
CD
O
E
F A B
CD O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立吗？
同例2易证明OE=OF还成立.
探究新知
归纳总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形
的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
2. 如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别
是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的数量关系并证明你
的结论．解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∵点E、F分别是AO、CO的中点 ∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB，
∴BE＝DF. ∠DFO＝∠BEO.
∴ BE∥DF.
巩固练习
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC=AD=8cm,CD=AB=10cm.
∴△ABC是直角三角形.
又∵OA=OC,
如图，在 ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC. 求
BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．
探究新知
知识点 2 平行四边形的面积平行四边形的面积
∵AC⊥BC
A
B C
D
O
3.已知: □ ABCD的对角线AC、BD相交于点 O，AC =16cm，
BD =12cm，BC =10cm，则□ABCD 的周长是__________，
□ ABCD的面积是__________.
40cm
96cm2
16
12
10
10 6
8
10
10
巩固练习
B
O
D
A
C
如图，EF过 ABCD的对角线AC、BD的交点O，△AOE
与△COF的面积有何关系？四边形AEFD与四边形BCFE的面
积有何关系？
F
E
CB
O
D
●
A
探究新知
知识点 3 平行四边形中有关图形的面积平行四边形中有关图形的面积
解：相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO与△ODC等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
探究新知
总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三
角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形
全等.
还可结合全
等来证哟.
B
O
D
A
C
A
B C
DA
B C
DA
B C
D
A
B C
DA
B C
DA
B C
D
●●
方案一 方案二
方案四 方案五
方案三
方案六
总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积
相等的两部分
探究新知
A B
CD
O
F
E
例3 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF
所分的两个四边形面积相等吗？
MN
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.又∵AO=CO, ∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
探究新知
素 养 考 点 1 利用平行四边形的有关图形的面积证明相等利用平行四边形的有关图形的面积证明相等
A B
D
O
E
F
A B
CD
O EF
C
A B
CD
O
E
F
如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF
所分的两个四边形面积相等吗？
同例3易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相
等的两部分.
探究新知
4.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水
的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成
面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗
？
B
M
C
●
DA
O
解：如图所示．
巩固练习
（2019•柳州）如图，在▱ABCD中，全等三角形的对
数共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
巩固练习
连 接 中 考
C
B
O
D
A
C
1.平行四边形的两条对角线把它分成的四个三角形（ ）
A.都是等腰三角形 B.都是全等三角形
C.都是直角三角形 D.是面积相等的三角形
D
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角
线AC长为（ ）
A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm
课堂检测
基 础 巩 固 题
1＜AD＜9
O
D
BA
C
●
3. 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，
AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 .
4.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面
积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
基 础 巩 固 题
课堂检测
如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F
，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行
四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24
-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，
过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四
边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20．
课堂检测
拓 广 探 索 题
平 行 四
边 形 对 角
线 的
性 质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四
个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行
四边形的一组对边或对边的延长线相交，
得到线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形
分成面积相等的两部分.且与对角线围成的
三角形相对的两个全等.
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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