资料简介
第十九章 一次函数
19.1.1 变量与函数
第1课时
行星在宇宙中的位置随时间而变化
气温随海拔而变化
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究
这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
在日常学习和生活中，我们常要研究一些数量关系：
小明到商店买练习薄，每本单价2元，购买的总数
x（本）与总金额 y（元）的关系式，可以表示为 .
其中y随x的变化而变化
y=2x
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程
为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
说说你是如何得到的： 路程 = 速度×时间
试用含t的 式子表示 s s = 60t
问题一
60 120 180 240 300
问题二
每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，
日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房
收入各多少元？
早场票房收入 ： 10×150 = 1500 （元）
日场票房收入 ：10×205 = 2050 （元）
晚场票房收入 ：10×310 = 3100 （元）
若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，
怎样用含 x 的式子表示 y ？ y = 10x
请说明道理：票房收入 = 售价×售票张数
问题三
圆的半径r分别为10cm、20cm、30cm时，
圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化
而变化吗？
圆的面积=π×半径的平方
10c
m2
?
10cm
20cm
?
r
s
S= πr2
在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量，
观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如
果弹簧原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，
怎样用含重物质量x（单位：kg）的式子表示受力后的
弹簧长度 L(单位：cm)?
挂重2千克时弹簧长=10+0.5×2=11(cm)
挂重3千克时弹簧长=10+0.5×3=11.5(cm)
挂重x千克时弹簧长=10+0.5×x (cm)
L=10+0.5x
分析：挂重1千克时弹簧长=10+0.5×1=10.5(cm)
问题四
剖析
S = 60t y = 10x L=10+0.5x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
请指出上面各个变化过程中的常量、变量。
S= πr2
探究：
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 5x －6
(2) y=
(3) y= 4x2＋5x－7
(4) S = πr2
解：（1）5和-6是常量，x和y是变量。
（2）6是常量，x、y是变量。
（3）4、5、-7是常量，x、y是变量。
（4）π是常量，s、r是变量。
填空：
1、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）
与单价 a（元）的关系式为 .
其中的变量是 ，常量是 .
2、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4
元，则总金额 y（元）与学生数n（个）的关系式
是 .其中的变量是 ，常量是 .
n、a 50
y=4n y、n 4
3．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存
有50元，从现在起每个月节存12元．设x个月后小张的存
款数为y,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间
的函数关系式 ，其中常量是 ，变量是
，自变量是 ， 是 的函数。
y=50+12x 50，12
x，y x y x
2、若矩形的宽为x cm，面 积为36 ，则这个矩
形的长y随x的变化而变化，其中常量是_____，变
量是______.
3、分别指出下列各式中的常量与变量.
(1)圆的面积公式 ；
(2)正方形的周 长 ；
(3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米
的数量 x(kg)与金额 y的关系为y=2.5x.
36
x, y
常量：π；变量：S、r
常量：4；变量：l、a
常量：2.5；变量：y、x
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的
量为______，数值始终不变的量是_____.
会把数学与实际联系起来，列出关系式。
变量 常量
第十九章 一次函数
19.1.1 变量与函数
第2课时
x
图1
2、如图2，正方体的棱长为a,表面积S= ，
体积V= .
a
图2
C= 4x
6a2
a3
1、如图1，正方形的周长与边长为x的关系式为
__________ 变量是: 常量是: ;C、v 4
学习目标：
1．进一步体会运动变化过程中的数量变化；从典型实例中
抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．
2. 了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际
问题中的函数关系；
3. 能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围；
学习重点：
1.概括并理解函数概念中的单值对应关系．
2.用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自
变量取值范围．
两变量之间的关系
思考 下列式子S=60t，y=10x,S=πr2，C=5-x中存在几
个变量？在同一个式子中的变量之间有什么联系？
归纳 每个问题中的 变量互相联系，当其中
一个变量取定一个值时，另一个变量就有_____
确定的值 。
答：两个变量
两个
唯一 与其对应
思考
（1）在心电图中，对于横坐标表示时间x的
每一个确定的值，纵坐标表示心脏部位的生
物电流y都有唯一确定的值与其对应吗？
（2）在我国人口数统计表中，对于每一个确
定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
答：有
答：是
归纳 一些用 或 表达的问题中，也能看到
两个变量之间的联系.
图 表格
自变量和函数的概念
1、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x
和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 确
定的值与其对应，那么我们就说 是自变量,____
是 的函数.
2、在计算器中操作y=2x+5后填表：
x 1 2 -4 0 101 -5.2
y
显示的计算结果是输入数值的函数吗？为什么
？
唯一
xy
函数值
7 9 -3 5 207 -5.4
答：是.理由：因为对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应。
x
如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时
的 .
函数概念理解
（1）在一个变化过程中
（2）有两个变量x与y
（3）对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的
值与其对应
思考： 1 . S=60t; 2. y=10x ; 3.
上面每个问题中，哪个量是自变量？哪个量是自变量
的函数？
下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时
间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个
变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的对应值吗？
思考（1）
思考（2）
一.函数关系是用数学式子（形如S=60t; y=10x
）给出的 (叫解析式法)
二. 前面像体检心电图函数关系是用图象给出的
（叫图象法）
三 .前面我国人口数统计表函数关系是用表格
给出的 （叫列表法）
函数的三种表示方法
对于x的每一个
值，y总有唯一
的值与它对应，
y才是x的函数.
下列各式，x是自变量，请判断y是不是x的函数？若是，
求出自变量x的取值范围。
3.y＝± 1
x4.y=
1.y＝2x 2.y＝
解:1. y是x的函数,
2.y是x的函数,
∵ x -3 ≥0，∴x ≥3.
3.y不是x的函数.
4.y是x的函数. x≠0.
x为全体实数.
要考虑实
际意义哦！
例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么
油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增
加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系的式子;
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及0.1x ≤ 50 得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
(3)把x = 200代入 y =50 －0.1x，得
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L。
这样的式子叫做函数解析式.
y=50-0.1×200=30
例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用
油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量，
于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅
内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一
次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
他测量出把油烧沸腾所需要的时间是160 s，这样就
可以确定该食用油的沸点温度．他是怎样计算的呢？
时间t/s 0 10 20 30
油温w/℃ 10 25 40 55
列表法、解析法
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的
函数？试写出函数的解析式.
（2）每分向一水池注水0.1m3，注水量y（单位：
m3）随注水时间x（单位：min）的变化而变化。
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积s随之改
变。
解：边长x是自变量 ，面积S是x的函数
函数解析式为 S=x2
解：时间x是自变量, 水量y是x的函数
函数解析式为 y=0.1x
（3）某村的耕地面积是106㎡，这个村人均占有
耕地面积y（单位：㎡）随这个村人数n的变化
而变化。
（4）水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，
水池中的水量V(单位：L)随时间t （单位：h）
的变化而变化。
函数解析式为 y=
函数解析式为 V=10-0.05 t
自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函
数关系式有意义，而且还要注意问题的实际
意义。
函数的概念
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