资料简介
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时
学习目标：
1．理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题；
2．经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、
类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的
一般步骤和方法．
学习重点：
菱形性质的探索、证明和应用．
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒
气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，
便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑
色菱形暗花纹——越王勾践剑
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，
然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理
吗？从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准
确地剪出一个菱形的纸片？
1、菱形是_____的平行四边形，它具有
的一切性质.
2、菱形的特殊性质.
（1）边：菱形的四条边都 ；
（2）对角线：菱形的两条对角线 ，
并且每一条对角线 ；
（3）对称性：菱形是 对称图形， 它的对称轴
就是对角线所在的直线.
特殊 平行四边形
相等
互相垂直平分
平分一组对角
轴
3、如图，根据菱形的性质，在菱形ABCD中，
(1)AB= = = ；
(2)AC⊥ ,且AO= ,BO= ；
∠ABO= ，∠BCO= ，
∠CDO= ，∠DAO= .
O
思考 ： 如何证明菱形的性质？说一说你的证明思路.
BC CD DA
BD CO DO
∠CBO ∠DCO
∠ADO ∠BAO
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=AB(菱形的定义)
，OD=OB （平行四边形的
对角线互相平分），
∴ AC ⊥ DB ，
AC平分∠DAB(三线合一).
同理AC平分∠DCB .
DB平分∠ADC和∠ABC.
AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
求证:
例 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于
点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
O
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD, AC⊥BD.
∵Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2,
AB=5 cm，AO=4 cm,
∴OB=3cm.
∴BD=2OB=6cm, AC=2OA=8cm.
1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
(A)对角线互相平分
(B)对角线相等
(C)对角线互相垂直且相等
(D)对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角线
2、已知菱形的周长是12 cm，那么它的边长是
________.
D
3 cm
3 、如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC
=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求
两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积
（结果保留小数点后一位）．
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ，你
能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
矩形的
定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线相等
四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
C
DA
B
O
矩形的
判定
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度
思考菱形的判定条件？
菱形的
定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
？ 你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且AC⊥BD.求证： ABCD是菱形．
B
C A
D
O
求证：四边都相等的四边形是菱形．
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
D
C A
B
定理2：四边都相等的四边形是菱形．
？
菱形的
定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
例1 如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O
，且AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
DO
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴
∴ 是____三角形（勾股定理的_______）
即AC BD,
∴四边形ABCD是菱形.（对角线 的
_____________是菱形.）
互相垂直
= +
直角 逆定理
平行四边形
⊥
理由：如图，四边形ABCD是平行四边
形，AB=9，BD=12，AC=
∵AO= AC= , BO= BD=6
∴ = +
∴ AOB是直角三角形
∴AC BD
∴四边形ABCD是菱形
答：是菱形.
例2 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的
长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗
？为什么？求出它的面积.
A
B
C
DO
⊥
∴ S= AC×BD= ×12× =
如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮
筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候
变成菱形？请说明理由．
A B
C D
如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以
B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接
BC，CD．得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
1、判断题，对的画“√”错的画“×”
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4)对角线相等的四边形是菱形（ ）
(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．（ ）
×
√
×
×
√
2 如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，
DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
A
B C D
E
F
3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边
形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
证明：在矩形ABCD中，
AD=BC，AB=CD.
∵点E、F、G 、H分别是四边的中点,
∴ AE=DE=BG=CG,
AF=BF=DH=CH.
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=
∴△EAF ≌△FBG≌△HCG≌△HDE,
∴EF=FG=GH=GE,
∴四边形EFGH是菱形.
90°,
三个角是直角
四条边都相等
一个角是直
角
对角线相
等
一组邻边相
等
对角线互相垂
直
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
四边形 平行四边形
矩形
菱形
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