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模型 25 对称模型(解析版)
对称模型在高中物理问题中常见的模型，有的运动过程具有对称性，在对称点速度大小相等，方向相
反；在对称过程中位移位移大小相等，时间也相等。有的对称模型受力具有对称性，受到的力关于对称轴
对称，即力的大小相等，力的方向与对称轴夹角相等。对称的情况不一而足，对称模型可能各不相同，但
某些力学量具有对称性是其核心。下面分几种情况一一解析各种对称模型。
1.往返的匀变速运动
竖直上抛运动是一种典型的往返匀变速运动，竖直上抛的对称性:
（1）时间对称:物体上升过程中从 A 到 C 所用时间 tAC 和下降过程中从 C 到 A 所用时间 tCA 相等,同理
tAB=tBA。
（2）速度对称:物体上升过程经过 A 点的速度大小与下降过程经过 A 点的速度大小相等。
【最新高考真题解析】
1.（2020 年全国 II 卷）如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b
为圆环水平直径上的两个点，c、d 为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则（ ）
A. a、b 两点的场强相等 B. a、b 两点的电势相等
C. c、d 两点的场强相等 D. c、d 两点的电势相等
【答案】ABC
【解析】
【详解】BD．如下图所示，为等量异种电荷周围空间的电场分布图。本题的带电圆环，可拆解成这样无数
对等量异种电荷的电场，沿竖直直径平行放置。它们有共同的对称轴 ， 所在的水平面与每一条电
场线都垂直，即为等势面，延伸到无限远处，电势为零。故在 上的点电势为零，即 ；而从
PP′ PP′
PP′ 0a b
ϕ ϕ= =M 点到 N 点，电势一直在降低，即 ，故 B 正确，D 错误；
AC．上下两侧电场线分布对称，左右两侧电场线分布也对称，由电场的叠加原理可知 AC 正确；
故选 ABC。
【典例 1】(2019 陕西米脂县中学月考)在足够高的空中某点竖直上抛一物体,抛出后第 5 s 内物体的位移为
4 m,方向向上。设物体抛出时的速度方向为正方向,忽略空气阻力的影响,g 取 10 m/s2。则关于物体的运动,
下列说法正确的是( )。
A.物体的上升时间是 4.9 s
B.第 5 s 内的平均速度是-4 m/s
C.9.8 s 末的瞬时速度大小是 49 m/s
D.第 5 s 内路程为 5m
【答案】A
【解析】根据 x=v0t+1
2at2,解得第 5 s 初的速度为 9 m/s,上升到最高点还需的时间 t'=푣0
푔 =0.9 s,则物体上升
的时间为 4.9 s，A 正确;由 A 项分析可知,第 5 s 内的位移向上,则平均速度为 4 m/s,故 B 项错误。物体第 5
s 初的速度为 9 m/s 时,物体竖直上抛的初速度 v 初=v0+gt4=49 m/s;根据运动的对称性，可知 9.8 s 末的速度
大小为 49 m/s,C 正确；根据第 5s 运动有往复性， 故 D 项错误。
【变式训练 1a】(2014 海南卷,3)将一物体以某一初速度竖直上抛。物体在运动过程中受到一大小不变的空
气阻力作用,它从抛出点到最高点的运动时间为 t1,再从最高点回到抛出点的运动时间为 t2,如果没有空气
阻力作用,它从抛出点到最高点所用的时间为 t0。则( )。
A.t1>t0,t2t0,t2>t1 D.t1t1;
而对于上升过程 v0=at,加速度大的用时短,有 t10)的均匀带电圆环上
有一个很小的缺口(长度为 Δl,且 Δl≪r),如图所示,则圆心处的电场强度大小为( )。
A.푘(Δ푙)푞
푟 B. 푘푞푟
(Δ푙)2
C.푘(Δ푙)푞
푟2 D.푘푞(Δ푙)2
푟
【答案】C
【解析】把缺口处填补,使圆环为完整的圆,则填补上的小圆弧电荷量 q'=(Δl)q,由于 Δl≪r,故可视为点电
荷,它在 O 点产生的电场强度 E'=푘(Δ푙)푞
푟2 ,由对称性可知整个圆环在 O 点的电场强度 E 合=0,则存在缺口时在 O
点的电场强度大小 E=E',即 E=푘(Δ푙)푞
푟2 ,故 C 项正确。
【变式训练 3d】如图所示,一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的电荷,在垂直于圆盘且过圆心 c 的
轴线上有 a、b、d 三个点,a 和 b、b 和 c、c 和 d 间的距离均为 R,在 a 点处有一电荷量为 q(q>0)的固定点电
荷。已知 b 点处的电场强度为零,则 d 点处电场强度的大小为(k 为静电力常量)( )。
A.k3푞
푅2 B.k10푞
9푅2 C.k푄 + 푞
푅2 D.k9푄 + 푞
9푅2
【答案】B
【解析】b 点处的电场强度为零,说明 q 与 Q 在 b 点处产生的电场强度大小相等、方向相反,即 Q 在 b 点产生
的电场强度 Eb=k 푞
푅2;由于 d 点和 b 点相对于圆盘是对称的,因此 Q 在 d 点产生的电场强度 Ed=k 푞
푅2,故 d 点处的
合电场强度 E 合=k 푞
(3푅)2+k 푞
푅2=k10푞
9푅2,B 项正确。
【变式训练 3e】(2013 全国卷Ⅱ,18)如图所示,在光滑绝缘水平面上,三个带电小球 a、b 和 c 分别位于边长
为 l 的正三角形的三个顶点上;a、b 带正电,电荷量均为 q,c 带负电。整个系统置于方向水平的匀强电场中。
已知静电力常量为 k。若三个小球均处于静止状态,则匀强电场的电场强度大小为( )。A. 3kq
3푙2 B. 3kq
푙2 C.3푘푞
푙2 D.2 3kq
푙2
【答案】B
【解析】对 c 受力分析,小球处于静止状态,匀强电场场强与 ab 点电荷的合场强具有对称性，满足 3k푞푞푐
푙2
=qcE,可得 E= 3kq
푙2 ,故 B 项正确。
【变式训练 3f】直角坐标系 xOy 中,M、N 两点位于 x 轴上,G、H 两点坐标如图所示。M、N 两点各固定一负
点电荷,一电荷量为 Q 的正点电荷置于 O 点时,G 点处的电场强度恰好为零。静电力常量用 k 表示。若将该正
点电荷移到 G 点,则 H 点处电场强度的大小和方向分别为( )。
A.3푘푄
4푎2 ,沿 y 轴正向 B.3푘푄
4푎2 ,沿 y 轴负向
C.5푘푄
4푎2 ,沿 y 轴正向 D.5푘푄
4푎2 ,沿 y 轴负向
【答案】B
【解析】因正点电荷在 O 点时,G 点的电场强度为零,则可知两负电荷在 G 点形成的电场的合电场强度与正点
电荷在 G 点产生的电场强度等大反向,大小 E 合=k푄
푎2;若将正点电荷移到 G 点,则正点电荷在 H 点的电场强度
E1=k 푄
(2푎)2=푘푄
4푎2,因两负电荷在 G 点的电场强度与在 H 点的电场强度等大反向,则 H 点的合电场强度 E=E 合
-E1=3푘푄
4푎2 ,方向沿 y 轴负向,故 B 项正确。
4.弹簧振子
(1)受力特征。回复力 F=-kx,F(或 a)的大小与 x 的大小成正比,方向相反。
(2)运动特征。靠近平衡位置时,a、F、x 都减小,v 增大;远离平衡位置时,a、F、x 都增大,v 减小。
(4)周期性特征。质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的
周期 T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为푇
2。(5)对称性特征。关于平衡位置 O 对称的两点,速度的大小、动能、势能相等,相对平衡位置的位移大小
相等;由对称点到平衡位置 O 用时相等。
【典例 4】(多选)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向
上为正方向,物块简谐运动的表达式为 y=0.1sin(2.5πt) m。t=0 时刻,一小球从距物块 h 高处自由落
下;t=0.6 s 时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小 g=10 m/s2。以下判断正确的是( )。
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是 0.8 s
C.0.6 s 内物块运动的路程是 0.2 m
D.t=0.4 s 时,物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】t=0.6 s 时,物块的位移 y=0.1sin(2.5π×0.6)m=-0.1 m,则对小球有 h+|y|=1
2gt2,解得 h=1.7 m,A
项正确;简谐运动的周期 T=2π
휔 =0.8 s,B 项正确;0.6 s 内物块运动的路程 s=3A=0.3 m,C 项错误;t=0.4 s=푇
2,此
时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,D 项错误。
【变式训练 4a】(2019 天津耀华中学开学模拟)(多选)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=10
sin π
4t+π
6 cm。下列说法正确的是( )。
A.该质点振动周期 T=8 s
B.该质点振幅 A=10 cm
C.第 1 s 末和第 5 s 末质点的位移相同
D.第 1 s 末和第 5 s 末质点的运动方向相反
【答案】ABD
【解析】根据 x=10sin(π
4t + π
6)cm 得 ω=π
4 rad/s,A=10 cm,则该质点振动周期 T=2π
휔 =8 s,A、B 两项正确;将t=1
s 和 t=5 s,分别代入 x=10sin(π
4t + π
6)cm 得,位移分别为 10sin 5π
12 cm 和-10sin 5π
12 cm,位移方向相反,C 项错误,D
项正确;
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