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专题强化训练(二)
函数及其基本性质
(30 分钟 50 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)
1.已知函数 f(x)= +(x-2)0 的定义域是 ( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(1,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
【解析】选 C.要使函数有意义,需要满足 所以 x>1 且 x≠2.
2.设集合 A={-1,3,5},若 f:x→2x-1 是集合 A 到集合 B 的映射,则集合 B 可以是
( )
A.{0,2,3} B.{1,2,3}
C.{-3,5} D.{-3,5,9}
【解析】选 D.注意到题目中的对应法则,将 A 中的元素-1 代入得-3,3 代入得 5,5
代入得 9.
3.若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则 f(x)的解析式是( )
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=3x+2
C.f(x)=-3x-4
D.f(x)=3x+2 或 f(x)=-3x-4【解析】选 B.f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,所以 f(t)=3t+2,即 f(x)=3x+2.
4.设函数 f(x)= 若 f(α)=4,则实数α=( )
A.-4 或-2 B.-4 或 2
C.-2 或 4 D.-2 或 2
【解析】选 B.当α≤0 时,f(α)=-α=4,得α=-4;
当α>0 时,f(α)=α2=4,得α=2.所以α=-4 或 2.
5.若函数 f(x)= 为奇函数,则 a= ( )
A.1 B. C. D.
【解析】选 D.因为 f(-x)=-f(x),所以 =- ,所以(2a-1)x=0,
所以 a= .
6.(2015 · 石 家 庄 高 一 检 测 ) 函 数 y=f(x) 与 y=g(x) 的 图 象 如 图 , 则 函 数
y=f(x)·g(x)的图象可能是( )
【解析】选 A.由于函数 y=f(x)·g(x)的定义域是函数 y=f(x)与 y=g(x)的定义
域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数图象在 x=0 处是断开的,故可以排除 C,D;
由于当 x 为很小的正数时,f(x)>0 且 g(x)0 且 a≠1 时,由 3-ax≥0 得 x≤ ,即此时函数 f(x)的定义域是
.
(2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3-a×1≥0,此时
10,
所以 02 时,图象是顶点为 P(3,4)的抛物线的一部分.
(1)在图中的直角坐标系中画出函数 f(x)的图象.
(2)求函数 f(x)在[2,+∞)上的解析式.
(3)写出函数 f(x)的单调区间.
【解析】(1)图象如图所示.
(2)当 x≥2 时,设 f(x)=a(x-3)2+4(a≠0).
因为 f(x)的图象过点 A(2,2),所以 f(2)=a(2-3)2+4=2,所以 a=-2,
所以 f(x)=-2(x-3)2+4.
(3)由 f(x)的图象知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-3]和[3,+∞),单调递增区间
为[-3,3].
11.已知函数 f(x)= ,且 f(1)=2,
(1)证明函数 f(x)是奇函数.
(2)证明 f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)求函数 f(x)在[2,5]上的最大值与最小值.
【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为 f(1)=2,所以 1+a=2,
即 a=1
f(x)= =x+ ,f(-x)=-x- =-f(x),
所以 f(x)是奇函数.
(2)任取 x1,x2∈(1,+∞)且 x1
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