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课后提升作业 二十九
空间直角坐标系
(45 分钟 70 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1.点 P(0，1，4)位于 ( )
A.y 轴上 B.x 轴上
C.xOz 平面内 D.yOz 平面内
【解题指南】根据点 P 的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来判断.
【解析】选 D.因为点 P 的横坐标为 0，纵坐标与竖坐标不为 0，所以点 P
位于 yOz 平面内.
2.在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(-2，-3，-4)两点的位置关系
是 ( )
A.关于 x 轴对称 B.关于 yOz 平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
【解析】选 C.三坐标均相反时，两点关于原点对称.
3.点 P(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是 ( )
A.(-2，-3，-1) B.(-2，3，-1)
C.(2，-3，-1) D.(-2，3，1)
【解析】选 B.点 P(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是(-2，3，-1).
4.已知点 A(1，-3，4)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为 ( )
A.(-1，-3，-4) B.(-4，1，-3)
C.(3，-1，-4) D.(4，-1，3)
【解析】选 A.关于 y 轴的对称点的坐标的特点是横坐标、竖坐标是原来
的相反数，纵坐标不变.
5.已知点 A(-3，1，5)与点 B(3，1，-5)，则 AB 的中点位于 ( )
A.y 轴上 B.x 轴上
C.xOy 平面内 D.yOz 平面内
【解析】选 A.因为 AB 的中点为(0，1，0)，故 AB 的中点位于 y 轴上.
6.如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，棱长为 1，|BP|=|BD′|，则
P 点的坐标为 ( ).Com]
A. B.
C. D.
【解析】选 D.连接 BD，点 P 在 xDy 平面的射影落在 BD 上，
因为|BP|=|BD′|，所以 Px=Py=，Pz=，
故 P .
7.(2016·广州高一检测)在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为(1， ，
)，过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐标是 ( )
A.(0， ， ) B.( ，0， )
C.( ， ，0) D.(1， ， )
【解题指南】过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ，则垂足 Q 即为点 P 在平面
yOz 内的投影，故横坐标为零，纵坐标和竖坐标与点 P 的一致.
【解析】选 A.过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ，则垂足 Q 即为点 P 在平面
yOz 内的投影，此时横坐标为零，纵坐标和竖坐标与点 P 的相等，故 Q
的坐标是(0， ， ).
8.(2016·济南高一检测)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个
四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，
2).给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别
为 ( )
A.①和② B.③和①
C.④和③ D.④和②
【解析】选 D.由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三
个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一
顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射
影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，
(1， 2，0)，故俯视图是②.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
9.如图所示，在长方体 OABC-O1A1B1C1 中，OA=2，AB=3，AA1=2，M 是 OB1
与 BO1 的交点，则 M 点的坐标是________.
【解析】因为 OA=2，AB=3，AA1=2，
所以 A(2，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，3，0)，故 B1(2，3，2).
所以 M 点的坐标为 ，即 M .
答案：
【误区警示】解答本题时要注意根据给定的线段长度，正确确定各个顶
点的坐标，才能求出点 M 的坐标.
10.已知点 M 到三个坐标平面的距离都是 1，且点 M 的三个坐标同号，则
点 M 的坐标为________________.
【解析】分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与平面 yOz，平
面 zOx，平面 xOy 平行的平面，三个平面的交点即为 M 点，其坐标为(1，
1，1).或过点(-1，0，0)，(0，-1，0)，(0，0，-1)作与平面 yOz，平
面 zOx，平面 xOy 平行的平面，三个平面的交点即为 M 点，其坐标为
(-1，-1，-1).
答案：(1，1，1)或(-1，-1，-1)
【延伸探究】本题点 M 到三个坐标平面的距离不变，去掉“三个坐标同
号”的条件，答案又是什么？
【解析】共八个，坐标分别为(1，1，1)，(-1，1，1)，(1，-1，1)，
(-1，-1，1)，(1，1，-1)，(-1，1，-1)，(1，-1，-1)，(-1，-1，
-1).
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
11.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1 的中点，
且正方体棱长为 1.请建立适当的坐标系，写出正方体各顶点及 E，F，G
的坐标.
【解析】(答案不唯一)如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，
B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E ，F ，G .
12.(1)在空间直角坐标系中画出下列各点(不写画法，保留作图痕迹)：
A(0，1，1)，B(1，0，2)，C(1，2，3).
(2)已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的
空间直角坐标系，写出 PB 中点的坐标.
【解析】(1)如图所示.
(2)(答案不唯一)因为正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，
可求得正四棱锥的高为 2 .
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于 BC，AB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则点 B，P 的坐标分别为 B(2，2，0)，P(0，0，2 ).
故 PB 的中点坐标为(1，1， ).
【能力挑战题】
如图，有一个棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1，以点 D 为坐标原点，
分别以射线 DA，DC，DD1 的方向为正方向，建立 x 轴，y 轴，z 轴，从而
建立起一个空间直角坐标系 Oxyz，一只小蚂蚁从点 A 出发，不返回地沿
着棱爬行了 2 个单位长.请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置.
【解题指南】小蚂蚁爬行的方向不同，位置也不同，故要分类讨论.
【解析】小蚂蚁沿着 A-B-C 或 A-B-B1 或 A-D-C 或 A-D-D1 或 A-A1-B1 或
A-A1-D1 任一条路线爬行，其终点为点 C 或 B1 或 D1.点 C 在 y 轴上，且
DC=1，
则其 y 坐标为 1，x 坐标与 z 坐标均为 0，
所以点 C 的坐标是(0，1，0)；
同理可知 D1 的坐标是(0，0，1)；
点 B1 在 xOy 平面上的射影是 B，点 B 在 xOy 平面上，坐标是(1，1，0)，
且 B1B=1，则 B1 的 z 坐标为 1，所以点 B1 的坐标是(1，1，1).
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