资料简介
1
重难点突破：与圆有关的最值问题
角度 1：与截距有关的圆的最值问题
形如 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题
角度 2：与斜率有关的圆的最值问题
形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题
角度 3：与距离有关的圆的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出
现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利
用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问
题．常见的结论有：
（1）圆外一点 到圆上距离最近为 ，最远为
（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦
（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线距离 ，
最近为
（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的
面积
（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离
（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间最短距离为两条平
行线间距离
角度 4：与面积相关的最值问题[来源:Z.Com]
与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的
命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般
转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方
t ax by= +
y b
x a
µ −= −
A AO r− AO r+
d r+
d r−2
法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思
想求解
题型一 与斜率有关的圆的最值问题
例题1： 如果直线 和函数 的
图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆 的内部或圆上，
那么 的取值范围是
【解析】函数 恒过定点 ．将点 代入直线
可得 ，即 ．由点 在
圆 内部或圆上可得 即
． 或 ．所以点 在以
和 为端点的线段上运动． 表示以 和 为端点的线
段上的点与坐标原点连线的斜率．所以 ， ．
所以 ．
变式1： 过点 的直线 与圆 ： 交于 两点， 为圆心，
当 最小时，直线 的方程是
( )2 14 0 0, 0ax by a b− + = > > ( ) ( )1 1 0, 1xf x m m m+= + > ≠
( ) ( )2 21 2 25x a y b− + + + − =
b
a
( ) 1 1xf x m += + ( )1,2− ( )1,2−
2 14 0ax by− + = 2 2 14 0a b− − + = ( )7, 0, 0a b a b+ = > > ( )1,2−
( ) ( )2 21 2 25x a y b− + + + − = ( ) ( )2 21 1 2 2 25a b− − + + + − ≤
2 2 25a b+ ≤ ( )0, 0a b> >
2 2
7 3
425
a b a
ba b
+ = = ⇒ =+ =
4
3
a
b
=
=
( ),a b
( )3,4A ( )4,3B b
a
( )3,4A ( )4,3B
min
3 0 3
4 0 4
b
a
− = = − max
4 0 4
3 0 3
b
a
− = = −
3 4
4 3
b
a
≤ ≤
( )1,2M l C ( ) ( )2 23 4 25x y− + − = ,A B C
ACB∠ l3
【解析】要使 最小，由余弦定理可知，需弦长 最短．要使得弦长最短，
借助结论可知当 为弦的中点时最短．因圆心和 所在直线的
，
则所求的直线斜率为 ，由点斜式可得 ．
【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题．
变式2： 已知实数 x、y 满足 x2+y2=4，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
变式3： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 ， 圆
．若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次
交于点 ， ，满足 ，则半径 的取值范围是_______．
【解析】由题，知圆 的圆心为 ，半径为 5，圆 的圆心为 ，半
径为 ，两圆圆心距为 ，如图，可知当 为圆 的直
径时取得最大值，所以当点 位于点 所在位置时 取得最小值，当点 位于点
x yΟ 1C : ( ) ( )2 21 6 25x y+ + − = 2C :
( ) ( )2 2 217 30x y r− + − = 2C P P 1C
Α Β 2ΡΑ = ΑΒ r
1C ( 1,6)− 2C (17,30)
r 2 2(17 1) (30 6) 30+ + − = AB 1C
P 1P r P
ACB∠ AB
( )1,2M ( )1,2M
4 2 13 1k
−= =−
1− 1 ( 2) 3 0y x x y− = − − ⇒ + − =
2
2
−+ yx
xy
222 − 222 − 222 + 222 −−4
所在位置时 取得最大值．因为 ， ，所以 ，
．
题型二 与截距有关的圆的最值问题
例题2： 设퐷为不等式(푥 ― 1)2 + 푦2鈮?表示的平面区域，直线푥 + 3푦 + 푏 = 0与区域퐷有公
共点，则푏的取值范围是_____．
【解析】由题设퐶(1,0)到直线푥 + 3푦 + 푏 = 0的距离푑 = |1 + 푏|
2 鈮?，解之得
变式4： 若直线 与曲线 恰有三个公共点，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2P r max| | 10AB = | | 2 | |PA AB= min 5r =
max 55r =
2
xy m= − + 21 42y x= − m
(1, 2) ( 2 1, 2 1)− + (1, 2 1)+ (2, 2 1)+5
【解析】直线 与曲线 恰有三个公共点，实数 的取值
范围，可以转化为直线 的图象与曲线 的图象有三个交
点时实数 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求
出 的取值范围；本题曲线 的图象是易错点，画图时要分类讨论，
知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．选 A
变式5： 已知圆 C 的圆心在 轴的正半轴上，且 轴和直线 均与圆 C 相
切．
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)设点 ，若直线 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 为锐角，
求实数 m 的取值范围．
【解析】（1）设圆 C 的标准方程为：
由题意得 ，解得 ，∴圆 C 的标准方程为：
（2）由 消去 y 整理得 ．
∵直线 与圆 C 相交于 M，N 两点，∴ ，
解得 ，
设 ，则 ．
∴
2
xy m= − + 21 | 4 |2y x= − m
2
xy m= − + 21 | 4 |2y x= −
m
m 21 | 4 |2y x= −
x y 3 2 0x y− + =
( )0,1P y x m= + MPN∠
( )2 2{
2 4
y x m
x y
= +
− + =
y x m= +6
依题意得
，∴ ，
整理得 ，
解得 或 ．又 ，
∴ 或 ．
故实数 m 的取值范围是 ．
【点评】（1）对于 为锐角的问题（或点 A 在以 BC 为直径的圆外，或
），都可转化为 ，然后坐标化，转化为代数运算
处理．学科%网
（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据
所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意
“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度．
题型三 与距离有关的圆的最值问题
例题3： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 ， ， 则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1PM PN x x y y x x x m x m⋅ = + − − = + + − + −
( )( ) ( )2
1 2 1 22 1 1 0x x m x x m= + − + + − > ( )( ) ( )22 1 2 1 0m m m m+ − − + − >
2 1 0m m+ − >
1 52 2 2 2m
− −− − < < 1 5 2 2 22 m
− + < < − +
BAC∠
2 2 2AB AC BC>＋ 0AB AC⋅ >
xOy ( )2 2
1 12 5x y− + = 2 22 4 0x y− + =
( ) ( )2 2
1 2 1 2x x y y− + −
5
5
1
5
121
5
11 5
57
变式6： 已知圆 C：푥2 + 푦2 ―2푎푥 ― 2푏푦 + 푎2 + 푏2 ―1 = 0（a 3
2
1l 1x y
a b
+ = C 5
C
1l D 2 2 6 4 0x y x y m+ − − + =
D
2l ( )3,0 C E F D
M N EF MN⋅
1l ( ),0a ( )0,b 2 2 5a b+ =
3
2
c
a
= 2 2 2a b c= + 2 4a = 2 1b =
C
2
2 14
x y+ =
1l 12
x y+ = 2 2 0x y+ − = D
( ) ( )2 23 2 13x y m− + − = − ( )3,2
2 2
3 2 2 2 5
1 2
r
+ × −= =
+9
∴圆 的标准方程为 ．
（ii）直线 斜率存在，设 ： ，与椭圆 两个交点 、
，
由 消去 得 ，由 ，得
，
， ，
∴
又圆 的圆心 到直线 ： 的距离
∴圆 截直线 所得弦长
∴
设 ， ，则
D ( ) ( )2 23 2 5x y− + − =
2l 2l ( )3y k x= − C ( )1 1,E x y
( )2 2,F x y
( )
2
2
3 ,
{
1,4
y k x
x y
= +
+ = y ( )2 2 2 21 4 24 36 4 0k x k x k+ − + − = 0∆ > 2 10 5k≤ <
2
1 2 2
24
1 4
kx x k
+ = +
2
1 2 2
36 4
1 4
kx x k
−= +
( ) ( ) ( )( )
( )
2 2 22 2
22 2
1 2 1 2 22 2 2
1 1 524 36 41 4 1 4 41 4 1 4 1 4
k kk kEF k x x x x k k k k
+ − − = + + − = + − × = + + +
D ( )3,2 2l 3 0kx y k− − =
2 2
3 2 3 2
1 1
k kd
k k
− −= =
+ +
D 2l
2
2 2
2
5 12 2 1
kMN r d k
+= − = +
( )( )
( ) ( )
2 2 2 4
2 222 2
1 1 5 5 1 1 254 2 811 4 1 4
k k k kEF MN kk k
+ − + −⋅ = × =++ +
2 91 4 1, 5t k = + ∈
2 1
4
tk
−=
2
2
2
11 25 1 148 2 9 50 25
t
EF MN t t t
− − ⋅ = = − + − 10
∵ 的对称轴为 ，在 上单调递增，
∴ ，∴
【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置
关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解
，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲
线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题．
29 50 25y x x= − + − 25
9x = 5 ,19
0 16y< ≤
21 10 9 50 25 16t t
< − + − ≤ 0 8EF MN< ⋅ ≤11
题型四 与面积相关的最值问题
例题4： 动圆 C 经过点 ，并且与直线 相切，若动圆 C 与直线 总
有公共点，则圆 C 的面积的最小值_________________．
【解析】设圆心为 ，半径为 ， ，即 ，
即 ，∴圆心为 ， ，
圆心到直线 的距离为 ，
∴ 或 ，当 时， ，∴
变式10： 设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，
且 与 圆 相交所得弦的长为 ， 为坐标原点，则 面积的最小值为
_______
【解析】 与圆相交所得弦的长为 2，故弦心距 ，
所以 ， ， 与 轴相交于点 ，与 轴相交于
点 ， ．
变式11： 已知直线 与圆 M： 相交于 A，C 两点，
点 B，D 分别在圆 M 上运动，且位于直线 AC 两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值为_______
【解析】 ，圆心 M 到直线
距离为 ，BD 为过圆心 M 且垂直于 AC 的直径时，四边形 ABCD 面
积取最大值，为
,m n R∈ 1 0mx ny+ − = x A y B
l 2 2 4x y+ = 2 O ABO∆
l 2 2
2 2
1 2 1 3d
m n
= = − =
+
2 2 1 23m n mn+ = ≥ 1
6mn∴ ≤ l x A 1 ,0m
y
B 1 ,0n
1 1 1 1 1 1 1 6 32 2 2 2AOBS OA OB m n mn∆∴ = = = ≥ × =
(1,0)F 1x = − 2 2 1y x= + +
( , )a b r | | | 1|r CF a= = + 2 2 2( 1) ( 1)a b a− + = +
21
4a b= 21( , )4 b b 21 14r b= +
2 2 1y x= + +
2
2| 2 2 1|4 142
b b bd
− + +
= ≤ +
2(2 2 3)b ≤ − + 2b ≥ 2b = min
1 4 1 24r = × + = 2
min 4S rπ π= =
1: =− yxl 012222 =−+−+ yxyx
3)1()1(0122 2222 =++−⇒=−+−+ yxyxyx 1: =− yxl
2
1
2
|111| =−+
30322
1322
1
2
1 =×−×=×× BDAC12
变式12： 已知 P(2,0)为圆 C：x2＋y2－2x＋2my＋m2－7＝0(m>0)内一点，过点 P 的直线
AB 交圆 C 于 A，B 两点，若△ABC 面积的最大值为 4，则正实数 m 的取值范围为________.
【解析】圆的标准方程为 ，则圆心 ，半径 ，
，
∴当 时取最大值 4，此时 为等腰直角三角形， ，
则 到 距离等于 2，∴ ，即 ，∴
，即 ，∵ ，∴解得 ，故答案为
.
变式13： 已 知 两 动 圆 和
，把它们的公共点的轨迹记为曲线 ，若曲线 与
轴的正半轴的交点为 ，且曲线 上的相异两点 满足： ．
（1）求曲线 的方程；（2）证明直线 恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求 面积 的最大值．
( ) ( )2 21 8x y m− + + = ( )1C m−， 2 2
21 sin 4sin2ABCS r ACB ACB= ∠ ≤ ∠
90ACB∠ = ABC 2 4AB r= =
C AB 2 2 2PC≤ < ( )2 22 2 1 2 2m≤ − + <
24 1 8m≤ + < 23 7m≤ < 0m > 3 7m≤ < )3, 7
2 2 2
1 :( 3)F x y r+ + =
2 2 2
2 :( 3) (4 ) (0 4)F x y r r− + = − < < C C
y M C ,A B 0MA MB =
C AB
ABM∆ S13
【解析】（1）设两动圆的公共点为 Q，则有 ．由椭圆的
定义可知 的轨迹为椭圆， ．所以曲线 的方程是： ．
（2）证法一：由题意可知： ，设 ， ，
当 的斜率不存在时，易知满足条件 的直线 为： 过定点
当 的斜率存在时，设直线 ： ，联立方程组：
，把②代入①有：
③， ④，
因为 ，所以有 ，
，把③④代入整理：
，（有公因式 m－1）继续化简得：
， 或 （舍），
综合斜率不存在的情况，直线 恒过定点 ．
。
1 2 1 24( )QF QF F F+ = >
Q 2, 3a c= = C
2
2 14
x y+ =
(0,1)M 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
AB 0MA MB⋅ = AB 0x =
3(0, )5N −
AB AB y kx m= +
2
2 14
x y
y kx m
+ =
= +
①
②
2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
1 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 4
1 4
mx x k
−⋅ = +
0MA MB⋅ =
1 2 1 2( 1)( 1) 0x x kx m kx m⋅ + + − + − =
2 2
1 2 1 2(1 ) ( 1)( ) ( 1) 0k x x k m x x m+ ⋅ + − + + − =
2
2 2
2 2
4 4 8(1 ) ( 1) ( 1) 01 4 1 4
m kmk k m mk k
− −+ + − + − =+ +
( 1)(5 3) 0m m− − = 3
5m
−= 1m =
AB 3(0, )5N −14
题型五 与圆有关的最值问题综合题
例题5： 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求：
（1）y
x
的最大值和最小值；（2）y－x 的最大值和最小值；（3）x2＋y2 的最大值
和最小值．
【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．
常见的最值问题有以下几种类型：①形如 μ＝y－b
x－a
形式的最值问题，可转化为动
直线斜率的最值问题；②形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距
的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距
离的平方的最值问题．
变式14： 已知圆 和圆 只有一条公切线，若
且 ，则 的最小值为________．
( )2 2
1 : 2 4C x a y+ + = ( )22
2 : 1C x y b+ − =
,a b R∈ 0ab ≠ 2 2
1 1
a b
+15
【点评】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其
满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必
须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
变式15： 已知圆퐶:(푥 ― 3)2 + (푦 ― 1)2 = 1和两点퐴( ― 푡,0)，퐵(푡,0)，(푡 > 0)，若圆퐶上
存在点푃，使得 ，则当푡取得最大值时，点푃的坐标是________．
【解析】设푃(a,b)为圆上一点，由题意知， ，即(푎 + 푡)(푎 ― 푡) + 푏2 = 0，
푎2 ― 푡2 + 푏2 = 0，푡2 = 푎2 ― 푡2 + 푏2 = |푂푃|2，|푂푃|max = 2 + 1 = 3，퐾푂푃 = 3
3 ，
所以OP所在直线倾斜角为 30，所以푃的纵坐标为3
2，P横坐标为3 脳 3
2 = 3 3
2 ，所
以푃(3 3
2 ,3
2)，
变式16： 已知圆 ： 和两点 ， ，若
圆 上存在点 ，使得 ，则 的最小值为________．
【解析】由题意可得点 P 的轨迹方程是以 位直径的圆，当两圆外切时有：
，即 的最小值为 1
【点评】在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白
一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析
C ( ) ( )2 23 1 1x y− + − = ( )0A t− ， ( )0 ( 0)B t t >，
C P · 0PA PB = t
AB
( )2 2
min min3 1 1 1t t+ = + ⇒ = t16
其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，
以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
变式17： 若直线 （ ， ）被圆 截得
的弦长为 4，则 的最小值为________．
【解析】由题意得 ，所以直线 过圆心，
即 ，
因此
【点评】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满
足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定
值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
变式18： 若在圆 O: 上 存在点 N，使得∠OMN=45°，则 的取值范围是
________．
解析：过 OA⊥MN，垂足为 A，在 中，因为∠OMN=45，所以
= ，解得 ，因为点 M（ ，1），所以
解得 ，故 的取值范围是
2 0ax by− + = 0a > 0b > 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + =
1 1
a b
+
( ) ( )2 21 2 4x y+ + − = 2 0ax by− + =
2 2 0, 2 2a b a b− − + = + =
1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 23 3 22 2 2 2
a b b a b a
a b a b a b a b
+ + + = + = + + ≥ + × =
2 2 1x y+ = 0x
Rt OMA∆
| | | | sin 45OA OM= 2 | | 12 OM ≤ | | 2OM ≤ 0x
2
0| | 1 2OM x= + ≤
01 1x− ≤ ≤ 0x [ 1,1]−17
变式19： 在平面直角坐标系 中，圆 ： ．若圆 存在以
为中点的弦 ，且 ，则实数 的取值范围是__________．
【解析】由于原 C 存在以 G 位中点的弦 AB，且 AB=2GO，故 ， 如图所
示，过点 O 作圆 C 的两条切线，切点分别为 B，D，圆上要存在满足题意的点 A，
只需 即 ，连结 CB，由퐶( ― 2,푚) 可得：|퐶푂| = 푚2 + 4
题型六 与圆最值问题常见的种转化方法
方法 1：圆上点到直线距离最值问题应转化为圆心到直线的最值距离
例题6： 知 P 为直线 y=x+1 上任一点，Q 为圆 C： 上任一点，则 的最
小值为 .
【解析】这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的
知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应
用．
如图 1，圆心 C 到直线 y=x+1 的距离 ，圆半径 ，故
2 2( 3) 1x y− + = PQ
2 2d = 1r =
2 2 1PQ PC r≥ − = −18
x
y
O C
P
Q x
y
O C
B
Q
A
变式1： 已知 A(0,1),B(2,3),Q 为圆 C 上任一点，则 的最小
值为 .
【解析】本题要求 的最大值，因为线段 AB 为定长，由三角形面积公式可知
，只需求“Q 到 的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距
离”
如图 2，设 为 Q 到 的距离，则
图 1 图 2
变式2： 由直线 y=x+1 上一点向圆 C： 引切线，则切线长的最
小值为
【解析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行
求解．因为 ，故即求 PC 的最小值
如图 3， ，∵ ，∴
变式3： 已知 P 为直线 y=x+1 上一动点，过 P 作圆 C： 的切线 PA
，PB,A、B 为切点，则当 PC= 时， 最大．
2 2( 3) 1x y− + = QABS
QABS
ABl
Qh ABl 1 2 2(2 2 1) 4 22QAB Q QS AB h h= ⋅ = = + = +
2 2( 3) 1x y− + =
2 2 2PA PC r= −
2 2 2 2 1PA PC r PC= − = − min 2 2PC = min 7PA =
2 2( 3) 1x y− + =
APB∠19
x
y
O C
P
A
x
y
O C
P
A
B
【解析】如图 4，∵ ， ,∵ ,∴
时， 最大，即 最大．
图 3 图 4
变式4： 已知 P 为直线 y=x+1 上一动点，过 P 作圆 C： 的切线 PA
，PB,A、B 为切点，则四边形 PACB 面积的最小值为 .
【解析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为 PA 的最小
值，问题又转化为求切线段的最小值问题．
如图 4， ，易知，
，故四边形 PACB 面积的最小值为
APB APC∠ = ∠ 1sin APC PC
∠ = min 2 2PC = 2 2PC =
APC∠ APB∠
2 2( 3) 1x y− + =
12 2 2PAC PAB PABS S S S PA AC PA∆ ∆ ∆= + = = × ⋅ ⋅ =四边形PACB min 7PA =
720
方法 2：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值
例题7： 若实数 x、y 满足 ，求 x-2y 的最大值．
【解析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式
转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．
，令
则 （其中
）
∴当 时， ，故 x-2y 的最大值为 0．
【点评】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值
．
2 2 2 4 0x y x y+ + − =
2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − = 1 5 cos ( )
2 5 sin
x R
y
θ θ
θ
= − + ∈
= +
2 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) 5x y θ θ θ ϕ− = − + − = + −
5 2 5cos ,sin5 5
ϕ ϕ= =
cos( ) 1θ ϕ+ = max( 2 ) 5 5 0x y− = − =21
方法 3：向函数问题转化
平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问
题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代
数思想将问题转化为函数问题．
例题8： 已知圆 O： ，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，则
的最小值为
【解析】本题中，由于 A、B 都是动点，故将 转化为坐标形式较难求解．
此时考虑到向量数量积的定义，令 ， ，
而切线段 PA=PB 也可用 表示，故所求式可转化为关于 的三角函数求解．
令 ， ， ，
∴ ，
令 ，则
（当且仅当 ，即 时取等号）
2 2 1x y+ = PA PB⋅
PA PB⋅
2APB α∠ = cos2PA PB PA PB α⋅ =
α α
2 ( (0, ))2APB
πα α∠ = ∈ cos2PA PB PA PB α⋅ = 1
tanPA PB α= =
2 2 2
2 2 2
cos2 cos cos2 (1 sin )(1 2sin )
tan sin sinPA PB
α α α α α
α α α
⋅ − −⋅ = = =
2sin ( 0)t tα = > (1 )(1 2 ) 12 3 2 2 3t tPA PB tt t
− −⋅ = = + − ≥ −
2
2t = 2 2sin 2
α =
P
A
B
O22
【点评】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题
转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用
了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．23
C A
E
F
G
H
x
y
O
M
N
方法 4：向基本不等式问题转化
例题9： 已知圆 C： ， 过点 做两条互相垂直的直线 ， 交
圆 C 与 E、F 两点， 交圆 C 与 G、H 两点，
（1）EF+GH 的最大值．
(2) 求四边形 EGFH 面积的最大值．
【解析】由于 EF 和 GH 都是圆的弦长，因此可利用
将 EF+GH 转化，难点是转化后要利
用基本不等式的相关知识点．
（1）令圆心 C 到弦 EF 的距离为 ，到弦 GH 的距离为 ，则
EF+GH ，又 ，
由：
（当且仅当 取等号）故 EF+GH
（2）∵ ，
∴
（当且仅当 取等号）
【点评】本题（1）是利用 ，（2）是利用 ．基本不
等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”
2 2+2 4x y+ =（ ） ( 1,0)A − 1 2l l、 1l
2l
2 2 2= +半径 半弦长 弦心距
1d 2d
2 2
1 22( 4 4 )d d= − + − 2 2 2
1 2 1d d CA+ = =
2 2 2 2
1 2 1 24 4 8 ( ) 8 1 14
2 2 2 2
d d d d− + − − + −≤ = =
1 2
2
2d d= = 8 12 142
−≤ =
EF GH⊥
2 2
2 2 1 2
1 2
8 ( )1 2 4 4 2 72 2
d dS EF GH d d
− += ⋅ = − ⋅ − ≤ ⋅ =四边形EFGH
1 2
2
2d d= =
2 2
2 2
a b a b+ +≤
2
a bab
+≤24
．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想
和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题
．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和
函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使
问题代数化、简单化也是需要注意的．
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