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2020 年开学摸底考八年级数学摸底考 B 卷 一、选择题(本大题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 A. =2 ,不符合题意; B. 是最简二次根式; C. =2,不符合题意; D. = ,不符合题意;故选:B. 2.下列各组数中以 a,b,c 为边的三角形不是直角三角形的是(  ) A.a=2,b=3,c=4 B.a=5,b=12,c=13 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 【答案】A 【解析】解:A 选项中,∵22+32=42,∴2,3,4 不能作为直角三角形的三边长; B、C、D 选项的三个数都满足这种关系,能作为直角三角形的三边长. 故选 A. 3.正方形具有而菱形不具有的性质是    A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 8 5 4 1 3 8 2 5 4 1 3 3 3 ( )【答案】B 【解析】解: 正方形和菱形都满足: 四条边都相等, 对角线平分一组对角, 对角线垂直且互相平分; 菱形的对角线不一定相等, 而正方形的对角线一定相等 . 故选: . 4.下列运算正确的是(  ) A.a3•a2=a6 B.a﹣2=﹣ C.3 ﹣2 = D.(a+2)(a﹣2)=a2+4 【答案】C 【解析】 A、a3•a2=a5,故 A 选项错误; B、a﹣2= ,故 B 选项错误; C、3 ﹣2 = ,故 C 选项正确; D、(a+2)(a﹣2)=a2﹣4,故 D 选项错误,故选 C 5.下列命题: ①如果 a,b,c 为一组勾股数,那么 4a,4b,4c 仍是勾股数; ②如果直角三角形的两边是 5、12,那么斜边必是 13; ③如果一个三角形的三边是 12、25、21,那么此三角形必是直角三角形; ④一个等腰直角三角形的三边是 a,b,c(a>b=c),那么 a2:b2:c2=2:1:1. 其中正确的是(  ) A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 【答案】C 【解析】根据勾股定理对①进行判断;利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断;根据勾股定理的逆 B 2 1 a 3 3 3 2 1 a 3 3 3定理对③进行判断;根据等腰直角三角形的性质对④进行判断. 【解答】解:如果 a,b,c 为一组勾股数,那么 4a,4b,4c 仍是勾股数,所以①正确; 如果直角三角形的两边是 5、12,那么斜边是 13 或 ,所以②错误; 如果一个三角形的三边是 12、25、21,那么此三角形不是直角三角形,所以③错误; 一个等腰直角三角形的三边是 a,b,c(a>b=c),那么 a2:b2:c2=2:1:1,所以④正确. 故选 C. 6.如图,在菱形 中, , 分别是 , 的中点,若 ,则 的度数为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得 ,由三角形中位线定理可得 , 即可求解. 解: 四边形 是菱形 ,且 , 分别是 , 的中点, 故选: . 7.已知(4+ )•a=b,若 b 是整数,则 a 的值可能是(  ) 119 ABCD E F AB AC 50B∠ = ° AFE∠ ( ) 50° 60° 65° 70° 65BCA BAC∠ = ∠ = ° / /EF BC  ABCD AB BC∴ = 50B∠ = ° 65BCA BAC∴∠ = ∠ = ° E F AB AC / /EF BC∴ 65AFE BCA∴∠ = ∠ = ° C 3A. B.4+ C.4﹣ D.2﹣ 【答案】C 【解析】 (4+ )×(4- )=42-( )2=16-3=13,是整数, 所以 a 的值可能为 4- ,故选 C 8.已知,如图,一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行,另一轮船以 12 海里/时的速度同 时从港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 小时后,则两船相距(  ) A.25 海里 B.30 海里 C.35 海里 D.40 海里 【答案】D. 【解析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角.然后根据路程=速度×时间,得两条船分别走了 32, 24.再根据勾股定理,即可求得两条船之间的距离. 解:∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向, ∴∠BAC=90°, 两小时后,两艘船分别行驶了 16×2=32 海里,12×2=24 海里, 根据勾股定理得: =40(海里). 故选 D. 3 3 3 3 3 3 3 3 22 2432 +9.已知:如图, 是正方形 内的一点,且 ,则 的度数为    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用等边三角形和正方形的性质求得 ,然后利用等腰三角形的性质求得 的度 数,从而求得 的度数,利用三角形的内角和求得 的度数. 解: , 是等边三角形, , , , , , 同理可得 , , 故选: . 10.△ABC 中,AB=13cm,AC=15cm,高 AD=12,则 BC 的长为(  ) M ABCD MC MD AD= = AMB∠ ( ) 120° 135° 145° 150° 30ADM∠ = ° MAD∠ BAM ABM∠ = ∠ AMB∠ MC MD AD CD= = = MDC∴∆ 60MDC DMC MCD∴∠ = ∠ = ∠ = ° 90ADC BCD∠ = ∠ = ° 30ADM∴∠ = ° 75MAD AMD∴∠ = ∠ = ° 15BAM∴∠ = ° 15ABM∠ = ° 180 15 15 150AMB∴∠ = ° − ° − ° = ° DA.14 B.4 C.14 或 4 D.以上都不对 【答案】C. 【解析】分两种情况讨论:锐角三角形和钝角三角形,根据勾股定理求得 BD,CD,再由图形求出 BC,在 锐角三角形中,BC=BD+CD,在钝角三角形中,BC=CD﹣BD. 解:(1)如图,锐角△ABC 中,AB=13,AC=15,BC 边上高 AD=12, 在 Rt△ABD 中 AB=13,AD=12,由勾股定理得 BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25, 则 BD=5, 在 Rt△ABD 中 AC=15,AD=12,由勾股定理得 CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81, 则 CD=9, 故 BC=BD+DC=9+5=14; (2)钝角△ABC 中,AB=13,AC=15,BC 边上高 AD=12, 在 Rt△ABD 中 AB=13,AD=12,由勾股定理得 BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25, 则 BD=5, 在 Rt△ACD 中 AC=15,AD=12,由勾股定理得 CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81, 则 CD=9, 故 BC 的长为 DC﹣BD=9﹣5=4. 故选:C.二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 11.化简 的结果为_____. 【答案】 +1 【解析】 原式=[( ﹣1)( +1)]2017•( +1)=(2﹣1)2017•( +1)= +1. 故答案为: +1. 12.命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是   ,逆命题是   命题(填“真” 或“假”). 【答案】两个角相等三角形是等腰三角形,真. 【解析】先找到原命题的题设和结论,再将题设和结论互换,即可而得到原命题的逆命题,继而也能判断 出真假. 解:因为原命题的题设是:“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”, 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”,是真命题. 故答案为:两个角相等三角形是等腰三角形,真. ( ) ( )2017 2018 2 1 2 1− + 2 2 2 2 2 2 213.已知 ,则 xy2=_________. 【答案】18 【解析】根据题意得,x-2≥0 且 4-2x≥0, 解得 x≥2 且 x≤2, 所以,x=2, y=3, ∴ . 故答案为:18. 14.如图,在矩形 中,对角线 与 相交于点 , 平分 交 于点 ,若 , 则 的度数等于   . 【答案】 【解析】由矩形 ,得到 ,根据 平分 ,得到等边三角形 ,推出 ,求 出 、 的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到 ,根据三角形的内角和定理即 可求出答案. 解: 四边形 是矩形, , , , , , , , 平分 , , y 2 4 2 3x x= − − − + 2 22 3 18xy = × = ABCD AC BD O AE BAD∠ BC E 15CAE∠ = ° BOE∠ 75° ABCD OA OB= AE BAD∠ OAB AB OB= OAB∠ OBC∠ OB BE=  ABCD / /AD BC∴ AC BD= OA OC= OB OD= 90BAD∠ = ° OA OB∴ = DAE AEB∠ = ∠ AE BAD∠ 45BAE DAE AEB∴∠ = ∠ = ° = ∠, , , , 是等边三角形, , , , , . 故答案为 . 15. 一只蚂蚁从长为 4cm、宽为 3cm,高是 5cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点,那么它所行的最短路 线的长是   cm. 【答案】 . 【解析】 AB BE∴ = 15CAE∠ = ° 45 15 30DAC∴∠ = ° − ° = ° 60BAC∠ = ° BAO∴∆ AB OB∴ = 60ABO∠ = ° 90 60 30OBC∴∠ = ° − ° = ° AB OB BE= = 1 (180 30 ) 752BOE BEO∴∠ = ∠ = ° − ° = ° 75° 74解:将长方体的每相邻侧面展开成一个侧面,蚂蚁从 A 到 B 的爬行距离有三种情况: (1)如图 1,前面与上面,A 到 B 的距离为 AB= (㎝) (2)如图 2,前面与右面,A 到 B 的距离为 AB= (㎝) (3)如图 3,左面与上面,A 到 B 的距离为 AB= (㎝) ∵ ∴蚂蚁所行的最短路线为 cm. 故答案为: 16.如图,在 中, 和 的平分线相交于点 ,过点 作 交 于 ,交 于 , 过点 作 于 ,下列四个结论: ① ; ② ; ③点 到 各边的距离相等; ④设 , ,则 . 其中正确的结论是  .(填序号) 5480)35(4 22 ==++ 74345 22 =++ )( 10390453 22 ==++ )( 1035474 << 74 74 ABC∆ ABC∠ ACB∠ O O / /EF BC AB E AC F O OD AC⊥ D EF BE CF= + 190 2BOC A∠ = ° + ∠ O ABC∆ OD m= AE AF n+ = AEFS mn∆ =【答案】①②③ 【解析】由在 中, 和 的平分线相交于点 ,根据角平分线的定义与三角形内角和定理, 即可求得② 正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出 和 是等腰三角 形得出 故①正确;由角平分线的性质得出点 到 各边的距离相等,故③正确;由角 平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得③设 , ,则 ,故④错 误. 解: 在 中, 和 的平分线相交于点 , , , , , ;故②正确; 在 中, 和 的平分线相交于点 , , , , , , , , , , , 故①正确; ABC∆ ABC∠ ACB∠ O 190 2BOC A∠ = ° + ∠ BEO∆ CFO∆ EF BE CF= + O ABC∆ OD m= AE AF n+ = 1 2AEFS mn∆ =  ABC∆ ABC∠ ACB∠ O 1 2OBC ABC∴∠ = ∠ 1 2OCB ACB∠ = ∠ 180A ABC ACB∠ + ∠ + ∠ = ° 190 2OBC OCB A∴∠ + ∠ = ° − ∠ 1180 ( ) 90 2BOC OBC OCB A∴∠ = ° − ∠ + ∠ = ° + ∠  ABC∆ ABC∠ ACB∠ O OBC OBE∴∠ = ∠ OCB OCF∠ = ∠ / /EF BC OBC EOB∴∠ = ∠ OCB FOC∠ = ∠ EOB OBE∴∠ = ∠ FOC OCF∠ = ∠ BE OE∴ = CF OF= EF OE OF BE CF∴ = + = +过点 作 于 ,作 于 ,连接 , 在 中, 和 的平分线相交于点 , , ;故④错 误; 在 中, 和 的平分线相交于点 , 点 到 各边的距离相等,故③正确. 故答案是:①②③ 三、解答题(一)(本大题共 4 小题,每小题 8 分,共 32 分) 17.计算 (1) 【解析】 原式= =1× × =10; (2) 【解析】 O OM AB⊥ M ON BC⊥ N OA  ABC∆ ABC∠ ACB∠ O ON OD OM m∴ = = = 1 1 1 1 1( )2 2 2 2 2AEF AOE AOFS S S AE OM AF OD OD AE AF mn∆ ∆ ∆∴ = + = + = + =    ABC∆ ABC∠ ACB∠ O ∴ O ABC∆ 2 1 3 675 ÷× 23 675 ×× 3 1 2675 ×× )()( 1-313 18 627 ×++×原式= +(3﹣1) =3+2 =5; 18.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AC=6,BC=8, (1)求 AB 的长; (2)求 CD 的长. 【解析】(1)用勾股定理求出斜边 AB 的长度; (2)用面积就可以求出斜边上的高. 解:(1)在 Rt△ABC 中 由勾股定理得:AB= =10; (2)由面积公式得:S△ABC= AC•BC= AB•CD ∴CD=6×8÷2×2÷10=4.8. 19.如图,已知菱形 的对角线 , 相交于点 ,过 作 ,交 的延长线于点 . (1)求证:四边形 是平行四边形; (2)若 ,求 的度数. 18 627× 22 BCAC + 2 1 2 1 ABCD AC BD O C CE AC⊥ AB E BECD 50E∠ = ° DAB∠【解析】(1)直接利用菱形的性质对角线互相垂直,得出 ,进而得出答案; (2)利用菱形、平行四边形的性质得出 ,进而利用三角形内角和定理得出答案. (1)证明: 四边形 是菱形, , , 又 , , 四边形 是平行四边形; (2)解: 四边形 是菱形, , , 四边形 是平行四边形, , , , . 20.如图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处,已知 CE=3,AB=8,求 BF. / /BD EC 50CEA DBA∠ = ∠ = °  ABCD AC BD∴ ⊥ / /DC BE CE AC⊥ / /BD EC∴ ∴ BECD  ABCD AD AB∴ = ADB ABD∴∠ = ∠  BECD / /DB CE∴ 50CEA DBA∴∠ = ∠ = ° 50ADB∴∠ = ° 180 50 50 80DAB∴∠ = ° − ° − ° = °【解析】设 BC=x,AF 可用含 x 的式子表示,CF 可以根据勾股定理求出,然后用 x 表示出 BF,在 Rt△ABF 中,利用勾股定理,可建立关于 x 的方程,即可得出 BF 的长. 解:由折叠的性质知:AD=AF,DE=EF=8﹣3=5; 在 Rt△CEF 中,EF=DE=5,CE=3,由勾股定理可得:CF=4, 若设 AD=AF=x,则 BC=x,BF=x﹣4; 在 Rt△ABF 中,由勾股定理可得: 82+(x﹣4)2=x2,解得 x=10, 故 BF=x﹣4=6. 四、解答题(二)(本大题 4 小题,每小题 10 分,共 40 分) 21.已知 a=3+2 ,b=3-2 ,求 a2b-ab2 的值. 【解析】 ∵a=3+2 ,b=3-2 , ∴ab= , ∴ . 22 如图,点 , , , 依次在同一条直线上,点 , 分别在直线 的两侧,已知 , , . (1)求证:四边形 是平行四边形. (2)若 , , ,当四边形 是菱形时,求 的长. 2 2 2 2 (3+2 2)(3 2 2) 1, (3 2 2) (3 2 2) 4 2a b− = − = + − − = 2 2 ( ) 1 4 2 4 2a b ab ab a b− = − = × = A B C D E F AD / /BE CF A D∠ = ∠ AE DF= BFCE 10AD = 3EC = 60EBD∠ = ° BFCE AB【解析】(1)想办法证明 即可解决问题. (2)利用全等三角形的性质证明 即可解决问题. (1)证明: , , , , , ∴△ABE≌△DCF(AAS) , , 四边形 是平行四边形. (2)解: 四边形 是菱形, , 是等边三角形, , , , ∴AB= (10-3)= 23.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示 AB 所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所 在的位置在点 C 和点 D 处,CA⊥AB 于 A,DB⊥AB 于 B,已知 AB=25km,CA=15km,DB=10km,试问: 图书室 E 应该建在距点 A 多少 km 处,才能使它到两所学校的距离相等? BE CF= AB CD= / /BE CF EBC FCB∴∠ = ∠ EBA FCD∴∠ = ∠ A D∠ = ∠ AE DF= BE CF∴ = AB CD= ∴ BFCE  BFCE 60EBD∠ = ° CBE∴∆ 3BC EC∴ = = 10AD = AB DC= × 2 1 2 7【解析】设 AE=x,然后用 x 表示出 BE 的长,进而可在两个直角三角形中,由勾股定理表示出 CE、DE 的 长,然后列方程求解. 解:设 AE=xkm,则 BE=(25﹣x)km; 在 Rt△ACE 中,由勾股定理得:CE2=AE2+AC2=x2+152; 同理可得:DE2=(25﹣x)2+102; 若 CE=DE,则 x2+152=(25﹣x)2+102; 解得:x=10; 答:图书室 E 应该建在距 A 点 10km 处,才能使它到两所学校的距离相等. 24.阅读材料:(一)如果我们能找到两个实数 x、y 使 且 ,这样 ,那么我们就称 为“和谐二次根式”, 则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”. 例如: . (二)在进行二次根式的化简与运算时,我们有时还会碰上如 一样的式子,其实我们还可以将其进一 步化简: ,那么我们称这个过程为分式的分母有理化. 根据阅读材料解决下列问题: (1)化简“和谐二次根式”:① ___________,② ___________; x y a+ = xy b= ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2a b x y x y x y x y+ = + + ⋅ = + = + 2a b+ ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2+ = + + ⋅ = + = + 2 3 1+ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 3 1 2 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 × − × − = = = − + + − − 11 2 28+ = =34-7(2)已知 , ,求 的值; (3)设 的小数部分为 ,求证: . 【答案】 ① ,② ;(2) ;(3)证明见解析. 【解析】 (1)解:① ② (2) , ; (3)证明: ∵6- 的整数是 4 ∴6- 的小数部分是 6- -4=2- 1 5 2 6 m = + 1 5 2 6 n = − m n m n − + 39 432− b 139 432 2b b − = + 7+2 2 3− 6 3 − 2 2 211 2 28 ( 7) ( 4) 2 7 4 ( 7 4) 7 2+ = + + ⋅ = + = + 2 2 27 4 3 7 2 12 ( 4) ( 3) 2 4 3 ( 4 3) 2 3− = − = + − ⋅ = − = − 23 23 1 625 1 −= + = + =m 23 23 1 625 1 += − = − =n 3 2 ( 3 2) 2 2m n∴ − = − − + = − 3 2 ( 3 2) 2 3m n+ = − + + = 2 2 6 32 3 m n m n − −∴ = = −+ 39 432 39 2 108 36 3 6 3− = − = − = − 3 3 3 3 2 3b∴ = −1 12 2(2 3) 4 2 3 2 3 6 3 2 3 b b ∴ + = − + = − + + = − − 139 432 2b b ∴ − = + 查看更多

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