资料简介
2020 年八年级数学开学摸底考试卷 A 卷
一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. +y D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的定义：形如 ，A、B 是整式，B 中含有字母且 B 不等于 0 的式子叫做分式
【详解】A. 属于整式，不是分式；
B. 属于整式，不是分式；
C. 属于整式，不是分式；
D. 属于分式；
故答案选 D
【名师点睛】本题主要考查了分式的概念，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含
字母.
2.下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2
x x
π 2
x
1
x
x +
A
B
x
2
x
π
x +y2
x
x+1【解析】
【分析】
根据函数的定义可知 y 与自变量 x 是一一对应的，可以判断出各个选项中的图像是否是函数图像，来解答本
题.
【详解】有函数的定义可知，选项 B 中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，故答案选 B.
【名师点睛】本题主要考查了函数的图像、函数的概念，解答本题的关键是明确函数定义，利用数形结合
的思想解答.
3.直线 y＝﹣3x+m 与直线 y＝2x+3 的交点在第二象限，则 m 的取值范围是（ ）
A. ﹣ ＜m＜3 B. m＞ C. m＜3 D. m＜3 或 m＞-
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意联立二元一次方程组求出交点的坐标然后根据交点在第二象限列出不等式组，从而求出 m 的取值
范围.
【详解】根据题意得 解得
又因为交点在第二象限，则 即
解得
故答案选 A
【名师点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解即这两个一次函数
9
2
9
2
9
2
y=-3x+m
y=2x+3
m-3x= 5
2m-6y= +35
x 0 y 0＜ ， ＞
m-3 05
2m-6 +3 05
＜
＞
9- m 32
＜ ＜图像的交点坐标，正确理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键.
4.已知 P（x，y）是直线 y＝ x﹣ 上的点，则 2x﹣4y﹣3 的值为（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，首先对题目中的函数解析式变形，然后代入后面的式子即可求解
【详解】 是直线 上的点
即
故答案选 A
【名师点睛】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征和整体代换的思想，对式子的正确变形和代换是解
题的关键.
5.如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝kx﹣1（k 为常数，且 k＞0）的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
1
2
3
2
( ),P x y
1 3y= x-2 2
4y=2x-6∴ 2x-4y=6
2x-4y-3=6-3=3∴【分析】先根据 k 的符号，得到反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝kx﹣1 都经过第一、三象限或第二、四象
限，再根据一次函数 y＝kx﹣1 与 y 轴交于负半轴，即可得出结果．
【解答】解：当 k＞0 时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故 A、C 选项错误；
∵一次函数 y＝kx﹣1 与 y 轴交于负半轴，
∴D 选项错误，B 选项正确，
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数 k 的符号决定直线的方向
以及双曲线的位置．
6.在平面直角坐标系中，将直线 l1：y＝﹣3x+3 平移后得到直线 l2：y＝﹣3x﹣6，则下列平移的做法正确的
是（ ）
A. 将 l1 向左平移 3 个单位 B. 将 l1 向左平移 9 个单位
C. 将 l1 向下平移 3 个单位 D. 将 l1 向上平移 9 个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
本题依据一次函数图像的平移规律（左加右减，上加下减）即可求解.
【详解】假设直线 l1：y＝﹣3x+3 平移 a 个单位长度得到直线 l2：y＝﹣3x﹣6
可得：
解得：
故将 向左平移 3 个单位长度
故答案选 A
【名师点睛】本题主要考查了一次函数图像平移，正确理解一次函数图像的平移变换是解题的关键.
-3 x 3 3 6a x+ + = − −（ ）
a=3
1l7.在平面直角坐标系中，点 所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用第二象限点的符号特点进而得出答案.
【详解】点（-3,2）所在的象限在第二象限.
故答案选 B
【名师点睛】本题主要考查了点的坐标，明确各象限内点的坐标符号是解题的关键.
8.若分式方程 ＝2+ 有增根，则 a 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
分式方程无解有两种可能，一种是转化为的整式方程本身没有解，一种是整式方程的解使分式方程的分母
为 0.
【详解】原式可化为 ，因为分式方程无解，即等式不成立或无意义，当 时，方程无意义，代
入求得 .
【名师点睛】本题主要考查了分式方程，理解无解的含义是解题的关键.
9.如图，平行四边形的对角线 与 相交于点 ， ，若 ， ，则 的长是( )
( )3,2P −
4
x
x − 4
a
x −
8x a= − 4x =
4a =
AC BD O AB AC⊥ 4AB = 6AC = BDA. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形对角线互相平分的性质可知 OA 长，根据勾股定理求出 BO 长可得 BD 长.
【详解】解： 四边形 ABCD 是平行四边形，
，
故选：B
【名师点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及勾股定理，灵活应用平行四边形对角线互相平分求线段
长是解题的关键.
10．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=8cm，AB=6cm，DE 平分∠ADC，交 BC 边于点 E，则 BE 的长为
（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】A
12 10 8 11
6AC =
1 13,2 2OA AC BO BD∴ = = =
AB AC⊥ 4AB =
2 2 2 24 3 5BO AB OA∴ = + = + =
2 10BD BO∴ = =【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而 DE 平分∠ADC，进
一步推出∠EDC=∠DEC，根据等角对等边得 CE=CD，则 BE 可求解．
【解答】解：根据平行四边形的性质得 AD∥BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE 平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，
∴BE=BC﹣EC=8﹣6=2（cm）．
故选：A．
【名师点睛】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明
CE=CD 是解决问题的关键．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）
11.使代数式 有意义的 x 的取值范围是_________．
【答案】x≥0 且 x≠2
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得 x≥0，根据分式有意义的条件可得 2x-1≠0，再解不等式即可．
【详解】由题意得：x⩾0 且 2x−1≠0，
解得 x⩾0 且 x≠ ，
故答案为 x⩾0 且 x≠ .
2 1
x
x −
1
2
1
2【名师点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件.牢记分式、二次根式成立的条件
是解题的关键.
12.已知：a2﹣3a+1＝0，则 a+ ﹣2 的值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意得，等式两边同时除以 a，得 即 整体代换代入后面的式子即可求解.
【详解】 则原式=3-2=1
故答案为 1
【名师点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和整体代换的思想是解题的关键.
13．反比例函数 与 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线分别交双曲线于 A、B
两点，连接 OA、OB，则△AOB 的面积为_________．
【答案】
【专题】计算题．
【分析】由于 AB∥x 轴，可知 AB 两点的纵坐标相等，于是可设 A 点坐标是（a，c），B 点坐标是（b，
c），于是可得 = ，即 b= a，进而可求 AB，据图可知△AOB 的高是 c，再利用面积公式可求其面积．
【解答】解：由于 AB∥x 轴，设 A 点坐标是（a，c），B 点坐标是（b，c），那么
= ，
1
a
13 0a a
− + = 1a+ =3a
2 13 1 0 3a a a a
− + = ∴ + =∴b= a，
∴AB=|a﹣b|= a，
∵c= ，
∴S△AOB= AB•c= × a× = ，
故答案是 ．
【名师点睛】本题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是注意 A、B 两点的纵坐标相
等．
14．一粒米的质量约为 0.000000036 千克，用科学记数法表示为_________千克．
【答案】3.6×10﹣8．
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【解答】解：0.000000036=3.6×10﹣8，
故答案为：3.6×10﹣8．
【名师点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
15.在平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝_________．
【答案】100°
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质（平行四边形的对角相等，对边平行）可得 ，又由
，可得 .
180A C A D∠ ∠ ∠ ∠ = °＝ ， ＋
200A C＋∠ ∠ = ° A∠【详解】 四边形 ABCD 是平行四边形
故答案是：
【名师点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行。熟练掌握平行四边
形的性质是解题的关键.
三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分）
16.计算：（ ）3÷（﹣ ）2×（9xy﹣2）．（要求结果中不出现负整数指数幂）
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式的乘除运算法则和积的乘方的运算法则计算得出答案．
【详解】原式＝
＝
【名师点睛】本题主要考查了分式的乘除运算法则和积的乘方的运算法则，熟练掌握这些运算法则是解
题的关键.
17.在同一坐标系中分别画出 y＝2x+1 和 y＝﹣x﹣2 的图象，它们的交点为 A，求点 A 的坐标．
【答案】（﹣1，﹣1）
,A C AB CD∴∠ = ∠
200A C∠ + ∠ =
100A∴∠ =
100
23
y
x
2
4
y
x
3 3
16
3x y
3 2
6 4 2
16 9
27
y x x
x y y
× ×
3 3
16
3x y【解析】
【分析】
利用描点法画出直线即可，根据一次函数与二元一次方程组的关系，解方程组求交点坐标即可.
【详解】列表描点画出图象：
列方程组
解方程组得
∴两直线交点 A 的坐标是（﹣1，﹣1）．
【名师点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，和画一次函数图像，解题的关键在于
明确交点的横纵坐标即二元一次方程组的解.
18.先化简：（ ）÷ ，再从﹣2，2，﹣1，1 中选择一个合适的数代入求值．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法运算法则可以化简题目中的式子，然后在-2,2，-1,1 中选择一个使得原分式有意义的 x
y=2x 1
y= x 2
+
− −
x= 1
y= 1
−
−
2 2
2 2
a a
a a
− +−+ − 2
4 4
4
a
a
−
−的值代入求解.
【详解】
＝ ，
当 a＝﹣1 时，原式＝﹣ ＝﹣1．
【名师点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法.
19.我县某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价贵 12 元，用
12000 元购进的科普书本数是用 9000 元购进的文学书本数的 ．那么文学书和科普书的单价各是多少元？
【答案】购进的文学书的单价为 18 元，科普书的单价为 30 元
【解析】
【分析】
设文学书的单价为 x 元，则科普书的单价为每本（x+12）元，根据数量=总价÷单价，根据用 12000 元购进
的科普书本数是用 9000 元购进的文学书本数的 即可求出关于 x 的分式方程，解分式方程然后检验得出结
论.
【详解】设文学书的单价为每本 x 元，则科普书的单价为每本（x+12）元，
根据题意得：
，
解得：x＝18，
2
2 2 4 4-2 2 4
a a a
a a a
− + − ÷ + − −
( ) ( )
( )( )
( )2 2
2
2 2 4 1= 2 2 4
a a a
a a a
− − + −÷+ − −
( )( )
( )( )
( )
2 28= 2 2 4 1
a aa
a a a
+ −− ×+ − −
2- 1
a
a −
( )2 -1
-1-1
×
4
5
4
5
12000 9000 4
12 5x x
= ×+经检验，x＝18 是方程的解，并且符合题意，
∴x+12＝30．
答：购进的文学书的单价为 18 元，科普书的单价为 30 元．
【名师点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键.
20.已知，在平行四边形 中， 为 上一点，且 ,连接 交 于点 ，过点 作
于 ，交 于点 .
(1)若 ,求 的度数；
(2)若 ，过点 作 交 于点 ，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1） 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 证 明 即 可 ； （2） 先 证 明 ， 再 利 用 矩 形 的 性 质 可 证
，根据等角对等边可得结论.
【详解】解：(1) ，
，
，
，
，
又∵平行四边形 中， ，
ABCD E AD AB AE= BE AC H A
AF BC⊥ F BE G
50D∠ = EBC∠
AC CD⊥ G / /GM BC AC M AH MC=
25EBC∠ =
BPG BFG∆ ≅ ∆
PAG NCM∆ ≅ ∆
AB AE=
1 3∠ ∠∴ =
/ /AE BC
2 3∴∠ = ∠
11 2 2 ABC∴∠ = ∠ = ∠
ABCD 50D∠ = ，
；
(2)证明：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
由(1)可得， ，
，
在 和 中，
，
，
又 矩形 中， ，
， ，
，
即 ，
，
在 和 中，
50ABC∴∠ =
25EBC∴∠ =
M MN BC⊥ N G GP AB⊥ P 90CNM APG∠ = ∠ =
1 2∠ = ∠
AF BC⊥
90BPG BFG∠ = ∠ =
BPG∆ BFG∆
1 2
CNM APG
BG BG
∠ = ∠
∠ = ∠
=
( )BPG BFG AAS∴∆ ≅ ∆
PG GF∴ =
GFNM GF MN=
PG NM∴ =
AC CD⊥ / /CD AB
90BAC AFB∴∠ = = ∠
90PAG ABF NCM ABC∠ + ∠ = ∠ + ∠ =
PAG NCM∴∠ = ∠
PAG∆ NCM∆，
， ，
，
，
.
【名师点睛】本题主要考查了四边形的综合，涉及的知识点主要有平行四边形的性质，全等三角形的证明
与性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练的利用题中已有条件添加合适的条件证明三角形全等是解
题的关键.
21．如图，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，直线 AB 与 x 轴的夹角为 30°，且点 B（0，﹣2），
求直线 AB 的函数关系式．
【答案】直线 AB 的函数关系式为 y= x﹣2．
PAG NCM
CNM APG
PG NM
∠ = ∠
∠ = ∠
=
( )PAG NCM AAS∴∆ ≅ ∆
AG CM∴ =
1 2∠ = ∠ BAH BFG∠ = ∠
AHG FGB AGF∴∠ = ∠ = ∠
AG AH∴ =
AH CM∴ =【分析】解直角三角形求出 OA，得出 A 点的坐标，直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入即可
求出 k、b，即可得出答案．
【解答】解：∵点 B（0，﹣2），
∴OB=2，
∵∠BOA=90°，
∴AB=2OB=4，OA= OB=2 ，
即 A 的坐标为（2 ，0），
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
把 A、B 的坐标代入得： ，
解得：k= ，b=﹣2，
所以直线 AB 的函数关系式为 y= x﹣2．
【名师点睛】本题主要考查了解直角三角形，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，会用待定系数法
求函数解析式是解此题的关键．
22．在一条笔直的公路上有 A、B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地
后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数图象，根据图
象解答以下问题：
（1）写出 A、B 两地的距离；
（2）求出点 M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义．【答案】（1）A、B 两地的距离为 30 千米；（2）点 M 的坐标为（ ，20），该点坐标所表示的实际意义
是：出发 小时时两车相遇，相遇点距离 B 地 20 千米．,
【分析】（1）根据函数图象就可以得出 A、B 两地的距离；
（2）根据速度=路程÷时间，结合函数图象求出甲、乙两人骑自行车的速度，再求出相遇时间，就可以求出
乙离 B 地的距离，从而得出相遇点 M 的坐标．
【解答】解：（1）由函数图象，得 A、B 两地的距离为 30 千米；
（2）由函数图象，得
甲的速度为：30÷2=15（千米/时），
乙的速度为：30÷1=30（千米/时），
则甲、乙两人相遇的时间为：30÷（15+30）= （小时），
相遇时乙离开 B 地的距离为： ×30=20（千米），
所以点 M 的坐标为（ ，20）．
该点坐标所表示的实际意义是：出发 小时时两车相遇，相遇点距离 B 地 20 千米．
【名师点睛】本题主要考查了一次函数的应用，相遇问题的数量关系的运用，解答时认真分析函数图象，
弄清函数图象的意义是关键．
23.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=k1x+b 的图象与 x 轴交于点 A（﹣3，0），与 y 轴交于点
B，且与正比例函数 y=kx 的图象交点为 C（3，4）．求：（1）求 k 值与一次函数 y=k1x+b 的解析式；
（2）若点 D 在第二象限，△DAB 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形，请求出点 D 的坐标；
（3）在 y 轴上求一点 P 使△POC 为等腰三角形，请求出所有符合条件的点 P 的坐标．
【答案】证明见解析.
【分析】（1）根据待定系数法即可解决．
（2）分两种情形讨论，添加辅助线构造全等三角形即可求出点 D 坐标．
（3）分 OP=OC、CP=CO、PC=PO 三种情形研究即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数 y=kx 的图象经过点 C（3，4），
∴4=3k，
k= ，
∵一次函数 y=k1x+b 的图象经过 A（﹣3，0），C（3，4）
∴ ，
∴ ，
∴一次函数为 y= ．
（2）①当 DA⊥AB 时，作 DM⊥x 轴垂足为 M，
∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，
∵DA=AB，∠DMA=∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM=AO=3，AM=BO=2，
∴D（﹣5，3），
②当 D′B⊥AB 时，作 D′N⊥y 轴垂足为 N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N=BO=2，BN=AO=3，
∴D′（﹣2，5）
∴D 点坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．
（3）当 OP=OC 时，OC= =5，
则 P 的坐标为（0，5）或（0，﹣5），
当 CP=CO 时，则 P 的坐标是（0，8），
当 PO=PC 时，作 CK⊥y 轴垂足为 K，设 P 的坐标为，（0，t）
在 Rt△PCK 中，∵PC=t，PK=4﹣t，KC=3，
∴（4﹣t）2+32=t2 解得
此时 P 的坐标是
综上可知 P 的坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或 ．【名师点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理、添加辅助线
构造全等三角形等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
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