天天资源网 / 高中数学 / 教学同步 / 高中数学考点《数列》专项训练题
资料简介
1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；
2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.
3.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，
难度中档偏下.
1.等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)求和公式：Sn＝
n（a1＋an）
2 ＝na1＋
n（n－1）
2 d；
(3)性质：
①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.
2.等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn-1(q≠0)；
(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝
a1（1－qn）
1－q ＝
a1－anq
1－q ；
(3)性质：
①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq；
②an＝am·qn-m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列.
3.数列求和
(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变
成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项
相消法适用于形如{ c
anan＋1}(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.
专题二
第 4 讲 数列
三角函数、解三角形、平面向量与数列
考向预测
知识与技巧的梳理热点一 等差(比)数列的性质
【例 1】 (1)(2017·汉中模拟)已知等比数列{an}的前 n 项积为 Tn，若 log2a2＋log2a8＝2，则 T9 的值为( )
A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024
(2)(2017·北京海淀区质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2an－2，若数列{bn}满足 bn＝10－log2an，
则使数列{bn}的前 n 项和取最大值时的 n 的值为________.
解析 (1)由 log2a2＋log2a8＝2，得 log2(a2a8)＝2，所以 a2a8＝4，则 a5＝±2，
等比数列{an}的前 9 项积为 T9＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512.
(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1 时，a1＝2a1－2，解得 a1＝2.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，∴an＝2an－1.
∴数列{an}是公比与首项都为 2 的等比数列，∴an＝2n.
∴bn＝10－log2an＝10－n.由 bn＝10－n≥0，解得 n≤10.
∴使数列{bn}的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 9 或 10.
答案 (1)A (2)9 或 10
探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手
选择恰当的性质进行求解.
2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解
题.
【训练 1】 (1)设等差数列{an}的公差为 d，若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A.d>0 B.d0 D.a1d0，
由 a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上 1，1，3 成等比数列，得(2＋d)2＝2(4＋2d)，
因为 d>0，所以 d＝2，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又因为 an＝－1－2log2bn，
所以 log2bn＝－n 即 bn＝
1
2n.
(2)Tn＝ 1
21＋
3
22＋
5
23＋…＋2n－1
2n ，①
1
2Tn＝
1
22＋
3
23＋
5
24＋…＋
2n－1
2n＋1 ，②
①－②，得
1
2Tn＝
1
2＋2×( 1
22＋ 1
23＋ 1
24＋…＋ 1
2n)－
2n－1
2n＋1 ＝
1
2＋2×
1
22(1－ 1
2n－1)
1－1
2
－
2n－1
2n＋1
＝
1
2＋1－
1
2n－1－
2n－1
2n＋1 ＝
3
2－
2n＋3
2n＋1 .
所以 Tn＝3－
2n＋3
2n .
热点四 an 与 Sn 的关系问题
【例 4】 (2017·济南模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an＝5Sn＋1 成立，bn＝－1－
log2|an|，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，cn＝
bn＋1
TnTn＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前 n 项和 An，并求出 An 的最值.
解 (1)因为 an＝5Sn＋1，n∈N*，所以 an＋1＝5Sn＋1＋1，两式相减，得 an＋1＝－
1
4an，
又当 n＝1 时，a1＝5a1＋1，知 a1＝－
1
4，
所以数列{an}是公比、首项均为－
1
4的等比数列.
所以数列{an}的通项公式 an＝(－1
4 ) n
.
(2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1，数列{bn}的前 n 项和 Tn＝n2，
cn＝
bn＋1
TnTn＋1＝ 2n＋1
n2（n＋1）2＝
1
n2－
1
（n＋1）2，
所以 An＝1－
1
（n＋1）2.因此{An}是单调递增数列，
∴当 n＝1 时，An 有最小值 A1＝1－
1
4＝
3
4；An 没有最大值.
探究提高 1.给出 Sn 与 an 的递推关系求 an，常用思路是：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.
2.形如 an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列.
【训练 4】 (2017·北京海淀区质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝3，Sn＝an＋1＋2n－3，n∈N*.
(1)求证：{an－2}是等比数列；
(2)设 bn＝
an－2
anan＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
(1)证明 ∵a1＝3，且 Sn＝an＋1＋2n－3，n∈N*，①
当 n≥2 时，Sn－1＝an＋2n－5，②
①－②得：an＝an＋1－an＋2，整理可得：an＋1－2＝2(an－2)，
又当 n＝1 时，S1＝a2＋2－3，所以 a2＝4，所以 a2－2＝2(a1－2)，又 a1－2＝1，
综上可知，数列{an－2}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知，an－2＝2n－1，则 an＝2n－1＋2，
所以 bn＝
an－2
anan＋1＝
2n－1
（2n－1＋2）（2n＋2）＝
1
2n－1＋2－
1
2n＋2
所以 Tn＝
1
1＋2－
1
2＋2＋
1
2＋2－
1
4＋2＋…＋
1
2n－2＋2－
1
2n－1＋2＋
1
2n－1＋2－
1
2n＋2＝
1
3－
1
2n＋2.1.(2017·全国Ⅰ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯
三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层
灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏
3.(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S4＝10，则 ∑
n
k＝1
1
Sk＝________.
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若 S5＝
31
32，求 λ.
5.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设 bn＝[an]，求数列{bn}的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( )
A.100 B.99 C.98 D.97
2.(2017·模拟)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a3＝8a6，则
S4
S2的值为( )
A.
1
2 B.2 C.
5
4 D.5
3.(2017·唐山模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4＝－4，S6＝6，则 S5＝( )
A.1 B.0 C.－2 D.4
4.(2017·沈阳二模)已知数列{an}满足 an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A.9 B.15 C.18 D.30
5.(2017·成都诊断)已知等比数列{an}的各项均为正数，且 a1＋2a2＝5，4a23＝a2a6.
（45 分钟）限时训练
经典常规题
高频易错题(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足 b1＝2，且 bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式；
(3)设 cn＝
an
bnbn＋1，求数列{cn}的前 n 项和为 Tn.
1.(2017·沈阳二模)等比数列{a n}中各项均为正数，Sn 是其前 n 项和，且满足 2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则 S4＝
____________.
2.(2017·清远一中模拟)已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项 am，an，使得 aman＝4a1，则
1
m＋
4
n的最小值为________.
3.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求 a2，a3；
(2)求{an}的通项公式.
4.(2017·成都调研)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－a1，且 a1，a2＋1，a3 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{ 1
an }的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn－1|< 1
1 000成立的 n 的最小值.
5.(2017·衡水中学质检)若数列{an}是公差为 2 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝2，且 anbn＋bn＝nbn＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足 cn＝
an＋1
bn＋1 ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，若不等式(－1)nλ
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