资料简介
小题专题练(五) 解析几何
一、单项选择题
1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线 C 的中心在坐标原点，一个焦点( 5，0)到渐近线的
距离等于 2，则 C 的渐近线方程为( )
A．y＝±
1
2x B．y＝±2
3x
C．y＝±
3
2x D．y＝±2x
2．已知椭圆 C：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为
2
3，过 F2 的直
线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，则 C 的方程为( )
A.
x2
3 ＋y2＝1 B.
x2
3 ＋
y2
2 ＝1
C.x2
9＋
y2
4 ＝1 D.
x2
9 ＋
y2
5 ＝1
3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆 x 2＋y2＋4x－4y＝0 和 x2＋y2＋2x－8＝0 相交于两点
M，N，则线段 MN 的长为( )
A.
3 5
5 B．4
C.
6 5
5 D.
12 5
5
5．直线 l 过抛物线 y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的
长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－12x B．y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
6．已知 F1，F2 分别为椭圆 C：
x2
9 ＋
y2
8 ＝1 的左、右焦点，点 E 是椭圆 C 上的动点，则
EF1→
·EF2→
的最大值、最小值分别为( )
A．9，7 B．8，7
C．9，8 D．17，8
7．已知直线 y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点．若|FA|
＝2|FB|，则 k＝( )
A.
1
3 B.
2
3 C.
2
3 D.
2 2
3
8．(2019·唐山市摸底考试)已知 F 1，F2 为椭圆 C：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原
点 O 且倾斜角为 30°的直线 l 与椭圆 C 的一个交点为 A，若 AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭
圆 C 的方程为( )
A.
x2
6 ＋
y2
2 ＝1 B.
x2
8 ＋y2
4＝1
C.
x2
8 ＋
y2
2 ＝1 D.
x2
20＋
y2
16＝1
二、多项选择题
9．(2020·山东省普通高等学校统一考试)已知双曲线 C 过点(3， 2)且渐近线为 y＝±
3
3 x，
则下列结论正确的是( )
A．C 的方程为
x2
3 －y2＝1
B．C 的离心率为 3
C．曲线 y＝ex－2－1 经过 C 的一个焦点
D．直线 x－ 2y－1＝0 与 C 有两个公共点
10．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆
x2
9 ＋
y2
4 ＝1 有相同的焦距，且一
条渐近线方程为 x－2y＝0，则双曲线 C 的方程可能为( )
A.
x2
4 －y2＝1 B．x2－
y2
4 ＝1
C.
y2
4 －x2＝1 D．y2－
x2
4 ＝1
11．已知 F1，F2 分别是双曲线 C：y2－x2＝1 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线上一点，
且以线段 F1F2 为直径的圆经过点 P，则( )
A．双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x
B．以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1
C．点 P 的横坐标为±1
D．△PF1F2 的面积为 2
12．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直于 l 且交 l 于
点 Q，M，N 分别为 PQ，PF 的中点，MN 与 x 轴相交于点 R，若∠NRF＝60°，则( )
A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1
C．|FP|＝4 D．|FR|＝4
三、填空题13．已知圆 C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线 C2：y2＝2px(p＞0)，C1 与 C2 相交于 A，B 两点，|AB|
＝
8 5
5 ，则抛物线 C2 的方程为____________．
14．(2019·江西七校第一次联考)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P
在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝________．
15．已知椭圆 M：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)，双曲线 N：
x2
m2－
y2
n2＝1.若双曲线 N 的两条渐近线与
椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为
________；双曲线 N 的离心率为________．
16．如图，椭圆 C：
x2
a2＋
y2
4 ＝1(a>2)，圆 O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆 C
的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 l 交圆 O
于 M，N 两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．
小题专题练(五) 解析几何
1．解析：选 D.设双曲线 C 的方程为
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)，则由题意，得 c＝ 5.双曲线 C
的渐近线方程为 y＝±
b
ax，即 bx±ay＝0，所以
5b
b2＋a2＝2，又 c2＝a2＋b2＝5，所以 b＝2，所以
a＝ c2－b2＝1，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2x，故选 D.
2．解析：选 D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长
为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝
c
a＝
2
3，所以 c＝2，所
以 b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C 的方程为
x2
9 ＋
y2
5 ＝1，故选 D.
3．解析：选 B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，所以点(3，1)在
圆(x－1)2＋y2＝r2 上，因为圆心与切点连线的斜率 k＝
1－0
3－1＝
1
2，所以切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为 y－1＝－2(x－3)，即 2x＋y－7＝0.故选 B.
4．解析：选 D.两圆方程相减，得直线 MN 的方程为 x－2y＋4＝0，圆 x2＋y2＋2x－8＝0
的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆 x2＋y2＋2x－8＝0 的圆心为(－1，0)．半径为 3，圆心(－
1，0)到直线 MN 的距离 d＝
3
5，所以线段 MN 的长为 2 32－( 3
5 )2
＝
12 5
5 .故选 D.
5．解析：选 B.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又
AB 的中点到 y 轴的距离为 2，所以－
x1＋x2
2 ＝2，所以 x1＋x2＝－4，所以 p＝4，所以所求抛物
线的方程为 y2＝－8x.故选 B.
6．解析：选 B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 F1(－1，0)，F2(1，0)，设 E(x，y)(－3≤x≤3)，则EF1→
＝(－1－x，－y)，EF2→
＝(1－x，－y)，所以EF1→
·EF2→
＝x2－1＋y2＝x2－1＋
8－
8
9x2＝
x2
9 ＋7，所以当 x＝0 时，EF1→
·EF2→
有最小值 7，当 x＝±3 时，EF1→
·EF2→
有最大值 8，故
选 B.
7．解析：选 D.设抛物线 C：y2＝8x 的准线为 l，易知 l：x＝－2，
直线 y＝k(x＋2)恒过定点 P(－2，0)，
如图，过 A，B 分别作 AM⊥l 于点 M，BN⊥l 于点 N，由|FA|＝
2|FB|，知|AM|＝2|BN|，
所以点 B 为线段 AP 的中点，连接 OB，
则|OB|＝
1
2|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点 B 的横坐标为 1，因为 k＞0，所以点 B 的坐标为
(1，2 2)，所以 k＝ 2 2－0
1－（－2）＝
2 2
3 .故选 D.
8．解析：选 A.因为点 A 在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋
2|AF1||AF2|＝4a2，又 AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则 2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即
|AF1|·|AF2|＝2b2，所以 S△AF1F2＝
1
2|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2 是直角三角形，∠F1AF2＝90
°，且 O 为 F1F2 的中点，所以|OA|＝
1
2|F1F2|＝c，由已知不妨设 A 点在第一象限，则∠AOF2＝
30°，所以 A( 3
2 c，
1
2c)，则 S△AF1F2＝
1
2|F1F2|·
1
2c＝
1
2c2＝2，c2＝4，故 a2＝b2＋c2＝6，所以
椭圆方程为
x2
6 ＋
y2
2 ＝1，故选 A.
9．AC
10．解析：选 AD.在椭圆
x2
9 ＋
y2
4 ＝1 中，c＝ 9－4＝ 5.因为双曲线 C 与椭圆
x2
9 ＋
y2
4 ＝1 有
相同的焦距，且一条渐近线方程为 x－2y＝0，所以可设双曲线方程为
x2
4 －y2＝λ(λ≠0)，化为标
准方程为
x2
4λ－
y2
λ＝1.当 λ＞0 时，c＝ λ＋4λ＝ 5，解得 λ＝1，所以双曲线 C 的方程为
x2
4 －y2
＝1；当 λ＜0 时，c＝ －λ－4λ＝ 5，解得 λ＝－1，所以双曲线 C 的方程为 y2－
x2
4 ＝1.综上，
双曲线 C 的方程为
x2
4 －y2＝1 或 y2－
x2
4 ＝1，故选 AD.
11．解析：选 ACD.等轴双曲线 C：y2－x2＝1 的渐近线方程为 y＝±x，故 A 正确．由双
曲线的方程可知|F1F2|＝2 2，所以以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝2，故 B 错误．点
P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝2 上，不妨设点 P(x0，y0)在直线 y＝x 上，所以{x＋y＝2，
y0＝x0， 解得|x0|＝1，则点 P 的横坐标为±1，故 C 正确．由上述分析可得△PF1F2 的面积为
1
2×2 2×1＝ 2，故 D 正
确．故选 ACD.
12.解析：选 AC. 如图，连接 FQ ，FM ，因为 M ，N 分别为
PQ ，PF 的中点，所以 MN∥FQ.又 PQ∥x 轴，∠NRF＝60°，所以
∠FQP＝60°.由抛物线定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP 为等边三角
形，则 FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形 FQP 的边长为 4，|FP|＝|PQ|
＝4，|FN|＝
1
2|PF|＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR|＝2.故选 AC.
13．解析：由题意，知圆 C1 与抛物线 C2 的一个交点为原点，不妨记为 B，设 A(m，n)．因
为|AB|＝
8 5
5 ，所以{ m2＋n2＝8 5
5 ，
m2＋（n－2）2＝4，
解得{m ＝8
5，
n＝16
5 ，
即 A(8
5，
16
5 ).将点 A 的坐标代入抛物线方
程得(16
5 ) 2
＝2p×
8
5，所以 p＝
16
5 ，所以抛物线 C2 的方程为 y2＝
32
5 x.
答案：y2＝
32
5 x
14．解析：化双曲线的方程为
x2
2 －
y2
2 ＝1，则 a＝b＝ 2，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点
P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，解得|PF1|＝4 2，|PF2|＝
2 2，根据余弦定理得 cos∠F1PF2＝
（2 2）2＋（4 2）2－16
2 × 2 2 × 4 2
＝
3
4.
答案：
3
4
15．解析：如图，六边形 ABF1CDF2 为正六边形，直线 OA，OB 是双曲线的渐近线，则
△AOF2 是正三角形．所以直线 OA 的倾斜角为
π
3 ，所以其斜率 k＝
|n|
|m|＝ 3，所以双曲线 N 的
离心率 e1＝ 1＋n2
m2＝ 1＋3＝2.连接 F1A.因为正六边形的边长为 c，所以|F1A|＝ 3c.由椭圆定义
得|F1A|＋|F2A|＝2a，即 c＋ 3c＝2a，
所以椭圆 M 的离心率 e2＝
c
a＝ 2
1＋ 3
＝ 3－1.
答案： 3－1 216．解析：由已知|PM|·|PN|＝(R－|OP|)(R＋|OP|)＝R2－|OP|2＝a2＋4－|OP|2，|OP|2＝|OP→
|2＝
1
4
(PF1→
＋PF2→
)2＝
1
4(|PF1→
|2＋|PF2→
|2＋2|PF1→
||PF2→
|cos∠F1PF2)＝
1
2(|PF1→
|2＋|PF2→
|2)－
1
4(|PF1→
|2＋|PF2→
|2－2|PF1→
||
PF2→
|cos∠F1PF2)＝
1
2[(2a)2－2|PF1||PF2|]－
1
4×(2c)2＝a2－2，所以|PM|·|PN|＝(a2＋4)－(a2－2)＝6.
答案：6
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