资料简介
小题专题练(四) 立体几何
一、单项选择题
1．设 α，β是两个不同的平面，l 是直线且 l⊂α，则“α∥β”是“l∥β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在△ABC 中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图)，若将△ABC 绕直线 BC 旋转一
周，则形成的旋转体的体积是( )
A.
9π
2 B.
7π
2
C.
5π
2 D.
3π
2
3．如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB＝ 2，AF＝1，点 M 在 EF
上且 AM∥平面 BDE，则 M 点的坐标为( )
A．(1，1，1) B.( 2
3 ，
2
3 ，1)
C.( 2
2 ，
2
2 ，1) D.( 2
4 ，
2
4 ，1)
4．已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝AB＝ 3，AD＝1，则异面直线 B1C 和 C1D 所成
角的余弦值为( )
A.
6
4 B.
6
3
C.
2
6 D.
3
6
5．三棱锥 ABCD 中，AB，BC，CD 两两垂直，被称为“三节棍”．由该棱锥所有相邻的
两个面组成的二面角中，直二面角共有( )
A．2 个 B．3 个
C．4 个 D．5 个
6．(2019·郑州市第一次质量预测)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点 M，N 分别是边 AB1，A1C 上的动点，若直线 MN∥平面 BCC1B1，点 Q 为线段 MN
的中点，则点 Q 的轨迹为( )
A．双曲线的一支(一部分)
B．圆弧(一部分)
C．线段(去掉一个端点)
D．抛物线的一部分
7．《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所
谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面
ABC，AB＝BC＝4，AA 1＝5，M 是 A1C1 的中点，过点 B，C，M 的平面把该“堑堵”分为两
个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为( )
A．40
B．50
C．25＋15 2＋3 29
D．30＋20 2
8．如图，已知三棱锥 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 PO⊥平面 ABC，AB＝
2AC，若三棱锥 PABC 的体积为
9 3
16 ，则球 O 的表面积为( )
A．9π B.
32π
3
C．16π D.
9π
2
二、多项选择题
9．已知 m，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的是( )
A．若 m⊂α，n∥α，则 m∥n
B．若 m∥α，m∥β，则α∥β
C．若 α∩β＝n，m∥n，则 m∥α 且 m∥βD．若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β
10．(2020·山东普通高等学校统一考试)正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E，F，G 分
别为 BC，CC1，BB1 的中点．则( )
A．直线 D1D 与直线 AF 垂直
B．直线 A1G 与平面 AEF 平行
C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为9
8
D．点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等
11．如图，AC＝2R 为圆 O 的直径，∠PCA＝45°，PA 垂直于圆 O 所在的平面，B 为圆
周上不与点 A，C 重合的点，AS⊥PC 于 S，AN⊥PB 于 N，则下列选项正确的是( )
A．平面 ANS⊥平面 PBC
B．平面 ANS⊥平面 PAB
C．平面 PAB⊥平面 PBC
D．平面 ABC⊥平面 PAC
12．如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 各棱的长度均相等，D 为 AA1 的中点，M，N 分别是线
段 BB1 和线段 CC1 上的动点(含端点)，且满足 BM＝C1N，当 M，N 运动时，下列结论中正确
的是( )
A．在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段
B．平面 DMN⊥平面 BCC1B1
C．三棱锥 A1DMN 的体积为定值
D．△DMN 可能为直角三角形三、填空题
13．(2019·湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，点 G 为 BF 的中点，
则在该正四面体中，直线 EG 与直线 BC 所成角的余弦值为________．
14．已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的
体积的比值为________．
15．(2019·贵州遵义第一次联考改编)已知三棱锥 SABC 中，SA⊥平面 ABC，且 SA＝6，
AB＝4，BC＝23，∠ABC＝30°，则该三棱锥的体积为________，其外接球的表面积为________．
16．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为 2，如果任意
转动该正方体容器，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为____________．
小题专题练(四) 立体几何
1．解析：选 A.由两平面平行的性质定理可知充分性满足，但必要性不满足．
2.解析：选 D.依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以 OA
＝ 3，OB＝1，所以旋转体的体积为
1
3π·( 3)2·(OC－OB)＝
3π
2 .
3．解析：选 C.因为点 M 在 EF 上，设 ME＝x，
所以 M( 2
2 x，
2
2 x，1)，因为 A( 2，2，0)，D( 2，0，0)，E(0，0，1)，
B(0，2，0)，
所以ED→
＝( 2，0，－1)，EB→
＝(0，2，－1)，
AM→
＝( 2
2 x－ 2，
2
2 x－ 2，1).
设平面 BDE 的法向量 n＝(a，b，c)，
由{n·ED
→
＝0，
n·EB
→
＝0，
得 a＝b＝
2
2 c.
故可取平面 BDE 的一个法向量 n＝(1，1， 2)．
因为 n·AM→
＝0，所以 x＝1，所以 M( 2
2 ，
2
2 ，1).
4．解析：选 A.如图，连接 A1D，A1C1，由题易知 B1C∥A1D，所以∠C1DA1 是异面直线 B1C
与 C1D 所成的角，又 AA1＝AB＝ 3，AD＝1，所以 A1D＝2，DC1＝ 6，A1C1＝2，由余弦定理，
得 cos∠C1DA1＝C1D2＋A1D2－A1C
2 × C1D × A1D＝
6
4 ，故选 A.5．解析：选 B.由 AB⊥平面 BCD，且 AB⊂平面 ABD，AB⊂平面 ABC，得平面 ABD⊥平
面 BCD，平面 ABC⊥平面 BCD.又 CD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ACD，故平面 ACD⊥平面 ABC，
所以 ABDC，ABCD，DACB 都是直二面角. 故选 B.
6.解析：选 C.如图，分别取 AA1，B1C 的中点 E，F，任意作一个与平
面 BCC1B1 平行的平面 α 与 AB1，A1C 分别交于 M，N，则 MN∥平面
BCC1B1.由题意知△ABC 为等腰直角三角形，AB⊥AC，则侧面 AA1B1B 与侧
面 AA1C1C 是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱 AA1 与平面 BCC1B1
垂直的平面是对称的，因此 EF 必过 MN 的中点 Q，故点 Q 的轨迹为线段
EF，但需去掉端点 F，故选 C.
7．解析：选 C.如图所示，记 A1B1 的中点为 N，连接 MN，则 MN∥BC，
所以过点 B，C，M 的平面为平面 BNMC，三棱台为 A1MNACB，所以其表面
积 S＝
1
2×4×4＋
1
2×2×2＋
1
2×(4 2＋2 2)×5＋
1
2×(4＋2)×5＋
1
2×(4＋
2)× 29＝25＋15 2＋3 29.
8．解析：选 A.由于三棱锥 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，故 AB 为其外接球的一条
直径，因此∠ACB＝90°.设球 O 的半径为 r，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝2r，AC＝r，BC＝3
r，所以 S△ABC＝
1
2r× 3r＝
3
2 r2.由于 P 为球 O 上一点，故 PO＝r，又 PO⊥平面 ABC，所以 VP
ABC＝
1
3PO·S △ABC＝
1
3r·
3
2 r2＝ 3
6 r3＝
9 3
16 ，解得 r＝
3
2，所以球 O 的表面积为 4πr2＝4π×
(3
2 ) 2
＝9π，故选 A.
9．解析：选 ABC.若 m⊂α，n∥α，则 m 与 n 可能平行或异面，故 A 错误；若 m∥α，m
∥β，则 α 与 β 可能相交或平行，故 B 错误；若 α∩β＝n，m∥n，则 m 可能在平面 α 或 β 内，
故 C 错误；若 m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故 α∥β，故 D 正确．
10．解析：选 BC.根据题意，因为 AD1∥EF，所以平面 AEF 即平面 AEFD1，故 A 选项错
误．因为 A1G∥D1F，A1G⊄平面 AEFD1，所以 A1G∥平面 AEFD1，故 B 选项正确．平面 AEF
截正方体所得截面为等腰梯形 AEFD1，易知梯形面积为9
8，故 C 选项正确．点 G 到平面 AEF
的距离即点 A1 到面 AD1F 的距离，显然 D 错误．故选 BC.
11．解析：选 ACD.因为 PA⊥平面 ABC，PA⊂平面 PAC，所以平面 ABC⊥平面 PAC，故D 正确；因为 B 为圆周上不与 A，C 重合的点，AC 为直径，所以 BC⊥AB，因为 PA⊥平面
ABC，BC⊂平面 ABC，所以 BC⊥PA，又 AB∩PA＝A，所以 BC⊥平面 PAB，又 BC⊂平面
PBC，所以平面 PAB⊥平面 PBC，故 C 正确；因为 AB⊥BC，BC⊥PA，又 PA∩AB＝A，所以 BC⊥
平面 PAB，所以 BC⊥AN，又因为 AN⊥PB，PB∩BC＝B，所以 AN⊥平面 PBC，又 AN⊂平面
ANS，所以平面 ANS⊥平面 PBC，故 A 正确．故选 ACD.
12．解析：选 ABC.用平行于平面 ABC 的平面截平面 DMN，则交线平行于平面 ABC，故
A 正确；当 M，N 分别在 BB1，CC1 上运动时，若满足 BM＝C1N，则线段 MN 必过正方形 BCC1B1
的中心 O，由 DO⊥平面 BCC1B1 可得平面 DMN⊥平面 BCC1B1，故 B 正确；当 M，N 分别在
BB1，CC1 上运动时，△A1DM 的面积不变，点 N 到平面 A1DM 的距离不变，所以三棱锥 NA1DM
的体积不变，即三棱锥 A1DMN 的体积为定值，故 C 正确；若△DMN 为直角三角形，则必是
以∠MDN 为直角的直角三角形，易证 DM＝DN，所以△DMN 为等腰直角三角形，所以 DO＝
OM＝ON，即 MN＝2DO.设正三棱柱的棱长为 2，则 DO＝ 3，MN＝2 3.因为 MN 的最大值为
BC1，BC1＝2 2，所以 MN 不可能为 2 3，所以△DMN 不可能为直角三角形，故 D 错误．故
选 ABC.
13.解析：该正四面体如图所示，取 AD 的中点 H，连接 GH，EH，则
GH∥AB，所以∠HGE 为直线 EG 与直线 BC 所成的角．设该正四面体的棱长
为 2，则 HE＝EG＝ 3，GH＝1.在△HEG 中，由余弦定理，得 cos∠HGE＝
HG2＋EG2－HE2
2HG·EG ＝
3
6 .
答案：
3
6
14.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的侧面积为 S
＝2πr×2 1－r2＝4πr 1－r2≤4π×
r2＋（1－r2）
2 ＝2π(当且仅当
r2 ＝ 1 － r2 ， 即 r ＝
2
2 时 取 等 号 ) ． 所 以 当 r ＝
2
2 时 ，
V 球
V 圆柱＝
4π
3 × 13
π( 2
2 ) 2
× 2
＝
4 2
3 .
答案：
4 2
315．解析：三棱锥的体积 V＝
1
3×
1
2×2 3×4×sin 30°×6＝4 3.取 SB 的中点 O，连接 OA，
OC.因为 SA⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC，所以 SA⊥AB，可得 Rt△ASB 中，中线 OA＝
1
2SB.由
AB＝4，BC＝2 3，∠ABC＝30°，可知 AC⊥BC.又因为 SA⊥BC，SA，AC 是平面 SAC 内的
相交直线，所以 BC⊥平面 SAC，所以 BC⊥SC，所以 Rt△BSC 中，中线 OC＝
1
2SB，所以 O 是
三棱锥 SABC 的外接球的球心．在 Rt△SBA 中，AB＝4，SA＝6，所以 SB＝2 13，则外接球
半径 R＝
1
2SB＝ 13.因此其外接球的表面积 S＝4πR2＝4π×13＝52π.
答案：4 3 52π
16．解析：当液面的形状为三角形时，最大三角形即与正方体的一个顶点相邻的三个顶
点构成的三角形，这四个顶点构成的三棱锥的体积为
1
3×
1
2×2×2×2＝
4
3，所以当液体体积小
于或等于
4
3时不满足题意．由对称性，当液体体积大于或等于 23－
4
3＝
20
3 时亦不满足题意．综
上所述，液体体积的取值范围是(4
3，
20
3 ).
答案：(4
3，
20
3 )
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