资料简介
第11章11.2正弦定理
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.掌握正弦定理及其变形.2.借助向量的运算,探索正弦定理的证明过程.3.能用正弦定理解决简单的实际问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点1正弦定理1.名师点睛正弦定理解三角形的常见类型(1)已知三角形的两边及一边所对的角,求剩余的边和角.(2)已知两角和任一边,求另外两边和一角.
过关自诊答案4
答案45°
知识点2正弦定理的变形正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)(1)a=,b=,c=;(边化角)(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.易错点,切不要以为a=sinA,b=sinB,c=sinC2RsinA2RsinB2RsinC
过关自诊(多选题)在△ABC中,若2asinC=c,则A=()A.45°B.60°C.90°D.135°答案AD
知识点3三角形的面积公式1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则S△ABC=aha==.2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则S△ABC=absinC==.
名师点睛三角形面积公式的其他形式
过关自诊1.在△ABC中,若AB=3,BC=4,B=120°,则△ABC的面积等于.
2.在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=.答案30°或150°
3.在△ABC中,已知A=75°,C=45°,b=4,求△ABC的面积.
重难探究•能力素养全提升
探究点一已知两角和一边解三角形【例1】在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.
规律方法已知两角及一边解三角形的解题方法(1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
变式训练1在△ABC中,已知A=60°,tanB=,a=2,则c=.
探究点二已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形.
规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则就能判断另一边所对的角是锐角还是钝角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.
探究点三判断三角形的形状【例3】在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判断△ABC的形状.
方法二根据正弦定理,原等式可化为(sinA-sinCcosB)sinB=(sinB-sinCcosA)sinA,即sinCcosBsinB=sinCcosAsinA.∵sinC≠0,∴sinBcosB=sinAcosA.∴sin2B=sin2A.∴2B=2A或2B+2A=π,即A=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
规律方法三角形形状的判断方法判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正、余弦定理判断三角形形状的方法如下:(1)化边为角,走“三角变形”之路,常用的转化方式有:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径).(2)化角为边,走“代数变形”之路,常用的转化方式有:
变式探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acosB)sinB=(b-ccosC)sinA”,判断△ABC的形状.解因为(a-acosB)sinB=(b-ccosC)sinA,所以asinB-acosBsinB=bsinA-ccosCsinA,而由正弦定理可知asinB=bsinA,所以acosBsinB=ccosCsinA,即sinAcosBsinB=sinCcosCsinA,因为sinA≠0,所以cosBsinB=sinCcosC,即sin2B=sin2C,所以2B=2C或2B+2C=π,即B=C或B+C=,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
探究点四三角形面积公式的应用【例4】计算下列各三角形的面积.(1)在△ABC中,a=5,c=3,B=150°;(2)在△ABC中,a=8,b=8,A=30°;(3)在△ABC中,a=2,b=3,c=4.
规律方法三角形面积的求解思路求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用
变式训练2(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64,则c=;(2)在△ABC中,已知C=120°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积等于.
素养培优对三角形解的个数的探究已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.现以已知a,b和A解三角形为例予以说明:
【典例】下列对三角形解的个数的判断中正确的是()A.a=7,b=14,A=30°,有两解B.a=30,b=25,A=150°,有一解C.a=6,b=9,A=45°,有两解D.a=,b=2,A=30°,无解答案B
学以致用•随堂检测全达标
答案B
2.已知△ABC中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为()答案C
3.在△ABC中,若A∶B∶C=2∶3∶7,则a∶b等于()答案C
4.在△ABC中,A=30°,BC=1,AC=,则C=()A.90°B.60°C.60°或120°D.90°或30°答案D
答案2
6.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sinBsinC,试判断△ABC的形状.
本课结束
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