资料简介
第13章第1课时 平行直线
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.了解基本事实4和等角定理.2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的位置关系.
基础落实•必备知识全过关
知识点1空间中直线与直线的位置关系1.异面直线的定义、画法(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.不能理解成不在一个平面内,任何两字很关键(2)画法:如果直线a,b为异面直线,为了表示它们不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托.
2.直线与直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有平行直线在同一平面内没有异面直线在任何一个平面内没有一个不同
过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空间中,两条直线的位置关系只有平行和相交两种.()(2)不在同一个平面内的两条直线叫作异面直线.()××
知识点2平行直线1.基本事实4平行于同一条直线的两条直线.2.等角定理如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.名师点睛如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且一边的方向相同,另一边的方向相反,那么这两个角互补.平行
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行.()(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.()(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.()××√
2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对答案B3.如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?提示不一定.这两条直线可能相交、平行或异面.
重难探究•能力素养全提升
探究点一空间两直线位置关系的判定【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,有以下四个结论:①直线DM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为.(填序号)
答案①③④解析①中直线DM与直线CC1不平行,且在同一平面内,故它们延长后必相交,故结论正确;③④中的两条直线既不相交又不平行,即均为异面直线,故结论正确;②中AM与BN是异面直线,故②不正确.规律方法1.判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面.
变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面
解析
探究点二直线与直线平行的证明【例2】如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
规律方法证明两直线平行,目前有两种途径:一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行;二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
变式训练2在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'.证明因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,所以BE∥B'E',且BE=B'E'.所以四边形EBB'E'是平行四边形,所以EE'∥BB',同理可证FF'∥BB'.所以EE'∥FF'.
探究点三等角定理的应用【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠B1M1C1=∠BMC.
∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.
规律方法有关证明角相等问题,一般采用下面三种途径:(1)利用等角定理.(2)利用三角形相似.(3)利用三角形全等.本例是通过第一种途径来实现的.
变式探究将例3中的条件“M,M1分别是棱AD和A1D1的中点”改为“M,N分别是棱CD,AD的中点”,其他条件不变,求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;(2)∠DNM=∠D1A1C1.
证明(1)如图,连接AC,在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1.∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,∴∠DNM=∠D1A1C1.
素养培优等角定理的综合应用【典例】若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是()A.OB∥O1B1,且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行答案D
解析当∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1时,OA与O1A1的方向相同,OB与O1B1不一定平行,如图所示,故选D.规律方法在讨论空间中两条直线平行的位置关系时,除了运用等角定理,也可以利用数形结合思想.
学以致用•随堂检测全达标
1.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB与∠A1O1B1()A.相等B.互补C.相等或互补D.以上均不对答案C解析由题意,两角对应边平行,如果方向均相同或相反,那么两角相等,如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么两角互补.
2.直线a与直线b相交,直线c也与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案D解析如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,AB∥A1B1;AD与AA1相交,AB与AD相交,AA1与AB相交;A1D1与AA1相交,AB与AA1相交,AB与A1D1异面.
3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有()A.3条B.4条C.5条D.6条答案B解析EF∥B1C1,EF∥BC,EF∥AD,EF∥A1D1.
4.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形()A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似答案D解析由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故选D.
5.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β=.答案60°或120°解析∵空间两角α,β的两边分别对应平行,∴这两个角相等或互补.∵α=60°,∴β=60°或120°.
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