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第13章第2课时 异面直线
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的位置关系.2.掌握两异面直线所成的角的求法.
基础落实•必备知识全过关
知识点1定理过平面与平面的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.内一点外一点
过关自诊异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线答案D
解析对于A,空间中两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.所以A应排除.对于B,分别位于两个不同平面内的两条直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,所以B应排除.对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,所以C应排除.D符合定义.
知识点2异面直线所成的角(1)定义如图,a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'和b'所成的(或)叫作异面直线a,b所成的角或夹角.锐角直角(2)两条异面直线所成角的取值范围:.(3)若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b,记作.互相垂直a⊥b
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)异面直线a与b所成角可以是0°.()(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直()×√
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)AC和DD1所成的角是;(2)AC和D1C1所成的角是;(3)AC和B1D1所成的角是;(4)AC和A1B所成的角是.答案(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°
解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC,∴∠ACD即为AC和D1C1所成的角,由正方体的性质得∠ACD=45°.(3)∵BD∥B1D1,BD⊥AC,∴B1D1⊥AC,即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C,△ACD1是等边三角形,∴AC和A1B所成的角是60°.
重难探究•能力素养全提升
探究点一异面直线的判定【例1】如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.(填序号)答案②④
解析如题干图①中,GH∥MN.图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面.图③中,连接GM,GM∥HN,因此,GH与MN共面.图④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.所以图②,④中GH与MN异面.
规律方法判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)定理:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,B∉l,l⊂α,则AB与l是异面直线(如图).
变式训练1(多选题)如图,E,F是AD上互异的两点,G,H是BC上互异的两点,由图可知,其中叙述正确的是()A.AB与CD互为异面直线B.FH分别与DC,DB互为异面直线C.EG与FH互为异面直线D.EG与AB互为异面直线答案AC
解析AB与平面BCD交于点B,且B∉CD,故AB与CD互为异面直线,故A正确.当H点落在C或F落在D点上时,FH与CD相交;当H落在B或F点落在D上时,FH与DB相交,故B错误.FH与平面EGD交于F点,而F∉EG,H∉平面EGD,故EG与FH互为异面直线,故C正确.当G落在B上或E落在A上时,EG与AB相交,故D错误.所以A,C正确.
探究点二直线与直线垂直的证明【例2】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,求证:AC⊥BC1.证明如图,连接A1B,设A1C1=a,B1C1=b,AA1=h,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以∠BB1C1=∠A1AB=90°,所以=b2+h2,AB2=a2+b2,则A1C1⊥BC1,即∠A1C1B=90°.又因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角,所以AC⊥BC1.
规律方法证明空间的两条直线垂直的方法(1)定义法:利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.(2)平面几何图形性质法:利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
变式训练2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D.证明如图,连接BD,交AC于O,设BB1的中点为E,连接OE,则OE∥DB1,所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE,CE,易证AE=CE,又O是AC的中点,所以AC⊥OE,所以AC⊥B1D.
探究点三异面直线所成的角角度1求异面直线所成的角【例3】在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
解如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,GF∥CD且GF=CD.由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°,由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°,当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
角度2由异面直线所成角的大小求线段的长【例4】如图所示,四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2,求EF的长度.
解取BC的中点M,连接ME,MF,如图.则ME∥AC,MF∥BD,∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,∴∠EMF=60°或∠EMF=120°.
规律方法求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移直线,作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角:求角度,常利用三角形.(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求A1C1与B1C所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
解(1)如图所示,连接AC,AB1.由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示,连接BD.由(1)知AC∥A1C1,∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.∵EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD.又AC⊥BD,∴AC⊥EF,∴EF⊥A1C1,即A1C1与EF所成的角为90°.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选题)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1不是异面直线的有()A.ABB.BB1C.DD1D.B1C1答案ABC解析由异面直线的定义知,与AA1异面的直线应为B1C1,其他选项与AA1均为平行或相交的位置关系.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在的直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案C解析在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD,这6条直线与直线BA1是异面直线,故选C.
3.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,异面直线A'B'与BC所成的角的大小为,异面直线AD'与BC所成的角的大小为.答案90°45°解析∵BC∥B'C',∴∠A'B'C'即异面直线A'B'与BC所成的角,且∠A'B'C'=90°,又BC∥AD,∴∠D'AD是异面直线AD'与BC所成的角,且∠D'AD=45°.
4.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成的角的大小为.答案60°解析依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,E为C1D1的中点,AE=,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为.
本课结束
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