资料简介
第13章13.2.1平面的基本性质
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.掌握平面的表示方法,点、直线、平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实和三个推论.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
基础落实•必备知识全过关
知识点1平面的概念与表示1.平面的概念(1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的湖面等都给我们平面的局部形象.
2.平面的画法正方形的直观图
3.平面的表示(1)用希腊字母表示,如平面α、平面β、平面γ.(2)用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC、平面BD.名师点睛平面的概念可从以下三个方面理解(1)“平面”是平的;(2)“平面”无厚度;(3)“平面”可以向四周无限延展.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一个平面的面积是16cm2.()(2)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.()(3)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.()2.一个平面把空间分成了几部分?×××提示两部分.
知识点2空间中点、直线和平面的位置关系借用集合语言表示位置关系,一般把点看成元素,直线和平面看成集合如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中:位置关系符号表示点P在直线AB上点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC内P∈ABM∈平面AC
位置关系符号表示点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点B直线AB在平面AC内AB平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面ACAB∩BC=B⊂
过关自诊如图,点A平面ABC;点A平面BCD;BD平面ABD;平面ABC∩平面BCD=.∈∉⊂BC
知识点3与平面有关的基本事实及推论1.与平面有关的三个基本事实不在一条直线上两个点
过该点的公共直线
2.基本事实1的三个推论
过关自诊1.若直线上有两个点在平面外,则()A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内答案D解析直线在平面外有两种情况:一是无公共点,二是有一个公共点.
2.已知点A,直线a,平面α.①若A∈a,a⊄α,则A∉α;②若A∈α,a⊂α,则A∈a;③若A∉a,a⊂α,则A∉α;④若A∈a,a⊂α,则A∈α.以上说法中,表达正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案B解析①可能a∩α=A;②A可以不在直线a上;③A可以在平面α内;④正确.
3.(1)基本事实1有什么作用?(2)基本事实2有什么作用?(3)基本事实3有什么作用?提示①确定平面的依据;②判定点线共面.提示①确定直线在平面内的依据;②判定点在平面内.提示①判定两平面相交的依据;②判定点在直线上.
重难探究•能力素养全提升
探究点一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换【例1】(1)若点A在直线b上,直线b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系用符号可以记作.(2)用符号表示下列语句,并画出图形.①点A在平面α内但不在平面β内;②直线a经过平面α内一点A,α外一点B;③直线a在平面α内,也在平面β内.
答案(1)A∈b,b⊂β,A∈β(2)解①A∈α,A∉β.(如图①)②A∈a,B∈a,A∈α,B∉α.(如图②)③α∩β=a.(如图③)
规律方法三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
变式训练1用符号表示下列语句,并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
解(1)用符号表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图所示.(2)用符号表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图所示.
探究点二证明点、线共面【例2】证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
规律方法证明点、线共面问题常用方法(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.
变式探究(1)如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面?(2)如果把本例中“三条直线”改为“四条直线”,那么这四条直线是否共面?试证明你的结论.
解(1)不一定共面.①若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.这三条直线不共面.如图.②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由例2可知,这三条直线共面.
(2)共面.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.证明:①无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β.同理,c⊂β,d⊂β.所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面.
探究点三证明点共线【例3】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
证明方法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.方法二∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
规律方法点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为.(填“共线”或“不共线”)答案共线
解析如图所示,连接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线.
探究点四证明线共点【例4】如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于不同的直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.
证明∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ.∵直线a和b不平行,∴a,b必相交.如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.∴a,b,c三条直线必过同一点.规律方法证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.
变式训练3如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形,∴EH,FG共面,且EH与FG不平行.∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD,∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
素养培优易错辨析——对点、线、面的位置关系考虑不全而致误【典例】已知空间四点,如果任意三点都不共线,那么由这四点可以确定多少个平面?说明理由.错解因为不共线的三点确定一个平面,所以由题设条件中的四点可确定四个平面.正解空间任意三点都不共线的四个点有两种位置关系:第一种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都过第四个点时,由这四个点只能确定一个平面;第二种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都不过第四个点时,由这四个点可确定四个平面.综上所述,由题设条件中的四点可确定一个或四个平面.
规律方法1.对于确定平面个数问题,在讨论中要全面考虑,尤其要先分清给出几个点的可能的位置关系,再进行分类讨论.2.可借助正方体、三棱锥等特殊几何体进行直观观察.
学以致用•随堂检测全达标
1.点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为()A.A⊂a,a⊂α,B∈αB.A∈a,a⊂α,B∈αC.A⊂a,a∈α,B⊂αD.A∈a,a∈α,B∈α答案B解析点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a⊂α,B∈α.
2.经过空间任意三点作平面()A.只有一个B.可作两个C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个答案D解析当三点在一条直线上时,过这三点能作无数个平面;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故选D.
3.下图中图形的画法正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案D
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是.答案P∈直线DE解析因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.
5.若l1∥l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内.证明∵l1∥l2,∴l1,l2确定一个平面记为α.∵l1∩l3=C,∴C∈l1.∵l1⊂α,∴C∈α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.∵l2⊂α,∴B∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α,即l1,l2,l3在同一平面内.
本课结束
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