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苏教版高中数学必修第二册课件13.3.2 第2课时球的表面积和体积

2023-03-03
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第13章第2课时球的表面积和体积内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标课标要求1.理解球的表面积和体积的计算公式的推导过程.2.会求解组合体的体积与表面积.3.能用公式解决简单的实际问题. 基础落实•必备知识全过关知识点球的表面积与体积公式注意和锥体的体积公式比较联系4πR2 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.()(2)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.()(3)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()×√× 2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为()A.RB.2RC.3RD.4R答案D解析设圆柱的高为h,则πR2h=3×πR3,得h=4R. 重难探究•能力素养全提升探究点一球的体积和表面积【例1】(1)一个球的表面积是16π,则它的体积是()(2)一个如图所示的密闭容器,它的下部是一个底面半径为1m、高为2m的圆锥体,上半部是个半球,则这个密闭容器的表面积是多少?体积为多少? 规律方法公式是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件. 变式训练1(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;(2)已知球的体积为π,求它的表面积. 探究点二球的截面及切、接问题角度1球的截面问题【例2】一个球内有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积. 解当截面在球心的同侧时,如图①所示为球的轴截面,由球的截面性质知AO1∥BO2,且O1,O2为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.设球的半径为Rcm,∵π·O2B2=49π,∴O2B=7cm.同理,得O1A=20cm.设OO1=xcm,则OO2=(x+9)cm.在Rt△O1OA中,R2=x2+202,①在Rt△OO2B中,R2=72+(x+9)2,②联立①②可得x=15,R=25.∴S球=4πR2=2500π(cm2),故球的表面积为2500πcm2.① 当截面在球心的两侧时,如图②所示为球的轴截面,由球的截面性质知,O1A∥O2B,且O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.设球的半径为Rcm,∵π·O2B2=49π,∴O2B=7cm.∵π·O1A2=400π,∴O1A=20cm.设O1O=xcm,则OO2=(9-x)cm.在Rt△OO1A中,R2=x2+400.在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49.∴x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不合题意,舍去.综上所述,球的表面积为2500πcm2.② 角度2外接球问题【例3】设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2答案B 角度3内切球问题【例4】如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 规律方法1.球的截面问题的方法归纳:设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形.解答球的截面问题时,常用该直角三角形求解,并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.2.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略:①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如中心、对角线的中点等.②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题. 变式训练2(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为.(2)在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 素养培优思想方法——转化与化归思想在球的接、切问题中的应用【典例】在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.分析过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解. 解方法一方法二将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的体对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2, 规律方法球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题. 学以致用•随堂检测全达标 1.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36π,144πB.36π,36πC.144π,36πD.144π,144π答案B解析球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V=π·33=36π. 2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()答案B 3.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为()A.1B.2C.3D.4答案B 4.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的倍,表面积变为原来的倍.答案84 本课结束查看更多

苏教版高中数学必修第二册课件13.3.2 第2课时 球的表面积和体积

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