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第1章第1课时 集合的概念
课标要求1.通过实例理解集合的含义;2.明确集合中元素的三个特性;3.理解元素与集合的“属于”关系,记住常用数集的表示符号并会应用.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1集合的概念一般地,一定范围内某些、的全体组成一个集合.集合中的每一个称为该集合的,简称元.常用大写拉丁字母表示确定的不同的对象对象元素
名师点睛集合概念的理解(1)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(2)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)高一(1)班所有个子高的男生能构成集合.()(2)高一(1)班身高高于180cm的男生能构成集合.()2.某班所有的“快乐的人”能否构成一个集合?提示某班所有的“快乐的人”不能构成集合,因为“快乐的人”没有明确的标准.×√
知识点2集合中元素的特性常用小写拉丁字母表示1.确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则x或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.2.互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.3.无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如由1,2,3组成的集合,也可以写成由1,3,2组成的一个集合,它们都表示同一个集合.
名师点睛1.集合中的元素必须满足“确定性”“互异性”“无序性”,因此在解决有关问题时,应从这三个方面入手,逐一考虑,不可忽略任何一个方面.2.解决与集合有关的问题时,要充分利用集合中元素的“三性”.一方面,我们要利用集合中元素的“三性”找到解题的“突破口”;另一方面,解决问题的同时,应注意检验元素是否满足集合中元素的“三性”.
过关自诊1.由“look”中的字母组成的集合中元素个数为()A.1B.2C.3D.42.集合中的元素不能相同,这就是元素的互异性,如何理解这一性质?答案C解析集合中任何两个元素都不相同,所以集合中的元素有3个,分别是l,o,k.故选C.提示一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不能重复出现的.
知识点3元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果的元素,就说a属于集合Aa属于A不属于如果的元素,就说a不属于集合Aa不属于Aa是集合Aa∈Aa不是集合Aa∉A或a⋷A
名师点睛1.符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系,对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果.2.∈和∉具有方向性,左边是元素,右边是集合.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)设所有的质数构成的集合为M,则2∈M.()2.已知集合M中有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=.√√答案3解析由题意可知a+1=4,即a=3.
知识点4常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)-1∈N.()2.N,N*(N+)的区别是什么?××提示集合N中包括0,集合N*(N+)中不包括0.
重难探究•能力素养全提升
探究点一集合的基本概念【例1】考察下列每组对象,能构成集合的是()①中国各地最美的乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④第31届奥运会金牌获得者.A.①③④B.②③④C.①②③D.①④答案B解析①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合,故选B.
规律方法判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
变式训练1判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合;(2)平面直角坐标系中第一象限的一些点组成一个集合;(3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的集合有3个元素.解(1)正确,(1)中的元素是确定的,可以构成一个集合.(2)不正确,“一些点”标准不明确,不能构成一个集合.(3)不正确,方程的解只有1和-2,集合中有2个元素.
探究点二元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R;②∉Q;③-1∈N*;④|-5|∉N*.A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为()A.2B.2或4C.4D.6答案(1)B(2)B
解析(1)①π是实数,所以π∈R正确;③-1不是正整数,所以-1∈N*错误;④|-5|=5为正整数,所以|-5|∉N*错误.故选B.(2)a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2符合题意;a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4符合题意;a=6∈A,6-a=0∉A,所以a=6不符合题意.综上所述,a=2或4.故选B.
规律方法判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的元素的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必定具有这个集合的元素的共同特征.
变式训练2(1)(多选题)下列选项正确的是()A.2∈QB.|-3|∈NC.|-3|∈ZD.0∉N(2)用符号∈或∉填空:设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1D,(-1,1)D.答案(1)ABC(2)∉∈
探究点三集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.解由题意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.
规律方法
变式探究若本例去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a组成的集合.解由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.故实数a组成的集合为{a|a≠±1,a∈R}.
变式训练3已知集合A含有三个元素1,a,a-1,若-2∈A,则实数a的值为()A.-2B.-1C.-1或-2D.-2或-3答案C解析因为集合A含有三个元素1,a,a-1,且-2∈A,所以a=-2或a-1=-2.当a=-2时,A中元素为1,-2,-3,符合题意;当a-1=-2时,a=-1,A中元素为1,-1,-2,也符合题意.故实数a的值为-1或-2.故选C.
本节要点归纳1.知识清单:(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系;(2)常用数集的表示;(3)集合中元素的特性及应用.2.方法归纳:分类讨论.3.常见误区:忽视集合中元素的互异性.
学以致用•随堂检测全达标
1.如果集合中的三个元素对应着三角形的三条边长,那么这个三角形一定不可能是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D解析因为集合中任何两个元素都不相等,所以这个三角形的任意两边都不相等,所以这个三角形一定不可能是等腰三角形,故选D.
2.下列给出的对象能组成集合的是()A.一切很大的数B.方程x2-1=0的实数根C.漂亮的小女孩D.好心人答案B解析对于A,很大的数没有明确的标准,即元素不确定,不能构成集合,故A错误;对于B,方程x2-1=0的实数根为±1,能构成集合,故B正确;对于C,漂亮没有明确的标准,即元素不确定,不能构成集合,故C错误;对于D,好心人没有明确的标准,即元素不确定,不能构成集合,故D错误.故选B.
3.(多选题)下列结论不正确的是()答案BC
4.方程x2-4x+4=0的解组成的集合中有个元素.答案1解析易知方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2,由集合元素的互异性知,方程的解组成的集合中只有1个元素.
5.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.解∵-3∈A,∴a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,a=0或a=-1.
本课结束
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