资料简介
第5章5.1函数的概念和图象
课标要求1.能用集合语言与对应关系刻画出函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用;2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域和值域;3.会画简单函数的图象,并能解决相关问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1函数的概念函数即两个非空集合中元素之间的对应关系定义给定两个实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的值组成的集合非空唯一{y|y=f(x),x∈A}
名师点睛1.特殊性:定义中的集合A,B必须是两个非空的实数集;2.任意性:A中任意一个数都要考虑到;3.唯一性:每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应;4.方向性:A→B;5.函数的定义域和值域必须表示成集合(区间)的形式.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)根据函数的定义,集合A中的x可以对应着集合B中不同的y.()(2)f(x)表示自变量x在对应关系f的作用下对应的函数值.()(3)根据函数的定义,定义域就是集合A,值域就是集合B.()2.f(x)与f(a)有何区别与联系?×√×提示f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.
知识点2同一个函数由函数定义可知,虽然两个函数的表达形式不同,但如果其对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数.
名师点睛1.定义域不同,两个函数就不同;2.对应关系不同,两个函数也是不同的;3.即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一个函数,因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系,如y=x与y=2x的定义域和值域都为R,但它们的对应关系不同,所以是两个不同的函数;4.因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是无关紧要的,如f(t)=3t+4与f(x)=3x+4表示同一个函数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个函数的对应法则不同一定不是同一个函数.()(2)两个函数的定义域不同也可能是同一个函数.()2.如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗?√×提示确定.
知识点3函数的图象将自变量的一个值x0作为,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.横坐标(x0,f(x0))
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数图象上点的横坐标的集合即为函数的定义域.()(2)函数图象上点的纵坐标的集合即为函数的值域.()2.如果两个函数是同一个函数,那么它们的图象一样吗?√√提示一样.
重难探究•能力素养全提升
探究点一函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一个函数的是()④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.A.①②B.①③C.③④D.①④
(2)判断下列对应关系是不是从集合A到集合B的函数.①A=N,B=N*,对应关系f:对集合A中的元素取绝对值→B中元素;②A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈A,y∈B;③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},对应关系f:x→y=x2,x∈A,y∈B;④A=N*,B=Q,对应关系f:对A中的元素取倒数→B中的元素.
(1)答案C④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应关系也相同,故是同一个函数.由上可知是同一个函数的是③④.故选C.
(2)解①对于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素0在B中没有元素与之对应,所以不是函数.②对于A中的元素±1,在f的作用下与B中的1对应,A中的元素±2,在f的作用下与B中的4对应,所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,故是函数.③对于A中的任一元素,在对应关系f的作用下,B中都有唯一的元素与之对应,如±1对应1,±2对应4,所以是函数.④任意正整数取倒数都是有理数,所以是函数.
规律方法1.判断一个对应关系是否为函数的方法2.判断两个函数为同一个函数的注意点(1)先求定义域,定义域不同则不是同一个函数;(2)若定义域相同,再看对应关系是否相同.
变式探究在本例(2)④中,将“A=N*”改为“A=N”,判断该对应关系是不是从集合A到集合B的函数.解因为对于集合A中的元素0无法取倒数,所以不是函数.
变式训练1下列各组函数表示同一个函数的是()答案C
探究点二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域:
解得x>-1且x≠1,所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
规律方法求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.
变式训练2A.[-1,+∞)B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.[-1,0)∪(0,+∞)D.R
答案C解得x≥-1且x≠0,所以函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).
探究点三函数图象的画法及应用【例3】作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3};(2)y=,x∈[2,+∞);(3)y=x2+2x,x∈[-2,2).解(1)函数图象只是四个点(0,0),(1,-1),(-2,2),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.描点作出图象,如图所示.
(2)当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分,函数图象如图所示,观察图象可知其值域为(0,1].
(3)画出图象如图所示,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x1或x1或x
查看更多
