资料简介
4.1.1 实数指数幂及其运算必备知识基础练1.(36a9)4·(63a9)4(a>0)等于( )A.a16B.a8C.a4D.a22.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-x=(-x)12B.6y2=y13(y0)D.3(-x)234=x12(x>0)3.(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( )A.(-1)13和(-1)26B.343和13-43C.212和414D.4-32和116 -344.下列选项正确的是( )A.3aa=a12(a>0)B.若x2=1,则x=1C.若x=y,则x=yD.若x0)10.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y等于( )A.x+1x-1B.x+1xC.x-1x+1D.xx-111.已知a,b是实数,下列等式:①3a3+b2=a+b;②(a+b)2=a+b+2ab;③4(a2+b2)4=a2+b2;④a2+2ab+b2=a+b.其中一定成立的是 .(填序号) 12.(1)计算:-338-23+(0.002)-12-10×(5-2)-1+(2-3)0;(2)设a>0,化简:3a4a-33a4a4.学科素养创新练13.我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是一部介绍西方符号代数的数学著作,《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则,如用“天 四天 三=天 三天天 三=天一”来表示“x4x3=x3xx3=x”,用“(甲⊥乙)三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”.那么下列表述正确的序号是( )①“天 八天 二=天 二天 六天 二=天 六一”表示“x8x2=x2x6x2=x6”;②“天 二十天 一七=天 一七天 三天 一七=天 三一”表示“x20x17=x17x3x17=x3”;③“(甲⊥乙)二=甲二⊥二甲乙⊥乙二”表示“(x+y)2=x2+2xy+y2”.
A.①②③B.②③C.①③D.①②14.(2022全国高三专题练习)若x12+x-12=3(x>0),则x2-x-2= ,x32-x-32= . 15.(1)计算:(-0.12)0+32-2·33823-(33)43+(1-2)2;(2)化简:(a23·b-1)-12·a-12·b136a·b5(a>0,b>0).16.设x2+3x4y2+y2+3x2y4=a,且x,y,a均为正数,求证:x23+y23=a23.参考答案1.C 原式=a96×13×4a93×16×4(a>0)=a2a2=a2+2=a4.2.CD 对于选项A,因为-x=-x12(x≥0),而(-x)12=-x(x≤0),所以A错误;对于选项B,因为6y2=-y13(y0)成立,所以C正确;对于选项D,当x>0时,3(-x)234=|-x|2×13×34=x2×13×34=x12,所以D正确.故选CD.3.BC A不符合题意,(-1)13和(-1)26虽然符合分数指数幂的定义,但(-1)13=3-1=-1,(-1)26=6(-1)2=1,值不相等;B符合题意,13-43=343;C符合题意,414=212;D不符合题意,4-32和116 -34均符合分数指数幂的定义,但4-32=1432=18,116 -34=23=8,值不相等.4.A 对于A,当a>0时,3aa=3a·a12=3a32=(a32)13=a12,故A正确;
对于B,若x2=1,则x=±1,故B错误;对于C,取x,y均为负数且x=y,则x,y无意义,故C错误;对于D,取x=-2,y=-1,则xy2,故D错误.故选A.5.14 215 ∵α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,∴α+β=-2,αβ=15.∴2α·2β=2α+β=2-2=14,(2α)β=2αβ=215.6.2 由x2-4≥0,4-x2≥0,x-2≠0,得x=-2,所以y=x2-4+4-x2x-2+1612=0+16=4,所以x2+y=4+4=8,所以x2+y的立方根为2.7.214 原式=2×213×3126+212×21443-4×34-214×234+1=2×22×33+2-3-2+1=214.8.A 322=(22)13=(2×212)13=(232)13=212.9.CD 对于选项A,因为aa=a32=a34(a>0),即A错误;对于选项B,因为6y2=-y13(y0),即C正确;对于选项D,[3(-x)2]34=x2×13×34=x12(x>0),即D正确.10.D 由x=1+2b,得2b=x-1,所以y=1+2-b=1+12b=1+1x-1=xx-1.
故选D.11.②③ ∵b2=|b|,∴①不一定成立;②③一定成立;∵a2+2ab+b2=|a+b|,∴④不一定成立.12.解(1)原式=(-1)-23×338-23+1500-12-105-2+1=278-23+(500)12-10×(5+2)+1=49+105-105-20+1=-1679.(2)原式=a43·a-12a23·a2=a-116.13.A 由题知,“天 四天 三=天 三天天 三=天一”来表示“x4x3=x3xx3=x”,相当于同底数幂相除,底数不变,指数相减,所以①②正确;由“(甲⊥乙)三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”可知⊥是加法,所以③是完全平方和公式,所以③正确.故选A.14.±215 ±85 因为x12+x-12=3,所以(x12+x-12)2=9,整理得x+x-1=7,令t=x12-x-12,则t2=(x12-x-12)2=x+x-1-2=5,所以x12-x-12=±5,所以x2-x-2=(x+x-1)·(x-x-1)=(x+x-1)·(x12+x-12)·(x12-x-12)=7×3×(±5)=±215.x32-x-32=(x12-x-12)·(x+x-1+1)=±85.15.解(1)(-0.12)0+32-2·33823-(33)43+(1-2)2=1+49·32323-3·3121243+2-1=1+49×94-3+2-1=2-2;(2)原式=a-13b12·a-12·b13a16·b56=a-13-12-16·b12+13-56=a-1=1a.16.证明x2+3x4y2+y2+3x2y4=x2+x43y23+y2+x23y43=x43·(x23+y23)+y43·(x23+y23),设x23+y23=t,
则x43·(x23+y23)+y43·(x23+y23)=t(x23+y23)=t·t=t32=a,即a23=t,故x23+y23=a23成立.
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