资料简介
5.4 统计与概率的应用必备知识基础练1.一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,则检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率为( )A.0.81B.0.82C.0.90D.0.912.某学生学习游泳,他每次游泳测试达标的概率都为60%,现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示未达标,5,6,7,8,9,0表示达标;再以每三个随机数为一组,代表三次测试的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:917 966 891 925 271 932 872 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 507 989据此估计,该同学三次测试恰有两次达标的概率为( )A.0.50B.0.40C.0.43D.0.483.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K,A1,A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )A.0.960B.0.864C.0.720D.0.5764.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良.某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市,并停留2天(包括到达当天).此人停留期间只有1天空气质量优良的概率为( )
A.113B.213C.313D.4135.某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则淋雨的概率是 . 6.流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度,共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[a,b).编号1234分组[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)频数231530编号5678分组[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]频数50751205(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率;(2)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)内的概率;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组.关键能力提升练7.某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则:规则一:投掷一枚硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;
规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.其中对甲、乙公平的规则是( )A.规则一和规则二B.规则一和规则三C.规则二和规则三D.规则二8.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把a1乘以2后再减去12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把a1除以2后再加上12,这样就得到一个新的实数a2,对实数a2仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数a3,当a3>a1时,甲获胜,否则乙获胜,若甲获胜的概率为34,则a1的取值范围是 . 学科素养创新练9.某大学就业部从该大学2021年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查,其中有一项是他们的月薪情况,经调查统计发现,他们的月薪在3000元到10000元之间,根据统计数据得到如下所示的频率分布直方图:若月薪落在区间(x-2s,x+2s)的左侧,则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生,学校将联系本人,咨询月薪过低的原因,从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见.其中x,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得s≈1500元(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).(1)现该校2021年大学本科毕业生张茗的月薪为3600元,试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生;(2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人,各赠送一份礼品,并从这6人中再随机抽取2人,各赠送某款智能手机1部,求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率;(3)位于某省的一高校2021年某专业本科毕业生共200人,现他们决定举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用.假定这200人与某大学就业部所抽取的样本的月薪分布情况相同,并用样本频率估计总体频率,现有两种收费方案:方案一:按每人一个月薪水的10%收取;
方案二:月薪高于样本平均数的每人收取800元,月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元,月薪低于4000元的不收取任何费用.问:哪一种收费方案最终总费用较少?参考答案1.B ∵一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,∴检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率是0.9×0.9+0.1×0.1=0.82.故选B.2.A 因为这20个数据中符合条件的有917,891,925,872,458,683,257,027,488,730,共10个,所以所求事件的概率为1020=0.50,故选A.3.B A1,A2同时不能正常工作的概率为0.2×0.2=0.04,所以A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864.故选B.4.D 3月1日至3月14日中,若停留2天有(1,2),(2,3),…,(13,14)共有13种,停留期间只有1天空气质量优良的有(3,4),(6,7),(7,8),(11,12)共4种.所以对应概率为P=413.5.14 由题意知,下雨的概率为12,不下雨的概率为12,准时收到帐篷的概率为12,不能准时收到帐篷的概率为12.当下雨且不能准时收到帐篷时会淋雨,所以淋雨的概率为12×12=14.6.解(1)由已知,当空气相对湿度在45%~55%时,病毒死亡较快.而样本在[45,55)上的频数为30,所以所求频率为30300=110.(2)设事件A为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于[25,35)内”,设区间[15,35)中的两个数据为a1,a2,区间[25,35)中的三个数据为b1,b2,b3,因此,从区间[15,35)的数据中任取两个数据,包含(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点,而事件A包含(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6个样本点,所以P(A)=610=35.(3)样本的平均数为x=20×2+30×3+40×15+50×30+60×50+70×75+80×120+90×5300≈68.43,故样本的平均数在第6组.7.B 对于规则一,每人发球的概率都是12,是公平的;
对于规则二,记2个红球分别为红1、红2,2个黑球分别为黑1、黑2,则随机取出2个球的所有可能的情况有(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2),共6种,其中同色的情况有2种,所以甲发球的可能性为13,不公平;对于规则三,记3个红球分别为红1、红2、红3,则随机取出2个球所有可能的情况有(红1,红2),(红1,红3),(红1,黑),(红2,红3),(红2,黑),(红3,黑),共6种,其中同色的情况有3种,所以两人发球的可能性均为12,是公平的.因此,对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.故选B.8.(-∞,12]∪[24,+∞) a3的结果有四种,每一个结果出现的概率都是14,a1→2a1-12→2(2a1-12)-12=4a1-36=a3,a1→2a1-12→2a1-122+12=a1+6=a3,a1→a12+12→a12+122+12=a14+18=a3,a1→a12+12→2a12+12-12=a1+12=a3,∵a1+12>a1,a1+6>a1,∴要使甲获胜的概率为34,即a3>a1的概率为34,∴4a1-36>a1,a14+18≤a1,或4a1-36≤a1,a14+18>a1,解得a1≤12或a1≥24.9.解(1)x=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650,x-2s=6650-3000=3650>3600,所以张茗属于“就业不理想”的学生.(2)第一组有1000×0.00005×100=5(人),第二组有1000×0.00010×100=10(人),第三组有1000×0.00015×100=15(人),所以按照分层抽样抽6人时,第一组抽1人,记为A;第二组抽2人,记为B,C;第三组抽3人,记为D,E,F.从这6人中抽2人共有15种情况:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F).其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种情况:(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F).根据古典概型的概率公式可得P=915=35.
(3)方案一:月薪在3000~4000元的共收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500(元);月薪在4000~5000元的共收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000(元);月薪在5000~6000元的共收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500(元);月薪在6000~7000元的共收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000(元);月薪在7000~8000元的共收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000(元);月薪在8000~9000元的共收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500(元);月薪在9000~10000元的共收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500(元).故按方案一收费的最终总费用为133000元.方案二:月薪高于6650元的共收取800×200×[(7000-6650)×0.00030+1000×(0.00020+0.00015+0.00005)]=80800(元);月薪不低于4000元但低于6650元的共收取400×200×[(6650-6000)×0.00030+1000×(0.00010+0.00015)]=35600(元).故按方案二收费的最终总费用为116400元.因为116400
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