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人教B版数学高中必修第三册同步练习8.1.2 向量数量积的运算律

2022-11-23
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8.1.2 向量数量积的运算律A级必备知识基础练1.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)=( )A.-72B.72C.84D.-842.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=( )A.23B.33C.43D.533.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,点M在AB边上,且AM=13AB,则DM·AC等于( )A.-13B.13C.1D.24.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于( )A.43B.34C.-43D.-345.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于( )A.7B.10C.13D.46.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则=( )A.30°B.60°C.120°D.150°7.(多选题)已知向量m,n的夹角为π6,且|m|=3,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于( )A.4B.2C.1D.328.在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为 . 9.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?10.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.求:(1)a与b的夹角θ; (2)|a+b|的值.11.阅读以下一段文字:(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,两式相减得(a+b)2-(a-b)2=4a·b⇒a·b=14[(a+b)2-(a-b)2],我们把这个等式称作“极化恒等式”,它实现了在没有夹角的情况下将两个向量的数量积运算化为向量的运算.试根据上面的内容解决以下问题:如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点.(1)若AD=6,BC=4,求AB·AC的值;(2)若AB·AC=4,FB·FC=-1,求EB·EC的值.B级关键能力提升练12.(多选题)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中正确的有( )A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|0,n>0).∵AB·AC=4,由(1)知AB·AC=AD2-14CB2=4,即9m2-n2=4.①∵FB·FC=-1,同理可得FD2-14CB2=-1,即m2-n2=-1.②由①②解得m2=58,n2=138,∴EB·EC=ED2-14BC2=4m2-n2=208-138=78.12.BD 由b,c是平面内任意向量知选项A错误;由三角形的三边关系得选项B正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得选项C错误;选项D显然正确.13.A 由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知D为边BC的中点,易知AD=12(AB+AC),所以AD·(AB-AC)=12(AB+AC)·(AB-AC)=12(|AB|2-|AC|2)=1. 14.D ∵BC=3BD,∴AC=BC-BA=3BD-BA=3(AD-AB)+AB=3AD+(1-3)AB.又∵AD⊥AB,|AD|=1,∴AC·AD=3AD·AD+(1-3)AB·AD=3.15.D 因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60°.又|a-c|=a2-2a·c+c2=1-|c|+|c|2=(|c|-12) 2+34,故当|c|=12时,|a-c|的最小值为32.16.3 ∵|OA|=|OB|=|OC|,∴点O为△ABC的外心,设∠OAB=θ,可得∠OBA=θ,∴AO在AB方向上的投影的数量为|AO|cosθ,BO在AB方向上的投影的数量为|BO|cosθ.由题意可知|AO|cosθ+|BO|cosθ=|AB|=6.又∵|OA|=|OB|=|OC|,∴|AO|cosθ=3,即AO在AB方向上的投影的数量为3.17.-1 ∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB中,由AB=23,EA=EB=2, BD·AE=(BA+AD)·(AB+BE)=-BA2+BA·BE+AD·AB+AD·BE=-12+23×2×cos30°+5×23×cos30°+5×2×cos180°=-12+6+15-10=-1.18.解(1)因为a⊥b,所以a·b=0.又x⊥y,所以x·y=0,即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,所以-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0,所以k=14(t2-3t)(t≠0),即k=f(t)=14(t2-3t)(t≠0).(2)由(1),知k=f(t)=14(t2-3t)=14t-322-916,所以函数k=f(t)的最小值为-916.19.解设PQ与BC的夹角为θ,则BP·CQ=(AP-AB)·(AQ-AC)=AP·AQ-AP·AC-AB·AQ+AB·AC=-a2-AP·AC+AB·AP=-a2-AP·(AC-AB)=-a2+12PQ·BC=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0°(PQ与BC方向相同)时,BP·CQ最大,其最大值为0. 查看更多

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