资料简介
10.2.2 复数的乘法与除法A级必备知识基础练1.在复平面内,复数z=2-ii对应的点位于( )A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限2.1-2i1+2i=( )A.-45-35iB.-45+35iC.-35+45iD.-35-45i3.已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x,y∈R),i是虚数单位,则( )A.x-2y=0B.2x+y-3=0C.2x-y-5=0D.2x+y+2=04.若复数z=1+mi2+i(m∈R)为纯虚数,则m=( )A.2B.1C.-1D.-25.若z1=(2-mi)(3-2i)(m∈R)是纯虚数,则在复平面内复数z2=m-2i1+i所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2021全国乙)设iz=4+3i,则z=( )A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i7.(多选题)设z1,z2是复数,则下列说法正确的是( )A.若|z1+z2|=0,则z1=z2
B.若z1=z2,则z1=z2C.若|z1|=|z2|,则z1z1=z2z2D.若|z1|=|z2|,则z12=z228.定义运算a bc d=ad-bc,若复数z满足1 -1z zi=2,其中i为虚数单位,则复数|z|= . 9.已知复数z=2+6i,若复数mz+m2(1+i)为非零实数,则实数m的值为 . 10.设实部为正数的复数z满足|z|=10,且复数(1+2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数z;(2)若z+mi1+i(m∈R)为纯虚数,求实数m的值.B级关键能力提升练11.已知i是虚数单位,则复数z1=2+ai,z2=1-i,若z1z2是实数,则实数a的值为( )A.-2B.2C.0D.1212.已知z=2-i,则z(z+i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i13.已知复数z的共轭复数z,若z=z-11+i,则z在复平面内对应的点为( )A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)14.已知p,q∈R,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=( )A.-4B.0
C.2D.415.已知复数z满足z(1+2i)=|4-3i|(其中i为虚数单位),则复数z在复平面内对应点的坐标为 . 16.复数z满足z1+i=a-i(其中a>0,i为虚数单位),|z|=10,则a= ;复数z的共轭复数z在复平面上对应的点在第 象限. 17.若实数m,n满足(4+mi)i2021=(n+2i)2,且z=m+ni,则|z|= . 18.设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚数根,i是虚数单位.(1)当z=-1+i时,求p,q的值;(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求|MN|的取值范围.C级学科素养创新练19.已知复数z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是实数.(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的取值范围;(2)若zw是纯虚数,a是正实数,求zw+zw2+zw3+…+zw2021.参考答案1.D 因为复数z=2-ii=(2-i)ii2=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.故选D.2.D 1-2i1+2i=(1-2i)2(1+2i)(1-2i)=-3-4i5=-35-45i.故选D.3.C ∵(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i=x+yi,∴x=2+a,y=2a-1,即2x-y-5=0.故选C.4.D z=1+mi2+i=2-i+2mi+m5=2+m5+2m-15i.因为复数z为纯虚数,所以得2+m=0,2m-1≠0,解得m=-2.
5.D ∵z1=(2-mi)(3-2i)=(6-2m)-(3m+4)i为纯虚数,则6-2m=0,3m+4≠0,解得m=3,∴z2=3-2i1+i=(3-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-5i2=12-52i,因此,复数z2在复平面内对应的点在第四象限.6.C 由已知可得,z=4+3ii=(4+3i)×ii×i=-(4i-3)=3-4i.7.BC 对于A,由|z1+z2|=0得z1+z2=0,即z1=-z2,故A错误;对于B,若z1=z2,则z1,z2互为共轭复数,故z1=z2,故B正确;对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,又z1z1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,z2z2=(c+di)(c-di)=c2+d2,故z1z1=z2z2,故C正确;对于D,若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|,而z12=1≠z22=-1,故D错误.故选BC.8.2 由定义运算a bc d=ad-bc,得1 -1z zi=zi+z=2,即z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.∴|z|=2.9.6 ∵z=2+6i,∴mz+m2(1+i)=m(2-6i)+m2+m2i=(m2+2m)+(m2-6m)i,由题意,m2-6m=0,m2+2m≠0,解得m=6.10.解(1)设z=a+bi(a>0,b∈R),∴|z|=a2+b2=10,(1+2i)z=a-2b+(b+2a)i,由题意得a-2b=b+2a,a2+b2=10,a>0,解得a=3,b=-1,即z=3-i.(2)∵z+mi1+i=3+i+m+mi2=3+m2+1+m2i为纯虚数,∴3+m2=0,1+m2≠0,解得m=-6.11.A ∵z1=2+ai,z2=1-i,
∴z1z2=2+ai1-i=(2+ai)(1+i)(1-i)(1+i)=2-a2+2+a2i,由z1z2是实数,得2+a=0,即a=-2.故选A.12.C ∵z=2-i,∴z=2+i.∴z+i=2+2i.∴z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.故选C.13.A 设z=x+yi(x,y∈R),由z=z-11+i,得(x-yi)(1+i)=x+yi-1,即(x+y)+(x-y)i=(x-1)+yi,则x+y=x-1,x-y=y,解得x=-2,y=-1.∴z在复平面内对应的点为(-2,-1).故选A.14.A ∵1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,∴1-i也是方程x2+px+q=0的一个根,则1+i+1-i=-p,即-p=2,p=-2,(1+i)(1-i)=q,即q=1+1=2,则p·q=-2×2=-4.故选A.15.(1,-2) ∵|4-3i|=42+(-3)2=5,∴z=51+2i=5(1-2i)(1+2i)(1-2i)=5(1-2i)5=1-2i,即复数z在复平面内对应点的坐标为(1,-2).16.2 四 由z1+i=a-i可得z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,所以|z|=(a+1)2+(a-1)2=10,整理得a2+2a+1+a2-2a+1=10,所以a2=4.
又因为a>0,所以a=2,所以z=3+i,z=3-i.所以z在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限.17.10 由(4+mi)i2021=(n+2i)2,得(4+mi)i=n2+4ni-4,即-m+4i=n2+4ni-4,∴-m=n2-4,4=4n,即m=3,n=1.∴|z|=|3+i|=10.18.解(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,则方程x2+px+q=0的两虚数根分别为i,-i.由根与系数的关系有i-i=-p,-i2=q,∴p=0,q=1.(2)设z=a+bi(a,b∈R),若q=1,则z+1,z+1是方程x2+px+1=0的两虚数根.则z+1=a+1-bi.由题意可得(z+1)z+1=(a+1)2+b2=1.令a+1=cosθ,b=sinθ,θ∈[0,2π).∵复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,∴|MN|=(cosθ-1-2)2+(sinθ+4)2=10sin(θ+φ)+26∈[4,6],其中tanφ=-34.19.解(1)∵z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在复平面内表示的点位于第一象限,∴a2-1>0,2a>0,解得a>1,故实数a的取值范围为(1,+∞).(2)依题意得,zw=(a+i)24-3i=(a+i)2(4+3i)(4-3i)(4+3i)=4a2-6a-425+3a2+8a-325i,∵zw是纯虚数,∴4a2-6a-4=0,3a2+8a-3≠0,即(2a+1)(a-2)=0,(3a-1)(a+3)≠0,
解得a1=-12(舍)或a2=2(a>0),当a=2时,zw=3×4+8×2-325i=i,∴zw+zw2+zw3+…+zw2021=i+i2+i3+…+i2021=i-1-i+…+i=i.
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