资料简介
第十一章11.1.6祖暅原理与几何体的体积
课标要求1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.2.掌握球的体积公式,会计算球的体积.3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积.4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,了解求几何体体积的几种技巧.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1祖暅原理1.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,由祖暅原理可知,.2.说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等底等高的两个柱体的体积相同.()(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.()2.运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?√××提示需要三个条件,分别是:①这两个几何体夹在两个平行平面之间.②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.③两个截面的面积总相等.
知识点2柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,棱柱、棱锥的底面积为S,圆柱、圆锥的底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r'和r.名称体积(V)柱体棱柱圆柱πr2h锥体棱锥圆锥πr2hSh
名称体积(V)台体棱台圆台πh(r2+rr'+r'2)
名师点睛柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(3)圆台的高就是相应母线的长.()2.求三棱锥的体积时有什么技巧?√××提示因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.
3.圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为()A.36πB.18πC.45πD.12π答案D
4.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为.答案28解析因为S上底=4,S下底=16,h=3.
知识点3球的体积一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=.名师点睛求解与球有关切接问题时要认真分析题中已知条件,明确切点与接点位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)球的体积V与球的表面积S的数值关系为V=S.()(2)两个球的体积之比等于其半径比的立方.()2.已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为.√√答案36π
重难探究•能力素养全提升
探究点一柱体的体积【例1】用一块长4m,宽2m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?解①若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4m,此时圆柱底面周长为2m,②若以矩形的宽为圆柱的母线,则母线长为2,此时圆柱底面周长为4m,圆所以第二种情况可使铁筒体积最大.
变式训练1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4cm,AC=3cm,AA1=5cm,BD=2cm,则剩余部分的体积为cm3.答案24
探究点二锥体的体积(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.
(1)答案A解析作圆锥的轴截面(如图所示).由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB.
变式探究(变换条件,改变问法)将例2中第(1)题的条件“侧面积是16π”改为“若其体积为π”,求该圆锥的侧面积.
变式训练2(1)将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为()
答案(1)B(2)B
探究点三台体的体积【例3】已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.解如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O'、O分别为上、下底面的中心,D,D'分别是BC,B'C'的中点,
变式训练3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,R,l,高为h.作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.
探究点四球的体积【例4】已知正四面体ABCD的外接球的体积为4π,求正四面体的体积.解将正四面体ABCD置于正方体中.正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径.设外接球的半径为R,
规律方法与棱长为a的正方体相关的球有三个:外接球、内切球和与各条棱都相切的球,其半径分别为
变式训练4如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍答案C
素养培优逻辑推理、数学运算在求体积中的体现【典例】如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()
答案A规律方法逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.
学以致用•随堂检测全达标
1.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是()答案D
2.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是.
3.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14cm3,则该棱台的高为.答案2cm解析如图所示,设正四棱台AC'的上底面边长为2acm,则斜高EE',下底面边长分别为5acm,8acm.
4.如图所示,四棱锥的底面ABCD是一个矩形,AC与BD交于点M,VM是四棱锥的高.若VM=4cm,AB=4cm,VC=5cm,求四棱锥的体积.
本课结束
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