资料简介
第十一章11.4.1直线与平面垂直
课标要求1.理解异面直线所成角的含义,结合实例概括出直线与平面垂直的定义,理解直线与平面垂直的性质.2.理解线面垂直的判定定理,能运用文字语言、图形语言和符号语言对该定理加以表述,初步学习运用该定理判定或论证直线与平面垂直问题.3.理解线面垂直的有关性质,并能运用这些性质进行论证.4.知道点到平面的距离的定义.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1直线与直线所成角一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为.为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,这样一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m,记作l⊥m.显然,若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.异面直线a与b所成角的大小垂直
过关自诊1.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条A
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为.解析设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.
知识点2直线与平面垂直1.定义:直线l与平面α垂直,指的是直线l与平面α内_____________________都垂直.2.充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面α垂直的充要条件是.这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α,l⊥m.3.画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.过它们公共点的所有直线直线l与平面α内的任意直线都垂直
名师点睛对线面垂直定义的理解1.定义中的“任何一条直线”的含义是所有,而不是无数,这里要避免两个错误:(1)一条直线垂直于一个平面内的一条直线,它就垂直于这个平面;(2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,它就垂直于这个平面.2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形,类似于平面内两条相交直线垂直是两直线相交的特殊情形.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.()(3)垂直于同一条直线的两条直线垂直.()(4)垂直于同一个平面的两条直线平行.()(5)垂直于同一条直线的直线和平面平行.()√××√×
2.如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?3.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直提示如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.答案A解析∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,又m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
知识点3直线与平面垂直的判定定理与推论1.判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的直线垂直,则这条直线与这个平面垂直图形语言符号语言若m⊂α,n⊂α,m∩n≠⌀,l⊥m,l⊥n,则l⊥α两条相交
2.结论文字语言如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线这个平面图形语言符号语言若l∥m,l⊥α,则m⊥α也垂直于
3.性质定理文字语言如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线图形语言符号语言若l⊥α,m⊥α,则l∥m平行
名师点睛1.判定定理中三个条件:两个线线垂直和一个线线相交,缺一不可.此定理可简记为线线垂直⇒线面垂直.2.结论及性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起,完成了平行与垂直关系的转化.
过关自诊1.一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.②C.②④D.①②④答案C解析因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.
2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.证明∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.
知识点4直线与平面垂直的应用定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的(相应地,直线AC称为平面α的,称C为).因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,称为直线AC与平面α所成的角.结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于.斜线段斜线斜足∠ACB斜线
过关自诊1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是()A.60°B.45°C.30°D.120°答案A解析∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.
2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于.答案45°解析因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
重难探究•能力素养全提升
探究点一直线与直线所成角【例1】如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.
解如图,取AC的中点F,连接DF,EF,在△PAC中,∵D是PC的中点,F是AC的中点,∴DF∥PA,同理可得EF∥BC,∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).∴DE2=DF2+EF2,即∠DFE=90°,即异面直线PA与BC所成的角为90°.
规律方法求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°
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