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第三章 3.1 3.1.3 概率的基本性质课时分层训练1．下列说法正确的是( )A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件解析：选D 由互斥事件和对立事件的定义易知，D正确．2．某小组有5名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )A．至少有1名男生与全是女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．恰有1名男生与恰有2名女生解析：选D A中两事件互斥且对立；B、C中两个事件能同时发生故不互斥；D中两事件互斥不对立，故选D.3．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A．A与D B．A与BC．B与CD．B与D解析：选A 事件A与D不能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；事件A与B是对立事件；事件B与C可能同时发生，不是互斥事件；事件B与D可能同时发生，不是互斥事件．故选A.4．(2019·洛阳高一检测)从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200g的概率为0.2，质量在200～300g内的概率为0.5，那么质量超过300g的概率为( )
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8解析：选B 质量超过300g的概率为1－0.2－0.5＝0.3.5．从1,2，…，9中任取两数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③解析：选C 从1,2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数，至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．故选C.6．一个盒子中有10个相同的球，分别标有号码1,2,3，…，10，从中任选一球，则此球的号码为偶数的概率是____．解析：取2号，4号，6号，8号，10号是互斥事件，且概率均为，故有＋＋＋＋＝.答案：7．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.答案：8．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为________．
解析：由对立事件的概率计算公式知，重量不小于30克的概率为1－0.3＝0.7.答案：0.79．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是.(1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．解：(1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率是.(2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D，由(1)，知事件D与事件C是对立事件，且P(C)＝，
所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)＝1－P(C)＝1－＝.1．下列说法中正确的是( )A．对立事件一定是互斥事件B．若A，B为随机事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件解析：选A A说法显然正确；B说法不正确，当事件A，B能同时发生时，不满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；C说法不正确，P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；D说法不正确，例如：袋中有大小相同的红球、黄球、黑球、绿球各1个，从袋中任意摸1个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不是对立事件，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.2．一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6，则( )A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件C．B与D是互斥事件D．以上都不对解析：选A 由互斥事件、对立事件的定义可判断A正确．故选A.3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产的情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%.若从一批该产品中随机抽检一件，则这件产品是正品(甲级品)的概率为( )A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，则这三个事件彼此互斥，因而所求概率P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A.B．C.D．解析：选D 由题意可知即则解得＜a≤.5．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额/元01000200030004000车辆数500130100160110若每辆车的投保金额均为2700元，则赔付金额大于投保金额的概率约为________(用频率估计概率)．解析：设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P(A)＝＝0.16，P(B)＝＝0.11，由于投保金额为2700元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.16＋0.11＝0.27.答案：0.276．甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．解析：由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝；因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得P2＝.因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
答案： 7．猎人在相距100m处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，则射击不超过两次击中野兔的概率为________．解析：设距离为d，命中的概率为P，则有P＝.将d＝100，P＝代入，得k＝Pd2＝5000，所以P＝.设第一、二次击中野兔分别为事件A1，A2，假如第一次就命中，那么概率就是P1＝；假如第二次才命中，意思就是第一次没有命中，第二次才命中，P2＝(1－P1)×＝.综上，P＝P1＋P2＝＋＝.故射击不超过两次击中野兔的概率为.答案：8．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的随机样本，顾客购物一次的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“一位顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“一位顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3彼此互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
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