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第三章 3.3 3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生课时分层训练1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 四个选项中小明中奖的概率分别为，，，，故应选A中的游戏盘．2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为( )A.B．C.D．解析：选A 记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90，所以P(M)＝＝.3．(2019·银川期末)已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是( )
A.B．C.D．解析：选B 因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6},所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝.4．如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票——“肥猪旺福”，其规格为42mm×46mm.为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为( )A．1104cm2B．11.04cm2C．8.28cm2D．12cm2解析：选B 由题意，可估计肥猪图案面积大约是：S＝×42×46＝11.04(cm2)，故选B.5．(2019·济南模拟)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A.B．C.D．解析：选D 如图，由题意，知当点P在CD边上靠近点D的四等分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB＞AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB于点F，则BF＝x，在Rt△BFE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，所以＝.6.
一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为________．解析：设正三角形的边长为a，圆的半径R，则R＝a，所以正三角形的面积为a2，圆的面积S＝πR2＝πa2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P＝＝.答案：7.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．解析：设事件M为“此动点在三棱锥A－A1BD内”则P(M)＝＝＝＝＝.答案：8．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为x的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到；若物品不掉在河里，则能找到．已知该物品能被找到的概率为，则河宽为________m.解析：物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽x＝500×＝20(m)．答案：20
9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P＝＝＝；(2)P＝＝＝；(3)P＝＝＝＝.10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？解：因为射中靶面内任一点都是等可能的，所以基本事件总数为无限个．此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积，总的基本事件为整个箭靶的面积，它的面积为π2cm2.记事件A＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为πcm2，P(A)＝＝＝，所以射中“黄心”的概率为.1．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20cm2的概率为( )A. B．
C.D．解析：选C 设AC＝xcm，则BC＝(12－x)cm，若矩形的面积大于20cm2，则x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝＝.2．在区间[－π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )A.B．C.D．解析：选B 由题意，知点(a，b)在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需满足4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原点为圆心，为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f(x)有零点的概率为＝.3．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n(n≥3，n∈N)边形内的概率为Pn，下列论断正确的是( )A．随着n的增大，Pn减小B．随着n的增大，Pn先增大后减小C．随着n的增大，Pn增大D．随着n的增大，Pn先减小后增大解析：选C 根据几何概型的概率计算公式有Pn＝，而圆的面积固定，正n边形的面积随n的增大而增大，所以Pn也增大．4.如图所示，有一套无线电监控设备，监控着圆心角为直角的扇形OAB区域，其半径为akm，在半径OA，OB的中点C，D处的两个检测点有数据接收装置，其有效接收半径都为
，只有当C，D两个检测点都有数据接收时，该处的监控才有效，现在在扇形OAB区域内任意选取一个点，则该点监控有效的概率是( )A.－B．C．1－D．解析：选A 如图所示，两个半圆将扇形AOB分为四块区域，其面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝S扇形AOB＝π·a2＝πa2.又由图可知S3＝S扇形EDO＋S扇形ECO－S正方形OCED＝πa2－a2，故由几何概型概率公式可得，所求概率P＝＝＝－.故选A.5．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝××13＝，则构成事件“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝.由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝.答案：6．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．解析：(1)根据点到直线的距离公式得d＝＝5.(2)设直线4x＋3y＝c到圆心的距离为3，则＝3，取c＝15，则直线4x＋3y＝15截圆所得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率．由于圆的半径是2，则可得直线4x＋3y＝15截得的劣弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是.答案：(1)5 (2)7．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km处向基地行驶，李四在基地正北40km处也向基地行驶，则下午3：00后他们可以交谈的概率为________．解析：记事件A＝{下午3：00后张三、李四可以交谈}．设x，y分别表示张三、李四与基地的距离，则x∈[0,30]y∈[0,40]则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x，y)，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40km和30km的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域，它的总面积为1200km2，可以交谈的区域为x2＋y2≤252的圆及其内部满足x≥0，y≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝.答案：8．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝＝.
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