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第二章 2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课时分层训练1．在一次体育测试中，某班6名同学的成绩(单位：分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据，下列说法错误的是( )A．众数是83 B．中位数是83C．极差是30D．平均数是83解析：选D 由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；把数据66,83,87,83,77,96按从小到大排列为66,77,83,83,87,96，中间两个数为83,83，所以中位数是83，故B说法正确；极差是96－66＝30，故C说法正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D说法错误，选D.2．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A和B，标准差分别为sA和sB，则( )A.A＞B，sA＞sBB．A＜B，sA＞sBC.A＞B，sA＜sBD．A＜B，sA＜sB解析：选B 由题图可得A＜B，又A波动性大，B波动性小，所以sA＞sB，故选B.3．(2019·荆州高一检测)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为( )
A．2,6B．2,7C．3,6D．3,7解析：选D 由题可知＝17，所以x＝3，由乙组数据的中位数为17，可得y＝7，故选D.4．(2019·秦安高一检测)“小康县”的经济评价标准为：①年人均收入不低于7000元；②年人均食品支出不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均收入如表所示，年人均食品支出如图所示，则该县( )年人均收入/元02000400060008000100001200016000人数/万人63556753A．是小康县B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县D．两个标准都未达到，不是小康县解析：选B 由图表可知年人均收入为(2000×3＋4000×5＋6000×5＋8000×6＋10000×7＋12000×5＋16000×3)÷40＝7050(元)，达到了标准①；年人均食品支出为(1400×3＋2000×5＋2400×13＋3000×10＋3600×9)÷40＝2695(元)，则年人均食品支出占收入的×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②.所以不是小康县．
5．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A 设9位评委评分按从小到大排列为x1≤x2≤x3≤x4…≤x8≤x9.则①原始中位数为x5，去掉最低分x1，最高分x9，后剩余x2≤x3≤x4…≤x8，中位数仍为x5，∴A正确．②原始平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x8＋x9)，后来平均数′＝(x2＋x3＋x4＋…＋x8)，平均数受极端值影响较大，∴与′不一定相同，B不正确．③s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x9－)2]s′2＝[(x2－′)2＋(x3－′)2＋…＋(x8－′)2]由②易知，C不正确．④原极差＝x9－x1，后来极差＝x8－x2，显然极差变小，D不正确．6．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数8.38.88.88.7方程s23.53.62.25.4若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________(填“甲”“乙”“丙”或“丁”)．解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．答案：丙7．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为4，则数据3x1＋7,3x2＋7，…，3xn＋7的平均数和方差分别为________．
解析：由题意得(x1＋x2＋…＋xn)＝5，[(x1－5)2＋(x2－5)2＋…＋(xn－5)2]＝4，∴(3x1＋7＋3x2＋7＋…＋3xn＋7)＝3×(x1＋x2＋…＋xn)＋7＝22，[(3x1＋7－22)2＋(3x2＋7－22)2＋…＋(3xn＋7－22)2]＝9×[(x1－5)2＋(x2－5)2＋…＋(xn－5)2]＝36.答案：22,368．某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是________分．解析：平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分)．答案：689．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同.(1)求m，n的取值；(2)比较甲、乙两组数据的稳定性，并说明理由．解：(1)根据茎叶图，得乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，即m＝3，甲的平均数是甲＝＝33，
所以乙的平均数是乙＝＝33，解得n＝8.(2)甲的方差s＝＝24；乙的方差s＝＝13.所以s＞s，所以乙组数据的稳定性强．10．某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个成绩作为样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]如图是按分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；(3)请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、中位数、平均数和方差．解：(1)样本在这次百米测试中成绩良好的人数为(0.06＋0.16)×50＝11.(2)学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数为0．32×1800＝576.(3)由题图可知众数落在第三组[15,16)，是＝15.5；因为数据落在第一、二组的频率为1×0.06＋1×0.16＝0.22＜0.5；数据落在第一、二、三组的频率为
1×0.06＋1×0.16＋1×0.38＝0.6＞0.5；所以中位数一定落在第三组[15,16)中．15＋×1≈15.74，故中位数约为15.74，平均数：13.5×0.06＋14.5×0.16＋15.5×0.38＋16.5×0.32＋17.5×0.08＝15.7， 方差：(13.5－15.7)2×0.06＋(14.5－15.7)2×0.16＋(15.5－15.7)2×0.38＋(16.5－15.7)2×0.32＋(17.5－15.7)2×0.08＝1.1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( )A．me＝m0＝ B．me＝m0＜C．me＜m0＜D．m0＜me＜解析：选D 由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me＝＝5.5.又众数为m0＝5，可排除A、B、C.平均值＝×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝≈5.97，所以m0＜me＜，故选D.
2．某市要对两千多名出租车司机的车龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是( )A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁解析：选C 根据所给的信息可知，在区间[25,30)上的数据的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋(35－30)×＝33.6(岁)．3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分后，剩余7个分数的平均分为91.而9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，如图所示，则剩余7个分数的方差为( )A.B．C．36D．解析：选B 由题意，知＝91，解得x＝4，所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝.
4．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )A．甲同学：平均数为2，众数为1B．乙同学：平均数为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2D．丁同学：众数为2，方差大于1解析：选B 甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]＜1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＜3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；丁同学：有可能是2,2,6，不符合题意．故选B.5．世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游愿望强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场．为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位：百元)的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数22504502908则所得样本的中位数是________(精确到百元)．解析：设样本的中位数为x，则＋＋·＝0.5，解得x≈51，所得样本中位数为51百元．答案：516．为了检测某批棉花的质量，质检人员随机测量6根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，其平均值为25mm.用Xn(n＝1,2,3,4,5,6)表示第n根棉花纤维的长度，且前5根棉花纤维的长度如下表：编号12345Xn2026222022
则X6＝________，这6根棉花纤维的长度的标准差s＝________.解析：由题意，得＝25，解得X6＝40.s2＝×[(20－25)2＋(26－25)2＋(22－25)2＋(20－25)2＋(22－25)2＋(40－25)2]＝49，所以这6根棉花纤维的长度的标准差s＝7.答案：40 77．某5人上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2的值为________．解析：整理，得所以x2＋y2＝208.答案：2088．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．解：(1)由题图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.甲的成绩的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的成绩的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上的次数为3.如下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲71.271乙75.47.53(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定．②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些．③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好．④从折线图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲呈下降趋势，故乙更有潜力．
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