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第四章 4．3 空间直角坐标系4．3．1 空间直角坐标系4．3．2 空间两点间的距离公式课时分层训练1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )A．3 B．2C．1D．0解析：选C 对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7B．－7C．－1D．1解析：选D 点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，，0)B．(0，，)C．(1,0，)D．(1，，0)解析：选D 点P(1，，)关于平面xOy的对称点是P1(1，，－)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，，0)，故选D.
4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2B．4C．2D．2解析：选B 点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )A．－3或4B．6或2C．3或－4D．6或－2解析：选D ∵|AB|＝＝＝2，∴x＝6或－2.6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝＝.|AC|＝＝，|BC|＝＝，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为．解析：由两点间距离公式可得|AB|＝＝≥.答案：8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD
上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，由题意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，则E.所以|EF|＝＝.答案：9．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos60°＝1－＝，∴点D的坐标为.10.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB、AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．∵N为CD1的中点，∴N.M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN|＝＝.1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内解析：选C ∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( )A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对解析：选C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P与点C的距离为( )A.B.
C.D.解析：选D 利用中点坐标公式，得点P的坐标为，由空间两点间的距离公式，得|PC|＝＝.4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )A．9B.C．5D．2解析：选B 由已知，可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝＝.5．已知点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为．解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.答案：6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是．解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．对于任意实数x，y，z则＋的最小值为．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则＋＝|PM|＋|PO|.由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝
＝，故所求的最小值为.答案：8．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．解：(1)设P(x,0,0)．由题意，得|P0P|＝＝，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．则|MN|＝＝.所以当x0＝1时，|MN|min＝.此时点M的坐标为(1,0,0)．
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